第6講   函數(shù)的單調(diào)性與最值思維導(dǎo)圖 知識(shí)梳理1．增函數(shù)、減函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>I：(1)增函數(shù)：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．(2)減函數(shù)：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．2．單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間. 3．函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?/span>I，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我們稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值或最小值．  核心素養(yǎng)分析能用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì)；在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，能利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決問(wèn)題。重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng). 題型歸納題型1    函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）【例1-1】（2019?西湖區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，分析可得，據(jù)此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由已知，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故選：．【例1-2】（2019秋?閔行區(qū)期末）已知函數(shù)．判斷在上的單調(diào)性，并給予證明．【分析】先設(shè)，然后利用作差比較與的大小即可判斷．【解答】在上單調(diào)遞減．證：設(shè)，則，因?yàn)?/span>，則，即，故在上單調(diào)遞減．【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019秋?天津期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是　　A． B． C．， D．【分析】解不等式，求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．【解答】解：令，解得：或，而函數(shù)的對(duì)稱軸是：，由復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2019秋?河西區(qū)期中）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在上是增函數(shù)（這里且【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由函數(shù)的解析式可得，按的取值范圍分情況討論，可得且時(shí)，都有，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義分析可得答案．【解答】證明：根據(jù)題意，設(shè)，有，當(dāng)時(shí)，，則有，，則有，當(dāng)時(shí)，，則有，，則有，綜合可得：且時(shí)，都有，故函數(shù)在上是增函數(shù)．【名師指導(dǎo)】判斷函數(shù)單調(diào)性常用方法(1)定義法：一般步驟為設(shè)元→作差→變形→判斷符號(hào)→得出結(jié)論.(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性.(3)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(4)性質(zhì)法：①對(duì)于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及f(x)±g(x)增減性質(zhì)進(jìn)行判斷；②對(duì)于復(fù)合函數(shù)，先將函數(shù)y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再討論(判斷)這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判斷.   題型2    函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例2-1】（2020?綿陽(yáng)模擬）已知在上是減函數(shù)，若，則，，的大小關(guān)系為　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，，又由在上是減函數(shù)，則有，即，故選：．【例2-2】（2020?濟(jì)南二模）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B．，， C． D．，，【分析】由已知可知單調(diào)遞增，結(jié)合單調(diào)性即可求解不等式．【解答】解：由分段函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，若，則，解可得，或．故選：．【例2-3】（2020?鄭州三模）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是　　A．， B．， C．， D．，【分析】先利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，于是在上單調(diào)遞增，還需要滿足，解之即可得的取值范圍．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，，解得．故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春?靜海區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，，則，，的大小關(guān)系是　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得在上為減函數(shù)，由指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，區(qū)間上，為減函數(shù)，且，區(qū)間，上，，為減函數(shù)，且，故在上為減函數(shù)；又由，則有；故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019秋?金華期末）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　              ．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和增函數(shù)的定義即可判斷出分段函數(shù)在上是增函數(shù)，從而根據(jù)得出，從而可求出的取值范圍．【解答】解：在，上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，在上是增函數(shù)，由得，，解得或，的取值范圍是或．故答案為：或．【跟蹤訓(xùn)練2-3】（2019秋?黃山期末）已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　          ．【分析】根據(jù)是上的增函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性，以及增函數(shù)的定義即可得出，解出的范圍即可．【解答】解：是上的增函數(shù)，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．【名師指導(dǎo)】解函數(shù)不等式的理論依據(jù)是函數(shù)單調(diào)性的定義，具體步驟是：(1)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)＞f(x2)的形式；(2)考查函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性去掉法則“f”，轉(zhuǎn)化為形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的常規(guī)不等式，從而得解． 題型3    函數(shù)的值域（最值）【例3-1】（2019秋?歷城區(qū)校級(jí)期末）若函數(shù)在，上的最大值與最小值的差為，則的值為　　A． B． C．或2 D．或【分析】分和兩種情況，求出最大值和最小值，然后由函數(shù)的最大值與最小值的差為，建立關(guān)于的方程，再解出的值．【解答】解：當(dāng)時(shí)，在，上遞增，的最大值為，最小值為，函數(shù)在，上的最大值與最小值的差為，，解得或（舍．當(dāng)時(shí)，在，上遞減，的最大值為，最小值為，函數(shù)在，上的最大值與最小值的差為，，解得或（舍．綜上，或．故選：．【例3-2】（2020?遼寧模擬）已知函數(shù)，若的最小值為（1），則實(shí)數(shù)的值不可能是　　A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)題意，直接將代入，計(jì)算函數(shù)的最小值為（2），不合題意，由此即可得出正確選項(xiàng)．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（1）；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)；綜上，函數(shù)的最小值為（2），不合題意；結(jié)合單項(xiàng)選擇的特征可知，實(shí)數(shù)的值不可能為1．故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?江蘇模擬）已知函數(shù)且的最大值為3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　               ．【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：函數(shù)且，當(dāng)時(shí)，，恒成立，當(dāng)時(shí)，必須恒成立，即：，所以在時(shí)是減函數(shù)，可得，則，解得，．故答案為：，．【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020春?浙江期中）用，表示，兩個(gè)數(shù)中的最小值．設(shè)，，則的最大值為　　A． B． C． D．【分析】在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)，的圖象，根據(jù)圖象求出的最大值．【解答】解：畫出函數(shù)和的圖象如圖所示：結(jié)合圖象，，，故的最大值是（1），故選：．【名師指導(dǎo)】求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值．(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值．(5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值． 

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