思維導(dǎo)圖
知識(shí)梳理
1．函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．
2．函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．
題型歸納
題型1 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題——根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值
【例1-1】（2020春?宜賓期末）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則函數(shù)的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
A．3B．2C．1D．0
【分析】通過(guò)讀圖得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)，得出答案．
【解答】解：由圖象知在，上，
所以此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
在上，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
所以時(shí)，函數(shù)取得極大值，時(shí)，函數(shù)取得極小值．
則函數(shù)的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．
故選：．
【例1-2】（2019秋?未央?yún)^(qū)校級(jí)期末）函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是
A．函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)
B．函數(shù)在區(qū)間上是增加的
C．函數(shù)在區(qū)間上是增加的
D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合圖象即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值．
【解答】解：結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019秋?臨渭區(qū)期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的結(jié)論正確的是
A．在區(qū)間上為減函數(shù)
B．在處取得極小值
C．在區(qū)間，上為增函數(shù)
D．在處取得極大值
【分析】結(jié)合圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)即可．
【解答】解：由圖象得：在遞減，在遞增，在遞減，
故在取極小值，在取極大值，
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2019秋?咸陽(yáng)期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，則下列敘述正確的是
A．函數(shù)在上單調(diào)遞減
B．函數(shù)在處取得極大值
C．函數(shù)在處取得極值
D．函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的集合意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合法可判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值可得答案；
【解答】解：由已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，
在區(qū)間，，在，在區(qū)間，
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義和集合意義，導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)，原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)，原函數(shù)單調(diào)遞減，
導(dǎo)函數(shù)等于0 時(shí)是原函數(shù)的拐點(diǎn)位置，可能為原函數(shù)取極值處，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性函數(shù)取極值的左右兩側(cè)區(qū)間原函數(shù)的圖象單調(diào)性相反判斷可得：
、，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減錯(cuò)誤；
、，，，，函數(shù)在處取得極大值錯(cuò)誤；
、，，，，，，函數(shù)在處取得極值錯(cuò)誤；
、，，，，函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)正確；
故選：．
【名師指導(dǎo)】
由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù) y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．
題型2 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題——已知函數(shù)求極值或極值點(diǎn)
【例2-1】（2020春?順義區(qū)期末）已知函數(shù)，則的極大值點(diǎn)為
A．B．C．D．
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)等于0求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)的定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)判斷函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)．
【解答】解：由，
得：．
由，得：，或．
由，得：．
所以，函數(shù)的增區(qū)間為，．函數(shù)的減區(qū)間為．
所以，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)．
故選：．
【例2-2】（2020春?海淀區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)為
A．B．C．D．
【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極小值點(diǎn)．
【解答】解：，
，
令，解得或，，
當(dāng)時(shí)，，或，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，或，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，，，上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，，，上單調(diào)遞減，
函數(shù)函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)為，
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春?樂(lè)山期中）函數(shù)的極小值是
A．4B．2C．D．
【分析】求導(dǎo)，分析單調(diào)性，可得極小值．
【解答】解：函數(shù)定義域：．
，
令，得或1，
在，上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
所以（1），
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020春?龍巖期末）函數(shù)的極大值為 ．
【分析】求導(dǎo)數(shù)便可得出，容易看出為方程的解，從而可判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而得出該函數(shù)的極大值點(diǎn)．
【解答】解：；
時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，；
是的極大值點(diǎn)．
函數(shù)的極大值為：．
故答案為：．
【名師指導(dǎo)】
求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)的步驟
(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)，不要忘記函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)檢查在方程的根的左右兩側(cè)f′(x)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)或函數(shù)的極值．
題型3 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題——已知函數(shù)的極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的值或范圍
【例3-1】（2020春?赤峰期末）若函數(shù)存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．，C．D．，
【分析】先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意在上有根，得到與在有交點(diǎn)，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意得在上有零點(diǎn)，
所以在上有根，
即在上有根，
即與在有交點(diǎn)，
因?yàn)榍覇握{(diào)，所以，
故選：．
【例3-2】（2020春?荊州期末）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．C．D．
【分析】求導(dǎo)得，根據(jù)題意可得在上有兩個(gè)根，從而得到在上有兩個(gè)根，設(shè)，求導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求出的最小值，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：，
根據(jù)題意，可得在上兩個(gè)根，
即在上有兩個(gè)根，
即在上有兩個(gè)根，
設(shè)，則，
在上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
所以（1），所以．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春?濰坊期末）已知時(shí)，函數(shù)取得極大值，則
A．B．C．4D．2
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值點(diǎn)即可．
【解答】解：，，
令，解得：或，
令，解得：，
故在遞增，在遞減，在遞增，
故時(shí)，取極大值，則，
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020春?南陽(yáng)期末）已知函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【分析】根據(jù)題意可得只有一個(gè)解只有一個(gè)解與只有一個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)，分析單調(diào)性，及當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，畫出函數(shù)的草圖，及可得的取值范圍，再檢驗(yàn)是否符合題意，即可得出答案．
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，
所以只有一個(gè)解，
即，只有一個(gè)解，
即與只有一個(gè)交點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以（1），
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
畫出函數(shù)的草圖如下：
結(jié)合圖象可得或，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
令，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以（1），
所以恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2020?臨川區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【分析】 ， ，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得和在上有兩個(gè)交點(diǎn)，，令 ，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
【解答】解： ， ，
由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得和在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
，令 ，
則，
在上單調(diào)遞減且（1），
當(dāng)，時(shí)，，即，在，上單調(diào)遞增，（1），
當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減．
故（1），
而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
若和的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
只需，故．
故答案為：，．
【名師指導(dǎo)】
已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)
(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．
(2)驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性．
題型4 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
【例4-1】（2020春?克什克騰旗校級(jí)月考）（文科普班）已知，若，求函數(shù)的最小值．
【分析】代入的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值即可．
【解答】解：時(shí)，，，
令，解得：，
令，解得：，
故在遞減，在遞增，
故．
【例4-2】（2020春?徐州期中）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在，上的最大值和最小值．
【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)在區(qū)間，上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值問(wèn)題．
【解答】解：（1），
令，解得：，
令，解得：；
函數(shù)的增區(qū)間：，減區(qū)間：；
（2）由（1）得：在，遞減，在，遞增，
，，（1）
（1）．
【跟蹤訓(xùn)練4-1】（2020春?十堰期末）函數(shù)在，上的最大值為2，則的值為
A．B．2C．5D．
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不等式，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，得到關(guān)于的方程，解出即可．
【解答】解：．
令，解得：，令，解得：，
故在，遞減，在，遞增，
故的最大值是或（3），
而（3），
故，
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練4-2】（2020春?內(nèi)江期末）函數(shù)在，上的
A．最小值為0，最大值為B．最小值為0，最大值為
C．最小值為1，最大值為D．最小值為1，最大值為
【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得在，上恒成立，可得在，上的單調(diào)遞增，則最值可求．
【解答】解：由，得，
函數(shù)在，上的單調(diào)遞增，
則；
．
函數(shù)在，上的最小值為1，最大值為．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練4-3】（2020春?沭陽(yáng)縣期中）已知函數(shù)，且（1）．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用（1），求解即可．
（2）結(jié)合（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最大值即可．
【解答】解：（1），可得，因?yàn)椋?），得，解得．
（2）由（1）得，因?yàn)?，所以在，上單調(diào)遞增，
最大值為（3）．
【名師指導(dǎo)】
導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上函數(shù)的最值問(wèn)題的一般步驟
(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；
(2)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；
(3)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；
(4)將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f(x)的最大值與最小值；
(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范．
題型5 利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值和最值的綜合問(wèn)題
【例5-1】（2020春?朝陽(yáng)區(qū)期末）已知函數(shù)，
（Ⅰ）若，求證：當(dāng)，時(shí)，恒成立；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間，上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若函數(shù)存在極大值和極小值，且極大值和極小值的差不超過(guò)4，求的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．設(shè)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后推出結(jié)果．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值以及最值即可．
（Ⅲ），求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)的范圍，判斷函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍．
【解答】解：（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，．
設(shè)，則．
因?yàn)?，，所以?br>所以在，上單調(diào)遞增，所以（1）．
所以當(dāng)，時(shí)，恒成立．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．
所以．
令得或．
當(dāng)在，上變化時(shí)，，的變化情況如下表：
所以，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的最大值為（2），
函數(shù)的最小值為（1）．
（Ⅲ）因?yàn)椋?br>所以．
令得或．
依題意，函數(shù)存在極大值和極小值，所以．
（?。┊?dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
所以函數(shù)的極大值為，極小值為（a）．
依題意有，所以．
所以，．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
所以函數(shù)的極大值為（a），極小值為．
依題意有，所以．
所以，．
綜上所述，，，．
【跟蹤訓(xùn)練5-1】（2020春?貴池區(qū)校級(jí)期中）已知，．
（1）若在處取極值，求在點(diǎn)處切線方程；
（2）若函數(shù)在區(qū)間，最小值為，求．
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合在處取極值，導(dǎo)函數(shù)為0，求解，然后求解切線的斜率，求解切線方程．
（2）令，求出極值點(diǎn)，若，若，若，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值與最值，然后推出結(jié)果．
【解答】解：（1），又在處取極值，
，得，且檢驗(yàn)滿足題意．
，切點(diǎn)為，切線斜率為（1），
在點(diǎn)的切線方程為．
（2），令，得或，
若，則時(shí)，在，為增函數(shù)，
此時(shí)舍去，
若，則，此時(shí)時(shí)，，在，為減函數(shù)，
（1），得滿足題意；
若，則，此時(shí)時(shí)，，
時(shí)，，在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
此時(shí)，解得舍去，
綜合以上得．
【名師指導(dǎo)】
解決函數(shù)極值、最值綜合問(wèn)題的策略
(1)求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大?。?br>(2)求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)比較才能下結(jié)論．
(3)函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定最值．
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高中數(shù)學(xué)高考第16講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）（學(xué)生版）：

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