第4講   基本不等式思維導(dǎo)圖  知識梳理1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b. 2．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．3．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時(shí)，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時(shí)，xy有最大值是(簡記：和定積最大)． 核心素養(yǎng)分析理解基本不等式。結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題。重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 題型歸納題型1    利用基本不等式求最值【例1-1】（2019·濟(jì)南模擬）（1）已知，求的最大值；（2）已知，是正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．【分析】（1）由題意可得，然后結(jié)合基本不等式即可求解；（2）由題意可得，然后結(jié)合基本不等式可求．【解答】解：（1）因?yàn)?/span>，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，此時(shí)取得最大值；（2），是正實(shí)數(shù)，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)且即，時(shí)取等號，此時(shí)取得最小值．【例1-2】（2019·遼寧模擬）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．【分析】利用消元法消元，再利用基本不等式.【解答】　法一：(換元消元法)由已知得x＋3y＝9－xy，因?yàn)?/span>x>0，y>0，所以x＋3y≥2，所以3xy≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y，即x＝3，y＝1時(shí)取等號，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.令x＋3y＝t，則t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值為6.法二：(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2 －6＝12－6＝6.即x＋3y的最小值為6.【例1-3】（2019·合肥調(diào)研）已知a>b>0，那么a2＋的最小值為________．【解答】　由a>b>0，得a－b>0，∴b(a－b)≤2＝.∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝時(shí)取等號．∴a2＋的最小值為4.【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020春?湖北期中）已知，則的最小值為　  　．【分析】由題意可得，，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，故答案為：7．【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020?韶關(guān)二模）已知，，且，則的最小值是　　A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)題意，分析可得，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值是9；故選：．  【名師指導(dǎo)】1.通過拼湊法利用基本不等式求最值的實(shí)質(zhì)及關(guān)鍵點(diǎn)拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．2.通過常數(shù)代換法利用基本不等式求解最值的基本步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3.通過消元法利用基本不等式求最值的策略當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值．4.兩次利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)當(dāng)連續(xù)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性． 題型2    利用基本不等式解決實(shí)際問題【例2-1】（2019秋?羅田縣期中）小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時(shí)速分別為和，其全程的平均時(shí)速為，則　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲地到乙地的距離為，分析可得用、表示，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)甲地到乙地的距離為，又由從甲地到乙地和從乙地到甲地的時(shí)速分別為和，則小王一共用了，則，又由，則，則，又由，則有，故選：．【例2-2】（2019春?南昌縣校級月考）某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則本年5月份　　A．甲食堂的營業(yè)額較高 B．乙食堂的營業(yè)額較高 C．甲乙兩食堂的營業(yè)額相同 D．不能確定甲，乙哪個(gè)食堂的營業(yè)額較高【分析】首先利用題意得出兩個(gè)食堂的營業(yè)額為等差和等比數(shù)列，進(jìn)一步利用不等式的關(guān)系式求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)甲乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為，甲乙兩食堂9月份的營業(yè)額均為，由題意可得，甲食堂的營業(yè)額構(gòu)成等差數(shù)列，乙食堂的營業(yè)額構(gòu)成等比數(shù)列，則5月份甲食堂的營業(yè)額，乙食堂的營業(yè)額，因?yàn)?/span>，所以由基本不等式，故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高．故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2019秋?金安區(qū)校級月考）近來豬肉價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周豬肉價(jià)格分別為元斤、元斤，家庭主婦甲和乙買豬肉的方式不同：家庭主婦甲每周買3斤豬肉，家庭主婦乙每周買50元錢的豬肉，試比較誰購買方式更實(shí)惠（兩次平均價(jià)格低視為實(shí)惠）　 　（在橫線上填甲或乙即可）．【分析】求出甲乙的平均單價(jià)，得出結(jié)論．【解答】解：甲購買產(chǎn)品的平均單價(jià)為：，乙購買產(chǎn)品的平均單價(jià)為：，由算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)，故答案為：乙．又兩次購買的單價(jià)不同，，乙的購買方式的平均單價(jià)較?。?/span>故答案為：乙．【名師指導(dǎo)】有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問題的解題技巧(1)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．(2)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍．(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解． 題型3    基本不等式的綜合應(yīng)用【例3-1】（2020春?吉林月考）在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為　　A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合向量共線定理可得，然后利用基本不等式可求．【解答】解：因?yàn)?/span>為線段上的一點(diǎn)，且，根據(jù)共線定理可知，，因?yàn)?/span>，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號，故選：．【例3-2】（2020春?廣陵區(qū)校級期中）已知直線過圓的圓心，則的最小值為　　A．3 B． C．6 D．【分析】直線過圓的圓心，可得．再利用“乘1法”及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：直線過圓的圓心，，即．則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．故選：．【例3-3】（2020?山東模擬）若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　     　．【分析】由已知不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求解最值，結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)?/span>，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，因?yàn)?/span>，所以，故答案為：，【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春?沙坪壩區(qū)校級月考）已知向量，且向量與向量平行，則的最大值為　　A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先由向量平行的坐標(biāo)表示可得，，然后結(jié)合基本不等式可求．【解答】解：由題意可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，解可得，，故的最大值為：2故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020?淮南一模）已知函數(shù)，滿足，均為正實(shí)數(shù)），則的最小值為　    　【分析】由已知可得，即可得到，再由基本不等式即可求解．【解答】解：由，可得，因?yàn)椋?/span>，所以，即有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，此時(shí)取得最大值，故答案為：【名師指導(dǎo)】利用基本不等式解題的策略(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍． 

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