第7講   函數的奇偶性與周期性思維導圖知識梳理1．函數的奇偶性 奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于原點對稱2.周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期． 核心素養(yǎng)分析能用代數運算和函數圖象揭示函數的主要性質；在現實問題中，能利用函數構建模型，解決問題。重點提升數學抽象、邏輯推理素養(yǎng). 題型歸納題型1    函數奇偶性的判定【例1-1】（2019?全國）下列函數中，為偶函數的是　　A． B． C． D．【例1-2】（2019·肥西質檢）判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝         【跟蹤訓練1-1】（2020春?龍華區(qū)校級月考）已知函數，則下列結論正確的是　　A．為奇函數 B．為偶函數 C．為奇函數 D．為非奇非偶函數【跟蹤訓練1-2】（2019秋?橋西區(qū)校級月考）判斷下列函數的奇偶性，并求函數的值域（1）（2）          【名師指導】判斷函數奇偶性的3種常用方法(1)定義法：確定函數的奇偶性時，必須先判定函數定義域是否關于原點對稱．若對稱，再化簡解析式后驗證f(－x)＝±f(x)或其等價形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)圖象法：(3)性質法：設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．題型2    函數奇偶性的應用【例2-1】(1)(2019·高考全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數，且當x<0時，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，則a＝________．(2)函數f(x)在R上為奇函數，且x>0時，f(x)＝x＋1，則當x<0時，f(x)＝________．(3)(2020·湖南永州質檢)已知函數f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)＝________．【跟蹤訓練2-1】（2019?新課標Ⅱ）設為奇函數，且當時，，則當時，　　A． B． C． D．【跟蹤訓練2-2】（2020?上海）若函數為偶函數，則　　．【跟蹤訓練2-3】（2020?迎澤區(qū)校級模擬）已知為奇函數，當時，，則的值為　 　．【跟蹤訓練2-4】（2019秋?豐臺區(qū)期末）函數是定義在上的偶函數，且圖象過點．已知時，且．（Ⅰ）求（1）的值和的值；（Ⅱ）若，，求的取值范圍．   【名師指導】與函數奇偶性有關的問題及解題策略(1)求函數的值：利用奇偶性將待求值轉化為已知區(qū)間上的函數值求解．(2)求函數解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．(3)求解析式中的參數值：在定義域關于原點對稱的前提下，利用f(x)為奇函數?f(－x)＝－f(x)，f(x)為偶函數?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．對于在x＝0處有定義的奇函數f(x)，可考慮列等式f(0)＝0求解．題型3   函數的周期性【例3-1】（2019?上海）已知函數周期為1，且當時，，則　　．【例3-2】（2020?安陽二模）已知是定義在上的函數，且，如果當，時，，則　　．【跟蹤訓練3-1】（2020春?紅旗區(qū)校級月考）已知是定義在上周期為2的函數，當，時，，那么當，時，　　A． B． C． D．【跟蹤訓練3-2】(2019·山西八校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(x＋2)＝－，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f＝________．【名師指導】 函數周期性有關問題的求解策略(1)求解與函數的周期性有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期．(2)周期函數的圖象具有周期性，如果發(fā)現一個函數的圖象具有兩個對稱性(注意：對稱中心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數一定具有周期性． 題型4    函數性質的綜合應用【例4-1】（2020?山東）若定義在的奇函數在單調遞減，且（2），則滿足的的取值范圍是　　A．，， B．，， C．，， D．，，【例4-2】（2020?安慶模擬）已知奇函數的定義域為，若為偶函數，且（1），則　　A． B． C．0 D．1【例4-3】（多選）（2020?煙臺模擬）已知是定義域為的奇函數，是偶函數，且當，時，，則　　A．是周期為2的函數 B． C．的值域為， D．的圖象與曲線在上有4個交點【跟蹤訓練4-1】（2020?新課標Ⅱ）設函數，則　　A．是奇函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減 C．是偶函數，且在單調遞增 D．是偶函數，且在單調遞減【跟蹤訓練4-2】（2020?和平區(qū)二模）已知是定義在上的偶函數，且在區(qū)間，上單調遞增，若實數滿足，則的取值范圍是　       　．【跟蹤訓練4-3】（2020?江蘇模擬）已知是定義在上的奇函數，且對任意實數恒有，當，時，．（1）求證：函數的周期是4；（2）求的值；（3）當，時，求的解析式．   【名師指導】函數性質綜合應用問題的常見類型及解題策略(1)函數單調性與奇偶性的綜合．注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性．(2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．(3)單調性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解．　

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