第19講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納（學(xué)生版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第19講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1.判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：利用零點(diǎn)存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0.①直接法：判斷一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明f(a)·f(b)<0；②分類討論法：判斷幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)<0.2.已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用的方法：(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍. 題型歸納題型1 討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例1-1】（2020?漳州三模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步證明出結(jié)果．（2）利用分類討論思想的應(yīng)用和函數(shù)的二次求導(dǎo)的應(yīng)用及構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用求出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以：，所以在，單調(diào)遞減，所以．當(dāng)時(shí)，，所以，所以在單調(diào)遞增，所以．所以在上單調(diào)遞增，．綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（2）由于，所以0為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．，，當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，．在單調(diào)遞減，．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增．由于，．所以在上存在唯一的，，使得．當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減．有，所以在無零點(diǎn)．當(dāng)，時(shí)，，在，單調(diào)遞增．又，設(shè)（a），所以（a），，所以（a）在單調(diào)遞增，有（a）（2）．所以（a）在單調(diào)遞增，有（a）（2），即．因此函數(shù)在，有一個(gè)零點(diǎn)．所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增．，在單調(diào)遞增，．所以在上無零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，．有．所以在，無零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增，又，．所以存在唯一的，使得．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減．當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在，單調(diào)遞增．又，，所以函數(shù)在有1個(gè)零點(diǎn)．所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020?宜賓模擬）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　　．【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，令求出極值點(diǎn)，進(jìn)而求出函數(shù)的極值，根據(jù)單調(diào)性和極值畫出函數(shù)的大致圖象，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：函數(shù)，，令得：或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的極大值為，極小值為，函數(shù)的大致圖象如圖所示：，由圖象可知，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，故答案為：2．【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020?西安二模）已知函數(shù)、為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明．【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；（2）先由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系分析函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)判定定理即可求解．【解答】解：（1），①時(shí)，恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；②時(shí)，易得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間，（2）當(dāng)，時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，證明如下：由（1）在單調(diào)遞減，且，故在有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增且（1），（2）且在，上連續(xù)不間斷，故在，上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．綜上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【名師指導(dǎo)】根據(jù)參數(shù)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有兩種解決方法：一種是利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理求解，另一種是化原函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)來求解題型2 由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【例2-1】（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，再由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)求得原函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)極值，結(jié)合題意由極小值小于0即可求得的取值范圍．【解答】解：由題意，的定義域?yàn)?/span>，且．（1）當(dāng)時(shí)，，令，解得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．的極小值也是最小值為．又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只要即可，則，可得．綜上，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是，．【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020?廣東二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍為　　A． B．，， C．，， D．，【分析】求導(dǎo)，構(gòu)造輔助函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞增，，即可判斷在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由，即可證明，當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)；然后驗(yàn)證時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：因?yàn)?/span>．令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，又，所以，，，當(dāng)，，所以在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又，所以當(dāng)，，，當(dāng)，對(duì)恒成立，即當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)且僅當(dāng)，，故當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)；排除，當(dāng)時(shí)，，令，可得，有無數(shù)解，所以，不成立，排除，故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，得到關(guān)于的不等式組，解出即可．【解答】解：（1）．，時(shí)，，在遞增，時(shí)，令，解得：或，令，解得：，在遞增，在，遞減，在，遞增，綜上，時(shí)，在遞增，時(shí)，在遞增，在，遞減，在，遞增；（2）由（1）得：，，，若有三個(gè)零點(diǎn)，只需，解得：，故．【名師指導(dǎo)】利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)(a＝g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y＝g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y＝a與y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用零點(diǎn)的存在性定理構(gòu)建不等式求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解題型3 函數(shù)的零點(diǎn)與極值點(diǎn)的偏移問題【例3-1】（2020?張家口二模）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，證明：．【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系對(duì)進(jìn)行分類討論，然后結(jié)合單調(diào)性及零點(diǎn)判定定理可求；（2）先利用分析法分析與原不等式等價(jià)的不等式，然后結(jié)合特點(diǎn)考慮構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求．【解答】解：（1）由題意可得，有2個(gè)零點(diǎn)，令，則在時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以有2個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為有2個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，時(shí)，，單調(diào)遞增，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由可得，單調(diào)遞增；可得，單調(diào)遞減，（a），若，則（a），此時(shí)恒成立，沒有零點(diǎn)，若，則（a），有一個(gè)零點(diǎn)，若，則（a），因?yàn)?/span>（1），，所以在，上各有1個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上，的范圍；（2）證明：要證，只要證，即證，由（1）可知，，，所以，，所以，只要證，設(shè)，令，，所以只要證即證，令，，則，（1），即當(dāng)時(shí)，，所以即，故．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?吳忠模擬）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值即可；（2）要證即證，只要證明，即證，，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（1）的定義域是，，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（1）；（2）證明：由（1）得（1），當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，，則，，，得，令，則，，，，顯然成立，要證即證，只要證明，即證，，令，（1），，（1），令，則，（1），令，則，（1），令，，時(shí)，遞減，故時(shí)，（1），故遞減，（1），即，，故遞減，（1），故，在遞減，（1），即，在遞減，，故，，綜上，．【名師指導(dǎo)】函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的解題策略函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，其實(shí)質(zhì)是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，解題的策略是把含雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為僅含一個(gè)變量的等式或不等式進(jìn)行求解，解題時(shí)要抓住三個(gè)關(guān)鍵量：極值點(diǎn)、根差、根商

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