知識(shí)框架：


基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：
知識(shí)點(diǎn)1-1圓的有關(guān)概念
1．與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)
1）圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形．
2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦．
3）?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)?。?br /> 4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．
5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角．
6）弦心距：圓心到弦的距離．
知識(shí)點(diǎn)1-2垂徑定理及其推論
1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?br /> 關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形．
2．推論: 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br /> 知識(shí)點(diǎn)1-3圓心角、弧、弦的關(guān)系
1．定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立．
2．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
知識(shí)點(diǎn)1-4圓周角定理及其推論
1．定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
2．推論：1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等． 2）直徑所對的圓周角是直角．
圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．在圓中求角度時(shí)，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等．
知識(shí)點(diǎn)1-5與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d．(1)dr?點(diǎn)在⊙O外．
判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．
2．直線和圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系
相離
相切
相交
圖形



公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
0個(gè)
1個(gè)
2個(gè)
數(shù)量關(guān)系
d>r
d=r
d0，∴m=1，∴DH=1，OD=3，由（2）得BE=CE=OH=，AE=4，
在Rt△AEC中AC=，∵OD=OA，DH=HG，∴AG=2OH=，
∵∠ADG+∠ACG=180°，∠ACM+∠ACG=180°，∴∠ADG=∠ACM，
∴cos∠ADG=cos∠ACM，∴，∴，∴CM=，
在Rt△ACM中，AM==，
在Rt△AGM中，GM==，∴CG=GM-CM=．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，垂徑定理，勾股定理，掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．
8．（2020·上海中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長交邊AC于點(diǎn)D．
（1）求證：∠BAC=2∠ABD；（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，求∠BCD的大?。唬?）當(dāng)AD=2，CD=3時(shí)，求邊BC的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）∠BCD的值為67.5°或72°；（3）．
【分析】(1)連接OA．利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．(2)分三種情形：①若BD=CB，則∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，則∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，則D與A重合，這種情形不存在．分別利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解即可．
(3) 如圖3中，作AEBC交BD的延長線于E．則，進(jìn)而得到，設(shè)OB=OA=4a，OH=3a，根據(jù)BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，構(gòu)建方程求出a即可解決問題．
【詳解】解：(1)連接OA，如下圖1所示：

∵AB=AC，∴=，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．
∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．
(2)如圖2中，延長AO交BC于H．
①若BD=CB，則∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．
②若CD=CB，則∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．
③若DB=DC，則D與A重合，這種情形不存在．
綜上所述：∠C的值為67.5°或72°．
(3)如圖3中，過A點(diǎn)作AEBC交BD的延長線于E．
則==，且BC=2BH，∴==，
設(shè)OB=OA=4a，OH=3a．則在Rt△ABH和Rt△OBH中，
∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，∴25 - 49a2=16a2﹣9a2，
∴a2=，∴BH=，∴BC=2BH=．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．

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