第16講   導數(shù)的應用——導數(shù)與函數(shù)的極值、最值 思維導圖 知識梳理1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值． 題型歸納題型1    利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題——根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值【例1-1】（2020春?宜賓期末）如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則函數(shù)的極大值點的個數(shù)為　　A．3 B．2 C．1 D．0【分析】通過讀圖得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點，得出答案．【解答】解：由圖象知在，上，所以此時函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，此時在上單調(diào)遞減，所以時，函數(shù)取得極大值，時，函數(shù)取得極小值．則函數(shù)的極大值點的個數(shù)為1．故選：．【例1-2】（2019秋?未央?yún)^(qū)校級期末）函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的說法正確的是　　A．函數(shù)有3個極值點 B．函數(shù)在區(qū)間上是增加的 C．函數(shù)在區(qū)間上是增加的 D．當時，函數(shù)取得極大值【分析】結(jié)合導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合圖象即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值．【解答】解：結(jié)合導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值故選：．【跟蹤訓練1-1】（2019秋?臨渭區(qū)期末）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的結(jié)論正確的是　　A．在區(qū)間上為減函數(shù) B．在處取得極小值 C．在區(qū)間，上為增函數(shù) D．在處取得極大值【分析】結(jié)合圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點即可．【解答】解：由圖象得：在遞減，在遞增，在遞減，故在取極小值，在取極大值，故選：．【跟蹤訓練1-2】（2019秋?咸陽期末）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖，則下列敘述正確的是　A．函數(shù)在上單調(diào)遞減 B．函數(shù)在處取得極大值 C．函數(shù)在處取得極值 D．函數(shù)只有一個極值點【分析】利用導數(shù)的定義和導數(shù)的集合意義，通過數(shù)形結(jié)合法可判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值可得答案；【解答】解：由已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象可知，在區(qū)間，，在，在區(qū)間，根據(jù)導函數(shù)的定義和集合意義，導函數(shù)大于0時，原函數(shù)單調(diào)遞增，導函數(shù)小于0時，原函數(shù)單調(diào)遞減，導函數(shù)等于0 時是原函數(shù)的拐點位置，可能為原函數(shù)取極值處，通過函數(shù)單調(diào)性函數(shù)取極值的左右兩側(cè)區(qū)間原函數(shù)的圖象單調(diào)性相反判斷可得：、，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減錯誤；、，，，，函數(shù)在處取得極大值錯誤；、，，，，，，函數(shù)在處取得極值錯誤；、，，，，函數(shù)只有一個極值點正確；故選：．【名師指導】由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數(shù) y＝f(x)的可能極值點；(2)由導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點． 題型2    利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題——已知函數(shù)求極值或極值點【例2-1】（2020春?順義區(qū)期末）已知函數(shù)，則的極大值點為　　A． B． C． D．【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)等于0求得導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對函數(shù)的定義域分段，根據(jù)導函數(shù)在各段內(nèi)的符號判斷函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點．【解答】解：由，得：．由，得：，或．由，得：．所以，函數(shù)的增區(qū)間為，．函數(shù)的減區(qū)間為．所以，是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點．故選：．【例2-2】（2020春?海淀區(qū)校級期末）函數(shù)的一個極小值點為　　A． B． C． D．【分析】先求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極小值點．【解答】解：，，令，解得或，，當時，，或，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，或，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，在，上單調(diào)遞增，在，，，上單調(diào)遞減，當時，在，上單調(diào)遞增，在，，，上單調(diào)遞減，函數(shù)函數(shù)的一個極小值點為，故選：．【跟蹤訓練2-1】（2020春?樂山期中）函數(shù)的極小值是　　A．4 B．2 C． D．【分析】求導，分析單調(diào)性，可得極小值．【解答】解：函數(shù)定義域：．，令，得或1，在，上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以（1），故選：．【跟蹤訓練2-2】（2020春?龍巖期末）函數(shù)的極大值為　　．【分析】求導數(shù)便可得出，容易看出為方程的解，從而可判斷導函數(shù)的符號，進而得出該函數(shù)的極大值點．【解答】解：；時，，時，，時，；是的極大值點．函數(shù)的極大值為：．故答案為：．【名師指導】求函數(shù)的極值或極值點的步驟(1)求導數(shù)f′(x)，不要忘記函數(shù)f(x)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查在方程的根的左右兩側(cè)f′(x)的符號，確定極值點或函數(shù)的極值． 題型3    利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題——已知函數(shù)的極值點或極值求參數(shù)的值或范圍【例3-1】（2020春?赤峰期末）若函數(shù)存在極值點，則實數(shù)的取值范圍是　　A． B．， C． D．，【分析】先求導數(shù)，根據(jù)題意在上有根，得到與在有交點，進而得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得在上有零點，所以在上有根，即在上有根，即與在有交點，因為且單調(diào)，所以，故選：．【例3-2】（2020春?荊州期末）若當時，函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是　　A．， B． C． D．【分析】求導得，根據(jù)題意可得在上有兩個根，從而得到在上有兩個根，設，求導數(shù)判斷的單調(diào)性，求出的最小值，進而得出答案．【解答】解：，根據(jù)題意，可得在上兩個根，即在上有兩個根，即在上有兩個根，設，則，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以（1），所以．故選：．【跟蹤訓練3-1】（2020春?濰坊期末）已知時，函數(shù)取得極大值，則　　A． B． C．4 D．2【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值點即可．【解答】解：，，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，在遞增，故時，取極大值，則，故選：．【跟蹤訓練3-2】（2020春?南陽期末）已知函數(shù)有且僅有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍是　　       ．【分析】根據(jù)題意可得只有一個解只有一個解與只有一個交點，求導數(shù)，分析單調(diào)性，及當時，；當時，，畫出函數(shù)的草圖，及可得的取值范圍，再檢驗是否符合題意，即可得出答案．【解答】解：因為函數(shù)有且僅有一個極值點，所以只有一個解，即，只有一個解，即與只有一個交點，因為，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以（1），當時，；當時，，畫出函數(shù)的草圖如下：結(jié)合圖象可得或，解得或，當時，，所以，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以（1），所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)沒有極值點．所以實數(shù)的取值范圍是，．【跟蹤訓練3-3】（2020?臨川區(qū)校級一模）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是　　          ．【分析】 ， ，由函數(shù)有兩個極值點可得和在上有兩個交點，，令 ，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．【解答】解： ， ，由函數(shù)有兩個極值點可得和在上有兩個交點，，令 ，則，在上單調(diào)遞減且（1），當，時，，即，在，上單調(diào)遞增，（1），當時，，即，在上單調(diào)遞減．故（1），而當時，，當時，；若和的圖象在上有兩個交點，只需，故．故答案為：，．【名師指導】已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個要領(1)列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)驗證：因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性．　  題型4    利用導數(shù)求函數(shù)的最值【例4-1】（2020春?克什克騰旗校級月考）（文科普班）已知，若，求函數(shù)的最小值．【分析】代入的值，求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值即可．【解答】解：時，，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故．【例4-2】（2020春?徐州期中）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在，上的最大值和最小值．【分析】（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出函數(shù)在區(qū)間，上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值問題．【解答】解：（1），令，解得：，令，解得：；函數(shù)的增區(qū)間：，減區(qū)間：；（2）由（1）得：在，遞減，在，遞增，，，（1）（1）．【跟蹤訓練4-1】（2020春?十堰期末）函數(shù)在，上的最大值為2，則的值為　　A． B．2 C．5 D．【分析】求出函數(shù)的導數(shù)不等式，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，得到關(guān)于的方程，解出即可．【解答】解：．令，解得：，令，解得：，故在，遞減，在，遞增，故的最大值是或（3），而（3），故，故選：．【跟蹤訓練4-2】（2020春?內(nèi)江期末）函數(shù)在，上的　　A．最小值為0，最大值為 B．最小值為0，最大值為 C．最小值為1，最大值為 D．最小值為1，最大值為【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，可得在，上恒成立，可得在，上的單調(diào)遞增，則最值可求．【解答】解：由，得，函數(shù)在，上的單調(diào)遞增，則；．函數(shù)在，上的最小值為1，最大值為．故選：．【跟蹤訓練4-3】（2020春?沭陽縣期中）已知函數(shù)，且（1）．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用（1），求解即可．（2）結(jié)合（1）化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最大值即可．【解答】解：（1），可得，因為（1），得，解得．（2）由（1）得，因為，所以在，上單調(diào)遞增，最大值為（3）．【名師指導】導數(shù)法求給定區(qū)間上函數(shù)的最值問題的一般步驟(1)求函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；(2)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；(3)求f(x)在給定區(qū)間上的端點值；(4)將f(x)的各極值與f(x)的端點值進行比較，確定f(x)的最大值與最小值；(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點，易錯點和解題規(guī)范． 題型5    利用導數(shù)求解函數(shù)極值和最值的綜合問題【例5-1】（2020春?朝陽區(qū)期末）已知函數(shù)，（Ⅰ）若，求證：當，時，恒成立；（Ⅱ）當時，求在區(qū)間，上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函數(shù)存在極大值和極小值，且極大值和極小值的差不超過4，求的取值范圍．【分析】（Ⅰ）當時，．設，通過函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后推出結(jié)果．（Ⅱ）當時，．利用函數(shù)的導數(shù)求出極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值以及最值即可．（Ⅲ），求解函數(shù)的導數(shù)，通過的范圍，判斷函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍．【解答】解：（Ⅰ）證明：當時，．設，則．因為，，所以．所以在，上單調(diào)遞增，所以（1）．所以當，時，恒成立．（Ⅱ）當時，．所以．令得或．當在，上變化時，，的變化情況如下表：012 00 1極大值極小值13所以，當，時，函數(shù)的最大值為（2），函數(shù)的最小值為（1）．（Ⅲ）因為，所以．令得或．依題意，函數(shù)存在極大值和極小值，所以．（ⅰ）當時，．當變化時，，的變化情況如下表：00極大值極小值所以函數(shù)的極大值為，極小值為（a）．依題意有，所以．所以，．（ⅱ）當時，．當變化時，，的變化情況如下表：00極大值極小值所以函數(shù)的極大值為（a），極小值為．依題意有，所以．所以，．綜上所述，，，．【跟蹤訓練5-1】（2020春?貴池區(qū)校級期中）已知，．（1）若在處取極值，求在點處切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間，最小值為，求．【分析】（1）求出導函數(shù)，結(jié)合在處取極值，導函數(shù)為0，求解，然后求解切線的斜率，求解切線方程．（2）令，求出極值點，若，若，若，判斷導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值與最值，然后推出結(jié)果．【解答】解：（1），又在處取極值，，得，且檢驗滿足題意．，切點為，切線斜率為（1），在點的切線方程為．（2），令，得或，若，則時，在，為增函數(shù)，此時舍去，若，則，此時時，，在，為減函數(shù)，（1），得滿足題意；若，則，此時時，，時，，在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，此時，解得舍去，綜合以上得．【名師指導】解決函數(shù)極值、最值綜合問題的策略(1)求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大?。?/span>(2)求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過比較才能下結(jié)論．(3)函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點值進行比較才能確定最值．     

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