?考點16.視圖投影、圖形變換、尺規(guī)作圖
知識框架：


基礎(chǔ)知識點：
知識點1-1 視圖與投影
1．投影：在光線的照射下，空間中的物體落在平面內(nèi)的影子能夠反映出該物體的形狀和大小，這種現(xiàn)象叫做投影現(xiàn)象．影子所在的平面稱為投影面．
2．平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在點光源下形成的物體的投影叫做中心投影，點光源叫做投影中心．
【注意】燈光下的影子為中心投影，影子在物體背對光的一側(cè)．等高的物體垂直于地面放置時，在燈光下，離點光源近的物體的影子短，離點光源遠的物體的影子長．
（2）平行投影：投射線相互平行的投影稱為平行投影．
【注意】陽光下的影子為平行投影，在平行投影下，同一時刻兩物體的影子在同一方向上，并且物高與影長成正比．
（3）正投影：投射線與投影面垂直時的平行投影，叫做正投影．
4．視圖：由于可以用視線代替投影線，所以物體的正投影通常也稱為物體的視圖．
5．三視圖：1）主視圖：從正面看得到的視圖叫做主視圖．2）左視圖：從左面看得到的視圖叫做左視圖．
3）俯視圖：從上面看得到的視圖叫做俯視圖．
【注意】在三種視圖中，主視圖反映物體的長和高，左視圖反映了物體的寬和高，俯視圖反映了物體的長和寬．
6．三視圖的畫法
1）畫三視圖要注意三要素：主視圖與俯視圖長度相等；主視圖與左視圖高度相等；左視圖與俯視圖寬度相等．簡記為“主俯長對正，主左高平齊，左俯寬相等”．
2）注意實線與虛線的區(qū)別：能看到的線用實線，看不到的線用虛線．
知識點1-2幾何體的展開與折疊
1．常見幾何體的展開圖
幾何體
立體圖形
表面展開圖
側(cè)面展開圖
圓柱




圓錐



三棱柱



2．正方體的展開圖
正方體有11種展開圖，分為四類：
第一類，中間四連方，兩側(cè)各有一個，共6種，如下圖：

第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個，共3種，如下圖：

第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個，只有1種，如圖10；
第四類，兩排各有三個，也只有1種，如圖11．
知識點1-3 軸對稱圖形與軸對稱

軸對稱圖形
軸對稱
圖
形


定
義
如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸
如果兩個圖形對折后，這兩個圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸


性
質(zhì)
對應(yīng)線段相等
AB=AC
AB=A′B′，BC=B′C′，
AC=A′C′
對應(yīng)角相等
∠B=∠C
∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′
對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分

區(qū)
別
(1)軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言；
(2)對稱軸不一定只有一條
(1)軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個圖形；
(2)只有一條對稱軸

關(guān)
系
(1)沿對稱軸對折，兩部分重合；
(2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成“兩個圖形”，那么這“兩個圖形”就關(guān)于這條直線成軸對稱
(1)沿對稱軸翻折，兩個圖形重合；(2)如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形
1．常見的軸對稱圖形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓．
2．折疊的性質(zhì):折疊的實質(zhì)是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
【注意】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個字眼時，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件量．解決折疊問題時，首先清楚折疊和軸對稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關(guān)系，借助勾股定理建立關(guān)系式求出答案，所求問題具有不確定性時，常常采用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．
3．作某點關(guān)于某直線的對稱點的一般步驟
1）過已知點作已知直線（對稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足；2）在這條直線另一側(cè)從垂足除法截取與已知點到垂足的距離相等的線段，那么截點就是這點關(guān)于該直線的對稱點．
4．作已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形的一般步驟
1）作出圖形的關(guān)鍵點關(guān)于這條直線的對稱點；
2）把這些對稱點順次連接起來，就形成了一個符合條件的對稱圖形．
知識點1-4圖形的平移
1．定義：在平面內(nèi)，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運動叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大?。?br /> 2．三大要素： 一是平移的起點，二是平移的方向，三是平移的距離．
3．性質(zhì)：
1）平移前后，對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)角相等；2）各對應(yīng)點所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；3）平移前后的圖形全等．
4．作圖步驟：
1）根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；2）找出原圖形的關(guān)鍵點；3）按平移方向和平移距離平移各個關(guān)鍵點，得到各關(guān)鍵點的對應(yīng)點；4）按原圖形依次連接對應(yīng)點，得到平移后的圖形．
知識點1-5 圖形的旋轉(zhuǎn)
1．定義：在平面內(nèi)，一個圖形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉(zhuǎn)過一個角度，這樣的圖形運動叫旋轉(zhuǎn)．這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的這個角叫做旋轉(zhuǎn)角．
2．三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．
3．性質(zhì)：1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2）每對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．
4．作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；2）找出原圖形的關(guān)鍵點；3）連接關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點的對應(yīng)點；4）按原圖形依次連接對應(yīng)點，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．
【注意】旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關(guān)系不發(fā)生改變，所以在解答有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問題時，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關(guān)系起著關(guān)鍵的作用．
5.中心對稱圖形與中心對稱

中心對稱圖形
中心對稱
圖
形


定
義
如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心
如果一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱
性
質(zhì)
對應(yīng)點
點A與點C，點B與點D
點A與點A′，點B與點B′，點C與點C′
對應(yīng)線段
AB=CD，
AD=BC
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
對應(yīng)角
∠A=∠C
∠B=∠D
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
區(qū)
別
中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形
中心對稱是指兩個圖形的關(guān)系
聯(lián)
系
把中心對稱圖形的兩個部分看成“兩個圖形”，則這“兩個圖形”成中心對稱
把成中心對稱的兩個圖形看成一個“整體”，則“整體”成為中心對稱圖形

知識點1-6尺規(guī)作圖
1．尺規(guī)作圖的定義:在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖．
2．五種基本作圖：1）作一條線段等于已知線段；2）作一個角等于已知角；3）作一個角的平分線；4）作一條線段的垂直平分線；5）過一點作已知直線的垂線．
3．根據(jù)基本作圖作三角形
1）已知三角形的三邊，求作三角形；2）已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；
3）已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；4）已知三角形的兩角及其中一角的對邊，求作三角形；
5）已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形．
4．與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖
1）過不在同一直線上的三點作圓（即三角形的外接圓）；2）作三角形的內(nèi)切圓．
5．有關(guān)中心對稱或軸對稱的作圖以及設(shè)計圖案是中考常見類型．
6．作圖題的一般步驟：（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）證明；（6）討論．
其中步驟（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡.

重難點題型
題型1三視圖及幾何體的還原
【解題技巧】在判斷幾何體的三視圖時，注意以下兩個方面：1）分清主視圖、左視圖與俯視圖的區(qū)別；2）看得見的線畫實線，看不見的線畫虛線．
1．（2020·湖北黃石市·中考真題）如圖所示，該幾何體的俯視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)俯視圖的定義判斷即可．
【詳解】俯視圖即從上往下看的視圖,因此題中的幾何體從上往下看是左右對稱的兩個矩形．故選B．
【點睛】本題考查俯視圖的定義,關(guān)鍵在于牢記定義．
2．（2020·山東濰坊市·中考真題）將一個大正方體的一角截去一個小正方體，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中．
【詳解】從幾何體的左邊看可得到一個正方形，正方形的右上角處有一個看不見的小正方形畫為虛線，
故選：D．
【點睛】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖；注意看到的用實線表示，看不到的用虛線表示．
3．（2020·山東青島市·中考真題）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)俯視圖的定義即可求解．
【詳解】由圖形可知，這個幾何體的俯視圖為故選A．
【點睛】此題主要考查俯視圖的判斷，解題的關(guān)鍵是熟知俯視圖的定義．
4．（2020·浙江臺州市·中考真題）用三個相同的正方體搭成如圖所示的立體圖形，則該立體圖形的主視圖是（ ）

A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三視圖的相關(guān)知識直接找出主視圖即可．
【詳解】主視圖即從圖中箭頭方向看，得出答案為A，故答案選：A．
【點睛】此題考查立體圖形的三視圖，理解定義是關(guān)鍵．
5．（2020·湖北隨州市·中考真題）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（ ）

A．圓柱 B．圓錐 C．四棱柱 D．四棱錐
【答案】A
【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形，從而得出答案．
【詳解】俯視圖為圓的幾何體為球，圓柱，再根據(jù)其他視圖，可知此幾何體為圓柱．故選：A．
【點睛】本題考查由三視圖確定幾何體的形狀，主要考查學(xué)生空間想象能力．
6．（2020·湖北宜昌市·中考真題）詩句“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，意思是說要認(rèn)清事物的本質(zhì)，就必須從不同角度去觀察．下圖是對某物體從不同角度觀察的記錄情況，對該物體判斷最接近本質(zhì)的是（ ）．

A．是圓柱形物體和球形物體的組合體，里面有兩個垂直的空心管
B．是圓柱形物體和球形物體的組合體，里面有兩個平行的空心管
C．是圓柱形物體，里面有兩個垂直的空心管
D．是圓柱形物體，里面有兩個平行的空心管
【答案】D
【分析】由三視圖的圖形特征進行還原即可．
【詳解】由三視圖可知：幾何體的外部為圓柱體，內(nèi)部為兩個互相平行的空心管 故選：D
【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖還原簡單幾何體，熟知其還原過程是解題的關(guān)鍵．
7．（2020·湖北襄陽市·中考真題）如圖所示的三視圖表示的幾何體是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀．
【詳解】根據(jù)主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體，根據(jù)俯視圖是圓可判斷出這個幾何體應(yīng)該是圓柱．
故選：A．
【點睛】本題考查了由三視力還原幾何體，主視圖和左視圖的大致輪廓為長方形的幾何體為柱體．

題型2組合正方體的最值問題
【解題技巧】
1．（2020·黑龍江鶴崗市·中考真題）如圖，由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的主視圖和左視圖，則所需的小正方體的個數(shù)最少是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】左視圖底面有2個小正方體，主視圖底面有2個小正方體，則可以判斷出該幾何體底面最少有2個小正方體，最多有4個．根據(jù)這個思路可判斷出該幾何體有多少個小立方塊．
【詳解】左視圖與主視圖相同，可判斷出底面最少有2個，
第二層最少有1個小正方體，第三層最少有1個小正方體，
則這個幾何體的小立方塊的個數(shù)最少是個，故選：C．
【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，根據(jù)題目中要求的以最少的小正方體搭建這個幾何體，可以想象出左視圖的樣子，然后根據(jù)“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”很容易就知道小正方體的個數(shù)．
2．（2020·四川雅安市·中考真題）一個幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】在“俯視打地基”的前提下，結(jié)合左視圖知俯視圖上一行三個小正方體的上方（第2層）至少還有1個正方體，據(jù)此可得答案.
【詳解】解：由俯視圖與左視圖知，該幾何體所需小正方體個數(shù)最少分布情況如下圖所示：

所以組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為5，故選：B．
【點睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是掌握口訣“俯視打地基，主視瘋狂蓋，左視拆違章”．
3．（2020·青海中考真題）在一張桌子上擺放著一些碟子，從3個方向看到的3種視圖如圖所示，則這個桌子上的碟共有（ ）

A．4個 B．8個 C．12個 D．17個
【答案】C
【分析】先根據(jù)俯視圖得出碟子共有3摞，再根據(jù)主視圖和俯視圖得出每摞上碟子的個數(shù)，由此即可得．
【詳解】由俯視圖可知，碟子共有3摞
由主視圖和左視圖可知，這個桌子上碟子的擺放為，其中，數(shù)字表示每摞上碟子的個數(shù)
則這個桌子上的碟共有（個）故選：C．
【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的組成，掌握理解3種視圖的定義是解題關(guān)鍵．
4．（2020·黑龍江鶴崗市·中考真題）如圖，由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的主視圖和左視圖，則所需的小正方體的個數(shù)最多是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】這個幾何體共有3層，由左視圖可得第一層小正方體的最多個數(shù)，由主視圖可得第二層小正方體的最多個數(shù)，以及第三層的最多個數(shù)，再相加即可．
【詳解】解：由題意，由主視圖有3層，2列，由左視圖可知，第一層最多有4個，第二層最多2個，第三層最多1個，∴所需的小正方體的個數(shù)最多是：4+2+1=7（個）；故選：B．
【點睛】本題主要考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．
5．（2020·黑龍江牡丹江市·中考真題）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)所給出的圖形可知這個幾何體共有2層，2列，先看第一層正方體可能的最少個數(shù)，再看第二層正方體的可能的最少個數(shù)，相加即可．
【詳解】仔細觀察物體的主視圖和左視圖可知：該幾何體的下面最少要有2個小正方體，上面最少要有1個小正方體，故該幾何體最少有3個小正方體組成．故選D．
【點睛】本題主要考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．
6．（2020·貴州黔東南苗族侗族自治州·中考真題）桌上擺著一個由若干個相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最多有（　　）

A．12個 B．8個 C．14個 D．13個
【答案】D
【分析】易得此幾何體有三行，三列，判斷出各行各列最多有幾個正方體組成即可．
【詳解】解：底層正方體最多有9個正方體，第二層最多有4個正方體，所以組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最多有13個．故選：D．
【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解決本題的關(guān)鍵是利用“主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”找到所需正方體的個數(shù)．

題型3 幾何體的計算問題
【解題技巧】解答此類問題時，首先要根據(jù)三視圖還原幾何體，再根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)確定還原后的幾何體中的數(shù)據(jù)，最后根據(jù)體積或面積公式進行計算．
1．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為____________．

【答案】3π+4
【分析】首先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，然后計算其表面積即可．
【詳解】解：觀察該幾何體的三視圖發(fā)現(xiàn)其為半個圓柱，半圓柱的直徑為2，高為1，
故其表面積為：π×12+（π+2）×2=3π+4，故答案為：3π+4．
【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關(guān)鍵是首先根據(jù)三視圖得到幾何體的形狀，難度不大．
2．（2020·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，依據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，計算出這個幾何體的側(cè)面積是______．

【答案】65π
【分析】由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐，根據(jù)圖中給定數(shù)據(jù)求出母線l和底面圓半徑為r的長度，再套用側(cè)面積公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由三視圖可知，原幾何體為圓錐，設(shè)圓錐母線長為l,底面圓半徑為r
有l(wèi)=13，r=5 S側(cè)＝πrl＝π×5×13＝65π．故答案為：65π．
【點睛】本題考查了三視圖以及圓錐的側(cè)面積公式，其中根據(jù)幾何體的三視圖判斷出原幾何體是解題的關(guān)鍵，再套用公式即可作答．
3．（2020·浙江金華市·中考真題）如圖為一個長方體，則該幾何體主視圖的面積為______cm2.

【答案】20
【分析】根據(jù)從正面看所得到的圖形，即可得出這個幾何體的主視圖的面積．
【詳解】解：該幾何體的主視圖是一個長為5，寬為4的矩形，所以該幾何體主視圖的面積為20cm2．
故答案為：20．
【點睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
4．（2020·湖南懷化市·中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)求得這個幾何體的側(cè)面積是________（結(jié)果保留）．

【答案】24π cm2
【分析】根據(jù)三視圖確定該幾何體是圓柱體，再計算圓柱體的側(cè)面積．
【詳解】解：先由三視圖確定該幾何體是圓柱體，底面半徑是4÷2=2cm，高是6cm，
圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，長方形的長是圓柱的底面周長，長方形的寬是圓柱的高，
且底面周長為：2π×2=4π(cm)，∴這個圓柱的側(cè)面積是4π×6=24π(cm2)．故答案為：24π cm2．
【點睛】此題主要考查了由三視圖確定幾何體和求圓柱體的側(cè)面積，關(guān)鍵是根據(jù)三視圖確定該幾何體是圓柱體．
5．（2020·四川中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計算這個幾何體的表面積是（　?。?br />
A．20π B．18π C．16π D．14π
【答案】B
【分析】由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體，根據(jù)圖中給定數(shù)據(jù)求出表面積即可．
【詳解】由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體，且底面半徑為，
∴這個幾何體的表面積=底面圓的面積+圓柱的側(cè)面積+圓錐的側(cè)面積
=22π+222π+32π=18π，故選：B．
【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體、圓錐和圓柱的計算，由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體是解題的關(guān)鍵．
6．（2020·江蘇南通市·中考真題）如圖是一個幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：cm），則這個幾何體的側(cè)面積為（　?。?br />
A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2
【答案】B
【分析】先判斷這個幾何體為圓錐，同時得到圓錐的母線長為8，底面圓的直徑為6，然后利用扇形的面積公式計算這個圓錐的側(cè)面積．
【詳解】解：由三視圖得這個幾何體為圓錐，圓錐的母線長為8，底面圓的直徑為6，
所以這個幾何體的側(cè)面積＝×π×6×8＝24π（cm2）．故選：B．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了三視圖．
7．（2020·湖南永州市·中考真題）如圖，這是一個底面為等邊三角形的正三棱柱和它的主視圖、俯視圖，則它的左視圖的面積是（ ）

A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三視圖確定底面等邊三角形的邊長為2，該幾何體的高為2，再確定該幾何體的三視圖利用面積公式計算即可.
【詳解】由三視圖可知：底面等邊三角形的邊長為2，該幾何體的高為2，
該幾何體的左視圖為長方形，該長方形的長為該幾何體的高2，寬為底面等邊三角形的高，
∵底面等邊三角形的高=，∴ 它的左視圖的面積是，故選：D.
【點睛】此題考查簡單幾何體的三視圖，能根據(jù)幾何體會畫幾何體的三視圖，能依據(jù)三視圖判斷幾何體的長、寬、高的數(shù)量，掌握簡單幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵.

題型4立體圖形的展開與折疊
【解題技巧】正方體展開圖口訣：正方體展有規(guī)律，十一種類看仔細；中間四個成一行，兩邊各一無規(guī)矩；二三緊連錯一個，三一相連一隨意；兩兩相連各錯一，三個兩排一對齊；一條線上不過四，田七和凹要放棄；相間之端是對面，間二拐角面相鄰．
1．（2020·四川綿陽市·中考真題）下列四個圖形中，不能作為正方體的展開圖的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正方體的展開圖的11種不同情況進行判斷即可．
【詳解】解：正方體展開圖的11種情況可分為“1﹣4﹣1型”6種，“2﹣3﹣1型”3種，“2﹣2﹣2型”1種，“3﹣3型”1種，因此選項D符合題意，故選：D．
【點睛】本題考查正方體的展開圖，理解和掌握正方體的展開圖的11種不同情況，是正確判斷的前提．
2．（2020·黑龍江大慶市·中考真題）將正方體的表面沿某些棱剪開，展成如圖所示的平面圖形，則原正方體中與數(shù)字5所在的面相對的面上標(biāo)的數(shù)字為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，先判斷中間四個面的情況，根據(jù)這一特點可得到答案．
【詳解】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，
所以：是相對面，是相對面，所以：是相對面．故選B．
【點睛】本題主要考查了正方體的表面展開圖，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．
3．（2020·吉林長春市·中考真題）下列圖形是四棱柱的側(cè)面展開圖的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)四棱柱是由四個大小相同的長方形和兩個全等的正方形構(gòu)成的解答即可.
【詳解】四棱柱的側(cè)面是由四個同樣大小的長方形圍成的，故選：A.
【點睛】此題考查了簡單幾何體的側(cè)面展開圖，正確掌握幾何體的構(gòu)成是解題的關(guān)鍵.
4．（2020·甘肅天水市·中考真題）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種表面展開圖，那么在原正方體中，與“伏”字所在面相對面上的漢字是(　　　)

A．文 B．羲 C．弘 D．化
【答案】D
【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答即可．
【詳解】解：在原正方體中，與“揚”字所在面相對面上的漢字是“羲”，與“伏”字所在面相對面上的漢字是“化”，與“弘”字所在面相對面上的漢字是“文”．故選：D．
【點睛】本題考查了正方體的展開圖，熟練掌握解答的要點：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，建立空間觀念是關(guān)鍵．
5．（2020·江西中考真題）如圖所示，正方體的展開圖為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正方體的展開圖的性質(zhì)判斷即可；
【詳解】A中展開圖正確；B中對號面和等號面是對面，與題意不符；
C中對號的方向不正確，故不正確；D中三個符號的方位不相符，故不正確；故答案選A．
【點睛】本題主要考查了正方體的展開圖考查，準(zhǔn)確判斷符號方向是解題的關(guān)鍵．
6．（2020·江蘇泰州市·中考真題）把如圖所示的紙片沿著虛線折疊，可以得到的幾何體是（ ）

A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱錐 D．四棱錐
【答案】A
【分析】根據(jù)折線部分折回立體圖形判斷即可.
【詳解】由圖形折線部分可知,有兩個三角形面平行,三個矩形相連,可知為三棱柱.故選A.
【點睛】本題考查折疊與展開相關(guān)知識點,關(guān)鍵在于利用空間想象能力折疊回立體圖形.

題型5投影
【解題技巧】1）．根據(jù)兩種物體的影子判斷其是在燈光下還是在陽光下的投影，關(guān)鍵是看這兩種物體的頂端和其影子的頂端的連線是平行還是相交，若平行則是在陽光下的投影，若相交則是在燈光下的投影．
2）．光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終在物體的兩側(cè)．3）．物體的投影分為中心投影和平行投影．
1．（2020·貴州貴陽市·中考真題）在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹在同一時刻陽光下影子的圖形的可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)太陽光下的影子的特點：（1）同一時刻，太陽光下的影子都在同一方向；（2）太陽光線是平行的，太陽光下的影子與物體高度成比例，據(jù)此逐項判斷即可．
【詳解】選項A、B中，兩棵小樹的影子的方向相反，不可能為同一時刻陽光下的影子，則選項A、B錯誤
選項C中，樹高與影長成反比，不可能為同一時刻陽光下的影子，則選項C錯誤
選項D中，在同一時刻陽光下，影子都在同一方向，且樹高與影長成正比，則選項D正確故選：D．
【點睛】本題考查了太陽光下的影子的特點，掌握太陽光下的影子的特點是解題關(guān)鍵．
2．（2020·廣東深圳市·中考模擬）小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米．已知斜坡的坡角為300，同一時 刻，一根長為l米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為（ ）

A．米 B．12米 C．米 D．10米
【答案】A
【解析】解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)．
【分析】延長AC交BF延長線于E點，則∠CFE=30°．

作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2，在Rt△CED中，CE=2，
∵同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，∴DE=4．
∴BD=BF+EF+ED=12+2．
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，AB=BD=．故選A．
3．（2020·黑龍江綏化市·中考模擬）正方形的正投影不可能是（ ）
A．線段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
【答案】D
【解析】在同一時刻，平行物體的投影仍舊平行．得到的應(yīng)是平行四邊形或特殊的平行四邊形或線段．
故正方形紙板ABCD的正投影不可能是梯形，故選D．
考點：平行投影．
4．（2020·廣西南寧市·中考模擬）把一個正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時的正投影是( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)平行投影特點以及圖中正六棱柱的擺放位置即可求解．
把一個正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時的正投影是正六邊形．
考點：平行投影．
5．（2020·四川達州市·中考模擬）下面是一天中四個不同時刻兩座建筑物的影子，將它們按時間先后順序正確的是

A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
【答案】C
【解析】根據(jù)從早晨到傍晚物體影子的指向是：西－西北－北－東北－東，影長由長變短，再變長，因此，
∵（1）為東北，（2）為東，（3）為西，（4）為西北，
∴將它們按時間先后順序排列為（3）（4）（1）（2）．故選C．
2．（2020·四川攀枝花市·中考真題）實驗學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)“綜合與實踐”測量活動．有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為．王詩嬑觀測到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長為；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：（1）若王詩嬑的身高為，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長為多少？（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi)．請直接回答這個猜想是否正確？（3）若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為，則高圓柱的高度為多少？

【答案】（1）120cm；（2）正確；（3）280cm
【分析】（1）根據(jù)同一時刻，物長與影從成正比，構(gòu)建方程即可解決問題．
（2）根據(jù)落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽光為平行光，結(jié)合橫截面分析可得；
（3）過點F作FG⊥CE于點G，設(shè)FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，過點F作FH⊥AB于點H，再根據(jù)同一時刻身高與影長的比例，求出AH的長度，即可得到AB.
【詳解】解：（1）設(shè)王詩嬑的影長為xcm，由題意可得：，解得：x=120，
經(jīng)檢驗：x=120是分式方程的解，王詩嬑的的影子長為120cm；
（2）正確，因為高圓柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽光的光線與MN垂直，
則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，
而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，
∴高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi)；
（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽光，△CDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子，
過點F作FG⊥CE于點G，由題意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度，∴，∴設(shè)FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，解得：m=20，∴CG=60，F(xiàn)G=80，∴BG=BC+CG=160，
過點F作FH⊥AB于點H，∵同一時刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，F(xiàn)H⊥AB，可知四邊形HBGF為矩形，
∴，∴AH==200，∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圓柱的高度為280cm.

【點睛】本題考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解實際物體與影長之間的關(guān)系解決問題，屬于中考常考題型．

題型6軸對稱
【解題技巧】軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系
區(qū)別：軸對稱圖形是針對一個圖形而言，它是指一個圖形所具有的對稱性質(zhì)，而軸對稱則是針對兩個圖形而言的，它描述的是兩個圖形的一種位置關(guān)系，軸對稱圖形沿對稱軸對折后，其自身的一部分與另一部分重合，而成軸對稱的兩個圖形沿對稱軸對折后，一個圖形與另一個圖形重合.
聯(lián)系：把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體時，它就成了一個軸對稱圖形．
1．（2020·山東濟南市·中考真題）古錢幣是我國悠久的歷史文化遺產(chǎn)，以下是在《中國古代錢幣》特種郵票中選取的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】D
【分析】軸對稱圖形的定義：把一個圖形沿某條直線對折，對折后直線兩旁的部分能完全重合，則這個圖形是軸對稱圖形，中心對稱圖形：把一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，則這個圖形是中心對稱圖形，根據(jù)概念逐一分析可得答案．
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的，故本選項符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查的是軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念與識別，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；故選：C．
【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
3．（2020·山東濱州市·中考真題）下列圖形：線段、等邊三角形、平行四邊形、圓，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：線段是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；
平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；
則既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有2個．故選：B．
【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．
4．（2020·山東煙臺市·中考真題）下列關(guān)于數(shù)字變換的圖案中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念對每一個選項進行判斷即可．
【詳解】解：A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：A．
【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念．
5．（2020·廣東廣州市·中考真題）如圖所示的圓錐，下列說法正確的是（ ）

A．該圓錐的主視圖是軸對稱圖形
B．該圓錐的主視圖是中心對稱圖形
C．該圓錐的主視圖既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
D．該圓錐的主視圖既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形
【答案】A
【分析】首先判斷出圓錐的主視圖，再根據(jù)主視圖的形狀判斷是軸對稱圖形，還是中心對稱圖形，從而可得答案．
【詳解】解：圓錐的主視圖是一個等腰三角形，
所以該圓錐的主視圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A正確，
該圓錐的主視圖是中心對稱圖形，故B錯誤，
該圓錐的主視圖既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故C錯誤，
該圓錐的主視圖既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，故D錯誤，故選A．
【點睛】本題考查的簡單幾何體的三視圖，同時考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形的識別，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
6．（2020·廣東深圳市·中考真題）下列圖形中既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：B．
【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
7．（2020·湖南長沙市·中考真題）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意；
C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不合題意；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意．故選：B．
【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后原圖形重合．

題型7利用軸對稱求最值
【解題技巧】對稱問題，包括折疊問題.三角形、四邊形、圓的軸對稱性問題;有關(guān)利用軸對稱性求最值問題;有關(guān)平面解析幾何中圖形的軸對稱性問題.
1．（2020·江蘇南京市·）如圖①，要在一條筆直的路邊上建一個燃氣站，向同側(cè)的A、B兩個城鎮(zhèn)分別發(fā)鋪設(shè)管道輸送燃氣，試確定燃氣站的位置，使鋪設(shè)管道的路線最短．

（1）如圖②，作出點A關(guān)于的對稱點，線與直線的交點C的位置即為所求， 即在點C處建氣站， 所得路線ACB是最短的，為了讓明點C的位置即為所求，不妨在直線上另外任取一點，連接，， 證明， 請完成這個證明．
（2）如果在A、B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護區(qū)，燃氣管道不能穿過該區(qū)域請分別始出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由），
①生市保護區(qū)是正方形區(qū)城，位置如圖③所示
②生態(tài)保護區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．

【答案】（1）證明見解析；（2）①見解析，②見解析
【分析】（1）連接，利用垂直平分線的性質(zhì)，得到，利用三角形的三邊關(guān)系，即可得到答案；
（2）由（1）可知，在點C處建燃氣站，鋪設(shè)管道的路線最短．分別對①、②的道路進行設(shè)計分析，即可求出最短的路線圖．
【詳解】（1）證明：如圖，連接

∵點A、關(guān)于l對稱，點C在l上∴，∴，
同理，在中，有∴；
（2）解：①在點C處建燃氣站，鋪設(shè)管道的最短路線是AC+CD+DB（如圖，其中D是正方形的頂點）．
②在點C處建燃氣站，鋪設(shè)管道的最短路線是（如圖，其中CD、BE都與圓相切）．

【點睛】本題考查了切線的應(yīng)用，最短路徑問題，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確確定點C的位置，從而確定鋪設(shè)管道的最短路線．
2．（2020·湖南永州市·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，且，在內(nèi)有一點，M，N分別是邊上的動點，連接，則周長的最小值是______．

【答案】
【分析】分別作出點P關(guān)于OA和OB的對稱點和，連接，分別與OA和OB交于點M和N，此時，的長即為周長的最小值．
【詳解】解：分別作出點P關(guān)于OA和OB的對稱點和，則（4，-3），連接，分別與OA和OB交于點M和N，此時，的長即為周長的最小值．

由可得直線OA的表達式為y=2x，設(shè)(x,y)，由與直線OA垂直及中點坐標(biāo)在直線OA上可得方程組：解得：則(0，5)，
由兩點距離公式可得：即周長的最小值．故答案為．
【點睛】本題考查了軸對稱變換中的最短路徑問題，解題關(guān)鍵在于找出兩個對稱點，利用方程求出點的坐標(biāo)．
3．（2020·河南中考真題）如圖，在扇形中，平分交狐于點．點為半徑上一動點若，則陰影部分周長的最小值為__________．

【答案】
【分析】如圖，先作扇形關(guān)于對稱的扇形 連接交于，再分別求解的長即可得到答案．
【詳解】解： 最短，則最短，
如圖，作扇形關(guān)于對稱的扇形 連接交于，
則 此時點滿足最短，
平分
而的長為：
最短為 故答案為：

【點睛】本題考查的是利用軸對稱求最短周長，同時考查了圓的基本性質(zhì)，扇形弧長的計算，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
4．（2020·天津中考真題）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點均落在格點上，點B在網(wǎng)格線上，且．（Ⅰ）線段的長等于___________；（Ⅱ）以為直徑的半圓與邊相交于點D，若分別為邊上的動點，當(dāng)取得最小值時，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）_______．

【答案】 詳見解析
【分析】（1）將AC放在一個直角三角形，運用勾股定理求解；（2）取格點M，N，連接MN，連接BD并延長，與MN相交于點；連接，與半圓相交于點E，連接BE，與AC相交于點P，連接并延長，與BC相交于點Q，則點P，Q即為所求．
【詳解】（Ⅰ）如圖，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,則由勾股定理，得AC==；

（Ⅱ）如圖，取格點M，N，連接MN，連接BD并延長，與MN相交于點；連接，與半圓相交于點E，連接BE，與AC相交于點P，連接并延長，與BC相交于點Q，則點P，Q即為所求．
【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計，勾股定理，軸對稱-最短問題，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱，根據(jù)垂線段最短解決最短問題，屬于中考常考題型．
5．（2020·四川宜賓市·中考真題）如圖，四邊形中，是AB上一動點，則的最小值是________________

【答案】
【分析】作C點關(guān)于AB的對稱點C’，連接C’D，的最小值即為C’D的長，作C’E⊥DA的延長線于點E，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】如圖，作C點關(guān)于AB的對稱點C’，連接C’D，的最小值即為C’D的長，
作C’E⊥DA的延長線于點E，∴四邊形ABC’E是矩形
∴DE=AD+AE=AD+BC’=5,∴C’D= 故答案為：．

【點睛】此題主要考查對稱性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知對稱的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．
6．（2020·四川內(nèi)江市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，若點M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點，則的最小值為___________________．

【答案】
【分析】如圖，過A作于，延長，使，過作于，交于，則最短，再利用矩形的性質(zhì)與銳角三角函數(shù)求解即可得到答案．
【詳解】解：如圖，過A作于，延長，使，過作于，交于，則最短，
四邊形為矩形，，，


即的最小值為
故答案為：

【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，同時考查利用軸對稱與垂線段最短求線段和的最小值問題，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
7．（2020·山東聊城市·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點，是第一象限角平分線上的兩點，點的縱坐標(biāo)為1，且，在軸上取一點，連接，，，，使得四邊形的周長最小，這個最小周長的值為________．

【答案】
【分析】先求出AC=BC=2，作點B關(guān)于y軸對稱的點E，連接AE，交y軸于D，此時AE=AD+BD，且AD+BD值最小，即此時四邊形的周長最?。蛔鱂G∥y軸，AG∥x軸，交于點G，則GF⊥AG，根據(jù)勾股定理求出AE即可．
【詳解】解：∵，點的縱坐標(biāo)為1，∴AC∥x軸，
∵點，是第一象限角平分線上的兩點，∴∠BAC=45°，
∵，∴∠BAC=∠ABC=45°，∴∠C=90°，∴BC∥y軸，∴AC=BC=2，
作點B關(guān)于y軸對稱的點E，連接AE，交y軸于D，此時AE=AD+BD，且AD+BD值最小，
∴此時四邊形的周長最小，作FG∥y軸，AG∥x軸，交于點G，則GF⊥AG，
∴EG=2，GA=4，在Rt△AGE中，，
∴ 四邊形的周長最小值為2+2+=4+ ．

【點睛】本題考查了四條線段和最短問題．由于AC=BC=2,因此本題實質(zhì)就是求AD+BD最小值，從而轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問題，這是解題關(guān)鍵．

題型8平移
【解題技巧】1）．平移后，對應(yīng)線段相等且平行，對應(yīng)點所連的線段平行（或共線）且相等．
2）．平移后，對應(yīng)角相等且對應(yīng)角的兩邊分別平行或一條邊共線，方向相同．
3）．平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移后新舊兩圖形全等．
平移問題,包括直線(線段)的平移問題;曲線的平移問題;三角形的平移問題;四邊形的平移問題;其他曲面的平移問題。
1．（2020·內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直線BC向右平移3個單位長度得到△A'B'C' ，則四邊形ABC'A'的面積是 （ ）

A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC邊的長度，四邊形ABC’A’的面積為平行四邊形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面積之和，分別求出平行四邊形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面積，即可得出答案．
【詳解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得來，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，∴，
又∵BB’=3，A’C’= 3，∴，
∴，故選：A．
【點睛】本題主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四邊形與直角三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵在于判斷出所求面積為平行四邊形與直角三角形的面積之和，且掌握平行四邊形的面積為底高．
2．（2020·山東棗莊市·中考真題）在下圖的四個三角形中，不能由經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移得到的是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答.
【詳解】A、可由△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度得到；B、可由△ABC翻折得到；
C、可由△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度得到；D、可由△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度得到．故選B．
3．（2020·遼寧阜新市·中考真題）如圖，把沿邊平移到的位置，圖中所示的三角形的面積與四邊形的面積之比為4∶5，若，則此三角形移動的距離是____________．

【答案】
【分析】根據(jù)題意可知△A1BD∽△ABC，又根據(jù)已知條件“圖中所示的三角形的面積與四邊形的面積之比為4∶5”可得與的面積比為4∶9，即得出A1B∶AB=2∶3，已知，故可求A1B，最終求出．
【詳解】
∵根據(jù)題意“把沿邊平移到的位置”，∴AC∥A1D，故判斷出△A1BD∽△ABC，
∵圖中所示的三角形的面積與四邊形的面積之比為4∶5，
∴與的面積比為4∶9，∴A1B∶AB=2∶3，
∵，∴A1B=，∴=AB－A1B=4－=．故答案為．
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，點P、Q分別是AB、A1C1的中點，PQ的最小值等于_____．

【答案】
【分析】取的中點，的中點，連接，，，，根據(jù)平移的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．
【詳解】解：取的中點，的中點，連接，，，，

將平移5個單位長度得到△，，，
點、分別是、的中點，，
，即，的最小值等于，故答案為：．
【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2020·山東淄博市·中考真題）如圖，將△ABC沿BC方向平移至△DEF處．若EC＝2BE＝2，則CF的長為_____．

【答案】1
【詳解】利用平移的性質(zhì)得到BE＝CF，再用EC＝2BE＝2得到BE的長，從而得到CF的長．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF處．∴BE＝CF，
∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．故答案為1．
【點評】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行（或共線）且相等．
6．（2020·青海中考真題）如圖，將周長為8的沿BC邊向右平移2個單位，得到，則四邊形的周長為________．

【答案】12
【分析】先根據(jù)平移的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的周長公式可得，然后根據(jù)等量代換即可得．
【詳解】由平移的性質(zhì)得：的周長為8
則四邊形ABFD的周長為
故答案為：12．
【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)等知識點，掌握理解平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7．（2020·廣東廣州市·中考真題）如圖，點的坐標(biāo)為，點在軸上，把沿軸向右平移到，若四邊形的面積為9，則點的坐標(biāo)為_______．

【答案】(4，3)
【分析】過點A作AH⊥x軸于點H，得到AH=3，根據(jù)平移的性質(zhì)證明四邊形ABDC是平行四邊形，得到AC=BD，根據(jù)平行四邊形的面積是9得到，求出BD即可得到答案.
【詳解】過點A作AH⊥x軸于點H，∵A（1,3），∴AH=3，由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴AC=BD，
∵，∴BD=3，∴AC=3，∴C(4，3)故答案為：(4，3).

【點睛】此題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，直角坐標(biāo)系中點到坐標(biāo)軸的距離與點坐標(biāo)的關(guān)系.

題型9旋轉(zhuǎn)
【解題技巧】通過旋轉(zhuǎn)，圖形中的每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．在旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化．
旋轉(zhuǎn)問題,包括直線(線段)的旋轉(zhuǎn)問題;三角形的旋轉(zhuǎn)問題;四邊形的旋轉(zhuǎn)問題;其他圖形的旋轉(zhuǎn)問題.
1．（2020·四川中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．此時恰好點C在上，交AC于點E，則△ABE與△ABC的面積之比為（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，則△BCC'是等邊三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，設(shè)CE=a，則BE=a，AE=3a，求出，可求出答案．
【詳解】∵∠A=30°，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，
∵將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，
∴△BCC'是等邊三角形，∴∠CBC'=60°，∴∠ABA'=60°，∴∠BEA=90°，
設(shè)CE=a，則BE=a，AE=3a，∴，∴，∴△ABE與△ABC的面積之比為．故選：D．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2020·遼寧大連市·中考真題）如圖，中，．將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點C的對應(yīng)點恰好落在邊上，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余角的性質(zhì)，求出∠CAB=50°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，，然后求出，即可得到答案．
【詳解】解：在中，，∴∠CAB=50°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則，，∴，
∴；故選：D．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的性質(zhì)，正確求出．
3．（2020·內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）下列圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)一定角度都能與原圖形重合，其中旋轉(zhuǎn)角度最小的是 （ ）
A．等邊三角形 B．平行四邊形
C．正八邊形 D．圓及其一條弦
【答案】C
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義和各圖形的性質(zhì)找出各圖形的旋轉(zhuǎn)角，由此即可得．
【詳解】如圖1，等邊三角形的旋轉(zhuǎn)角為，是一個鈍角
如圖2，平行四邊形的旋轉(zhuǎn)角為，是一個平角 如圖3，正八邊形的旋轉(zhuǎn)角為，是一個銳角
如圖4，圓及一條弦的旋轉(zhuǎn)角為 由此可知，旋轉(zhuǎn)角度最小的是正八邊形 故選：C．

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的定義，正確找出各圖的旋轉(zhuǎn)角是解題關(guān)鍵．
4．（2020·遼寧阜新市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正六邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)i個45°，得到正六邊形，則正六邊形的頂點的坐標(biāo)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖，以為圓心，為半徑作 得到將邊長為1的正六邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)i個45°，即把繞點O順時針旋轉(zhuǎn)i個45°，與重合，利用正六邊形的性質(zhì)與銳角三角函數(shù)求解的坐標(biāo)，利用關(guān)于原點成中心對稱，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，以為圓心，為半徑作
將邊長為1的正六邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)i個45°，
即把繞點O順時針旋轉(zhuǎn)i個45°，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點依次記為，
周角＝ 繞點O順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)次回到原位置，
與重合，關(guān)于原點成中心對稱，連接
正六邊形，


關(guān)于原點成中心對稱， 故選A．

【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，正六邊形的性質(zhì)，圓的對稱性，銳角三角函數(shù)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
5．（2020·江蘇南通市·中考真題）以原點為中心，將點P（4，5）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到的點Q所在的象限為（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以原點為中心，將點P（4，5）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，即可得到點Q所在的象限．
【詳解】解：如圖，∵點P（4，5）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，

得點Q所在的象限為第二象限．故選：B．
【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
6．（2020·黑龍江牡丹江市·朝鮮族學(xué)校中考真題）如圖，在菱形OABC中，點B在x軸上，點A的坐標(biāo)為（2，2)，將菱形繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A落在x軸上時，點C的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（ ）

A．或 B．
C． D．或
【答案】D
【分析】如圖所示，過點A作AE⊥x軸于點E，根據(jù)題意易得△AOB為等邊三角形，在旋轉(zhuǎn)過程中，點A有兩次落在x軸上，當(dāng)點A落在x軸正半軸時，點C落在點C′位置，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)求解，當(dāng)A落在x軸負半軸時，點C落在點C′′位置，易證此時C′′與點A重合，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點A作AE⊥x軸于點E，

則，OA=，∴∠AOE=60°，
∵四邊形ABCD是菱形，∴△AOB是等邊三角形，當(dāng)A落在x軸正半軸時，點C落在點C′位置，
此時旋轉(zhuǎn)角為60°，∵∠BOC=60°，∠COF=30°，∴∠C′OF=60°-30°=30°，
∵OC′=OA=4，∴OF=，C′F=，
∴C′（），當(dāng)A落在x軸負半軸時，點C落在點C′′位置，
∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°
又∵OA=OC′′，∴此時C′′點A重合，C C′′，
綜上，點C的對應(yīng)點的坐標(biāo)為或，故答案為：D．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，分析點A的運動情況，分情況討論．

題型10 中心對稱
【解題技巧】識別軸對稱圖形與中心對稱圖形：
①識別軸對稱圖形：軸對稱圖形是一類具有特殊形狀的圖形，若把一個圖形沿某條直線對稱，直線兩旁的部分能完全重合，則稱該圖形為軸對稱圖形．這條直線為它的一條對稱軸．軸對稱圖形有一條或幾條對稱軸．②中心對稱圖形識別：看是否存在一點，把圖形繞該點旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合．
1．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）觀察下列圖形，是中心對稱圖形的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
試題分析：將一個圖形圍繞某一點旋轉(zhuǎn)180°之后能夠與原圖形完全重合，則這個圖形就是中心對稱圖形.
考點：中心對稱圖形
2．（2020·湖南婁底市·中考真題）我國汽車工業(yè)迅速發(fā)展，國產(chǎn)汽車技術(shù)成熟，下列汽車圖標(biāo)是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形．故錯誤； B、是中心對稱圖形．故正確；
C、不是中心對稱圖形．故錯誤； D、不是中心對稱圖形．故錯誤． 故選：B．
【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
3．（2020·江蘇鹽城市·中考真題）下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是：（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念即圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合即可求解．
【詳解】解：解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是中心對稱圖形，故此選項正確；
C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤，故選：B．
【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形關(guān)鍵是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．
4．（2020·湖南郴州市·中考真題）下列圖形是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．
【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
5．（2020·黑龍江牡丹江市·中考真題）下列圖形是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
C、是中心對稱圖形，故本選項正確；D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選：C．
【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
6．（2020·黑龍江鶴崗市·中考真題）下列圖標(biāo)中是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念 對各選項分析判斷即可得解．
【詳解】A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、是中心對稱圖形，故本選項正確；
C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選：B．
【點睛】本題考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．
7．（2020·湖南湘潭市·中考真題）下列圖形中，不是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)中心對稱與軸對稱的定義逐項判斷即可．
【詳解】A是圓和矩形的結(jié)合，屬于中心對稱圖形；B是中心對稱圖形；C屬于中心對稱圖形；
D是軸對稱圖形，不屬于中心對稱圖形；故選：D．
【點睛】本題主要考查了中心對稱的判斷，準(zhǔn)確理解定義進行判斷是解題的關(guān)鍵．

題型11基本的尺規(guī)作圖
【解題技巧】1．最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱為基本作圖．
2．基本作圖有五種：1）作一條線段等于已知線段；2）作一個角等于已知角；3）作一個角的平分線；
4）作一條線段的垂直平分線；5）過一點作已知直線的垂線．
1．（2020·陜西中考真題）如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）

【答案】詳見解析
【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖法，作一個角等于已知角，在AC邊上求作一點P，使∠PBC＝45°即可．
【詳解】解：如圖，點P即為所求．

作法：（1）以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧交AC于D，交BC于E，
（2）以點B為圓心，以CD長為半徑畫弧，交BC于F，
（3）以點F為圓心，以DE長為半徑畫弧，交前弧于點M，
（3）連接BM，并延長BM與AC交于點P，則點P即為所求．

【點睛】本題考查了作圖——基本作圖．解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．
2．（2020·湖北襄陽市·中考真題）如圖，中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由尺規(guī)作圖可知AD是∠CAB角平分線，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知，AD是∠CAB角平分線，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，選項A、B都正確，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，∴∠EDC=∠BAC，選項C正確，
選項D，題目中缺少條件證明，故選項D錯誤．故選：D.
【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖角平分線的作法，熟練掌握常見圖形的尺規(guī)作圖是解決這類題的關(guān)鍵．
3．（2020·浙江臺州市·中考真題）如圖，已知線段AB，分別以A，B為圓心，大于同樣長為半徑畫弧，兩弧交于點C，D，連接AC，AD，BC，BD，CD，則下列說法錯誤的是（ ）

A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB=CD
【答案】D
【分析】根據(jù)作圖判斷出四邊形ACBD是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)：菱形的對角線平分一組對角、菱形的對角線互相垂直平分可得出答案
【詳解】解：由作圖知AC=AD=BC=BD，∴四邊形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判斷AB=CD，選：D．
【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、菱形的判定方法等，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與性質(zhì)．
4．（2020·湖南郴州市·中考真題）如圖，在矩形中，．分別以點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點和．作直線分別與交于點，則__________．

【答案】2．
【分析】連接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根據(jù)勾股定理可得BD的長，根據(jù)作圖過程可得，MN是BD的垂直平分線，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根據(jù)勾股定理得DN的長，在Rt△DON中，根據(jù)勾股定理得ON的長，進而可得MN的長．
【詳解】如圖，連接DN，

在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，∴BD=，
根據(jù)作圖過程可知：MN是BD的垂直平分線，∴DN=BN，OB=OD=2，∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，
在Rt△ADN中，根據(jù)勾股定理，得DN2=AN2+AD2，∴DN2=（8-DN）2+42，解得DN=5，
在Rt△DON中，根據(jù)勾股定理，得ON=，
∵CD∥AB，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵OD=OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM=ON=，∴MN=2．故答案為：2．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．
5．（2020·廣西中考真題）如圖，在中，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCA，進而求得∠ACD，由作圖痕跡可知CE為∠ACD的平分線，利用角平分線定義求解即可．
【詳解】∵在中，，∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作圖痕跡可知CE為∠ACD的平分線，
∴，故選：B．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義和作法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的尺規(guī)作圖法是解答的關(guān)鍵．
6．（2020·湖南湘西·中考真題）已知，作的平分線，在射線上截取線段，分別以O(shè)、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F(xiàn)．畫直線，分別交于D，交于G．那么，一定是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】C
【分析】根據(jù)題意知EF垂直平分OC，由此證明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案.
【詳解】如圖，連接CD、CG，
∵分別以O(shè)、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F(xiàn)∴EF垂直平分OC，
設(shè)EF交OC于點N，∴∠ONE=∠ONF=90°，∵OM平分，∴∠NOD=∠NOG，
又∵ON=ON，∴△OMD≌△ONG，∴OD=OG，∴△ODG是等腰三角形，故選：C.

【點睛】此題考查基本作圖能力：角平分線的做法及線段垂直平分線的做法，還考查了全等三角形的判定定理及性質(zhì)定理，由此解答問題，根據(jù)題意得到EF垂直平分OC是解題的關(guān)鍵.
7．（2020·廣東深圳市·中考真題）如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD=（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法步驟判斷即可．
【詳解】由作圖痕跡可知AD為∠BAC的角平分線，而AB=AC，
由等腰三角形的三線合一知D為BC重點，BD=3，故選B
【點睛】本題考查尺規(guī)作圖-角平分線及三線合一的性質(zhì),關(guān)鍵在于牢記尺規(guī)作圖的方法和三線合一的性質(zhì).

題型12復(fù)雜的尺規(guī)作圖
【解題技巧】利用五種基本作圖作較復(fù)雜圖形．
1．（2020·浙江衢州市·中考真題）過直線l外一點P作直線l的平行線，下列尺規(guī)作圖中錯誤的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線的判定方法一一判斷即可．
【詳解】A、由作圖可知，內(nèi)錯角相等兩直線平行，本選項不符合題意．
B、由作圖可知，同位角相等兩直線平行，本選項不符合題意．
C、與作圖可知，垂直于同一條直線的兩條直線平行，本選項不符合題意，
D、無法判斷兩直線平行，故選：D．
【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．
2．（2020·福建中考真題）如圖，為線段外一點．

（1）求作四邊形，使得，且；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的四邊形中，，相交于點，，的中點分別為，求證：三點在同一條直線上．
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析
【分析】（1）按要求進行尺規(guī)作圖即可；(2)通過證明角度之間的大小關(guān)系，得到，即可說明三點在同一條直線上．
【詳解】解：（1）

則四邊形就是所求作的四邊形．
（2）∵，∴，，∴，∴．
∵分別為，的中點，∴，，∴．
連接，，又∵， ∴，∴，
∵點在上∴，∴，
∴三點在同一條直線上．

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．
3．（2020·柳州市柳林中學(xué)中考真題）通過如下尺規(guī)作圖，能確定點是邊中點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作線段的垂直平分線可得線段的中點．
【詳解】作線段的垂直平分線可得線段的中點．由此可知：選項A符合條件，故選A．
【點睛】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖．
4．（2020·寧夏中考真題）如圖，在中，，分別以點A、B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M、N，作直線交點D；以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交、于點E、F，再分別以點E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線，此時射線恰好經(jīng)過點D，則_____度．

【答案】32
【分析】由作圖可得MN是線段AB的垂直平分線，BD是∠ABC的平分線，根據(jù)它們的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得解．
【詳解】
由作圖可得，MN是線段AB的垂直平分線，BD是∠ABC的平分線，
∴AD=BD，
∴
∴
∵，且，
∴，即，∴．故答案為：32．
【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法和角平分線的作法．
5．（2020·甘肅蘭州市·中考真題）如圖，在中．
利用尺規(guī)作圖，在BC邊上求作一點P，使得點P到AB的距離的長等于PC的長；
利用尺規(guī)作圖，作出中的線段PD．
要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑

【答案】作圖見解析； （2）作圖見解析.
【分析】由點P到AB的距離的長等于PC的長知點P在平分線上，再根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖即可得（以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，與AC、AB分別交于一點，然后分別以這兩點為圓心，以大于這兩點距離的一半長為半徑畫弧，兩弧交于一點，過點A及這個交點作射線交BC于點P，P即為要求的點）；根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖即可得（以點P為圓心，以大于點P到AB的距離為半徑畫弧，與AB交于兩點，分別以這兩點為圓心，以大于這兩點間距離一半長為半徑畫弧，兩弧在AB的一側(cè)交于一點，過這點以及點P作直線與AB交于點D，PD即為所求）．
【詳解】如圖，點P即為所求；

如圖，線段PD即為所求．
【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
6．（2020·浙江嘉興市·中考模擬）如圖，已知，．

（1）在圖中，用尺規(guī)作出的內(nèi)切圓，并標(biāo)出與邊，，的切點，，（保留痕跡，不必寫作法）；（2）連接，，求的度數(shù)．
【答案】（1）作圖見解析；（2）70°．
【解析】（1）直接利用基本作圖即可得出結(jié)論；（2）利用四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
解析：（1）如圖1，

⊙O即為所求．
（2）如圖2，連接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，∴∠DOE=140°，∴∠EFD=70°．
考點：1.作圖—復(fù)雜作圖；2.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．
7．（2020·浙江嘉興市·中考真題）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步驟作圖：
①以點A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，再分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑作弧相交于點H，作射線AH；②分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑作弧相交于點M，N，作直線MN，交射線AH于點O；③以點O為圓心，線段OA長為半徑作圓．則⊙O的半徑為（　?。?br />
A．2 B．10 C．4 D．5
【答案】D
【分析】如圖，設(shè)OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
【詳解】解：如圖，設(shè)OA交BC于T．

∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，
∴AE＝，在Rt△OCT中，則有r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故選：D．
【點睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．

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