?考點18.概率
知識框架：


基礎知識點：
知識點1-1 事件的分類
1．必然事件：在一定條件下一定會發(fā)生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定條件下一定不會發(fā)生的事件，它的概率是0．
3．隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，它的概率是0~1之間．
知識點1-2概率的計算
1．公式法：P（A）=，其中n為所有事件的總數(shù)，m為事件A發(fā)生的總次數(shù)．
2．列舉法
1）列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，應不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法求事件發(fā)生的概率．
2）畫樹狀圖法：當一次試驗要涉及2個或更多的因素時，通常采用畫樹狀圖來求事件發(fā)生的概率．
知識點1-3利用頻率估計概率
1．定義：一般地，在大量重復試驗中，如果事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)P附近，因此，用一個事件發(fā)生的頻率來估計這一事件發(fā)生的概率．
2．適用條件：當試驗的所有可能結果不是有限個，或各種結果發(fā)生的可能性不相等時，我們一般要通過統(tǒng)計頻率來估計概率．
3．方法：進行大量重復試驗，當事件發(fā)生的頻率越來越靠近一個常數(shù)時，該常數(shù)就可認為是這個事件發(fā)生的概率．
知識點1-4 概率的應用
概率是和實際結合非常緊密的數(shù)學知識，可以對生活中的某些現(xiàn)象做出評判，如解釋摸獎、評判游戲活動的公平性、數(shù)學競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件做出決策．

重難點題型
題型1事件的分類
【解題技巧】1)．一般地，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整個問題中所占比例的大小來確定，它占整體的比例大，它的可能性就大，它占整體的比例小，它的可能性就小，不確定事件發(fā)生的概率在0到1之間，不包括0和1．
2)．必然事件發(fā)生的機率是100%，即概率為1，不可能事件發(fā)生的機率為0，即概率為0．
1．（2020·江蘇泰州市·中考真題）如圖，電路圖上有個開關、、、和個小燈泡，同時閉合開關、或同時閉合開關、都可以使小燈泡發(fā)光．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是（ ）

A．只閉合個開關 B．只閉合個開關 C．只閉合個開關 D．閉合個開關
【答案】B
【分析】觀察電路發(fā)現(xiàn)，閉合或閉合或閉合三個或四個，則小燈泡一定發(fā)光，從而可得答案．
【詳解】解：由小燈泡要發(fā)光，則電路一定是一個閉合的回路，
只閉合個開關，小燈泡不發(fā)光，所以是一個不可能事件，所以A不符合題意；
閉合個開關，小燈泡發(fā)光是必然事件，所以D不符合題意；
只閉合個開關，小燈泡有可能發(fā)光，也有可能不發(fā)光，所以B符合題意；
只閉合個開關，小燈泡一定發(fā)光，是必然事件，所以C不符合題意．故選B．
【點睛】本題結合物理知識考查的是必然事件，不可能事件，隨機事件的概念，掌握以上知識是解題的關鍵．
2．（2020·遼寧沈陽市·中考真題）下列事件中，是必然事件的是（　?。?br /> A．從一個只有白球的盒子里摸出一個球是白球 B．任意買一張電影票，座位號是3的倍數(shù)
C．擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上 D．汽車走過一個紅綠燈路口時，前方正好是綠燈
【答案】A
【分析】根據(jù)概率事件的定義理解逐一判斷即可．
【詳解】A：只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此選項正確
B：任意買一張電影票，座位號是隨機的，是隨機事件，故此選項錯誤
C：擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上的概率為，是隨機事件，故此選項錯誤
D：汽車走過一個紅綠燈路口時，綠燈的概率為，是隨機事件，故此選項錯誤故答案選A
【點睛】本題主要考查了概率的事件分類問題，根據(jù)必然事件，在一定條件下，事件必然會發(fā)生的定義判斷是解題的關鍵．
3．（2020·內蒙古通遼市·中考真題）下列事件中是不可能事件的是(　　　)
A．守株待兔 B．甕中捉鱉 C．水中撈月 D．百步穿楊
【答案】C
【分析】不可能事件是一定不會發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可判斷．
【詳解】解：A、守株待兔，不一定就能達到，是隨機事件，故選項不符合；
B、甕中捉鱉是必然事件，故選項不符合；
C、水中撈月，一定不能達到，是不可能事件，選項不符合；
D、百步穿楊，未必達到，是隨機事件，故選項不符合；故選C.
【點睛】本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
4．（2020·湖北襄陽市·中考真題）下列說法正確的是（ ）
A．“買中獎率為的獎券10張，中獎”是必然事件
B．“汽車累積行駛，從未出現(xiàn)故障”是不可能事件
C．襄陽氣象局預報說“明天的降水概率為”，意味著襄陽明天一定下雨
D．若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則方差小的更穩(wěn)定
【答案】D
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型，以及方差的性質逐一分析即可．
【詳解】A. “買中獎率為的獎券10張，中獎”是隨機事件，故不符合題意；
B. “汽車累積行駛，從未出現(xiàn)故障”是隨機事件，故不符合題意；
C. 襄陽氣象局預報說“明天的降水概率為”，但是襄陽明天只是有可能下雨，故不符合題意；
D. 若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則方差小的更穩(wěn)定，該說法正確，故符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型，以及方差的性質等內容，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，以及方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
5．（2020·湖北武漢市·中考真題）兩個不透明的口袋中各有三個相同的小球，將每個口袋中的小球分別標號為1，2，3．從這兩個口袋中分別摸出一個小球，則下列事件為隨機事件的是（ ）
A．兩個小球的標號之和等于1 B．兩個小球的標號之和等于6
C．兩個小球的標號之和大于1 D．兩個小球的標號之和大于6
【答案】B
【分析】隨機事件是指在某個條件下有可能發(fā)生有可能不會發(fā)生的事件，根據(jù)此定義即可求解．
【詳解】解：從兩個口袋中各摸一個球，其標號之和最大為6，最小為2，
選項A：“兩個小球的標號之和等于1”為不可能事件，故選項A錯誤；
選項B：“兩個小球的標號之和等于6”為隨機事件，故選項B正確；
選項C：“兩個小球的標號之和大于1”為必然事件，故選項C錯誤；
選項D：“兩個小球的標號之和大于6”為不可能事件，故選項D錯誤．故選：B．
【點睛】本題考查了隨機事件、不可能事件、必然事件的概念，熟練掌握各事件的定義是解決本題的關鍵．
6．（2020·四川攀枝花市·中考真題）下列事件中，為必然事件的是（ ）．
A．明天要下雨 B． C． D．打開電視機，它正在播廣告
【答案】B
【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件．
【詳解】解：根據(jù)題意，結合必然事件的定義可得：
A、明天要下雨不一定發(fā)生，不是必然事件，故選項錯誤；
B、一個數(shù)的絕對值為非負數(shù)，故是必然事件，故選項正確；
C、，故不是必然事件，故選項錯誤；
D、打開電視機，它不一定正在播廣告，有可能是其他節(jié)目，故不是必然事件，故選項錯誤；故選B.
【點睛】本題考查了必然事件，關鍵是理解必然事件是一定會發(fā)生的事件．解決此類問題，要學會關注身邊的事物，并用數(shù)學的思想和方法去分析、看待、解決問題，提高自身的數(shù)學素養(yǎng)．

題型2概率（幾何概型）的計算
【解題技巧】
1．（2020·湖北隨州市·中考真題）如圖，中，點，，分別為，，的中點，點，，分別為，，的中點，若隨機向內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為____．

【答案】
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理建立面積之間的關系,按規(guī)律求解，再根據(jù)概率公式進行求解即可．
【詳解】根據(jù)三角形中位線定理可得第二個三角形的各邊長都等于最大三角形各邊的一半,并且這兩個三角形相似,那么第二個△DEF的面積=△ABC的面積
那么第三個△MPN的面積=△DEF的面積=△ABC的面積
∴若隨機向內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為: 故答案為：
【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，概率公式,解決本題的關鍵是利用三角形的中位線定理得到第三個三角形的面積與第一個三角形的面積的關系，以及概率公式．
2．（2020·浙江衢州市·中考真題）如圖是一個游戲轉盤，自由轉動轉盤，當轉盤停止轉動后，指針落在數(shù)字“Ⅱ”所示區(qū)域內的概率是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用“Ⅱ”所示區(qū)域所占圓周角除以360，進而得出答案．
【詳解】解：由扇形統(tǒng)計圖可得，指針落在數(shù)字“Ⅱ”所示區(qū)域內的概率是：．故選：A．
【點睛】此題主要考查了概率公式，正確理解概率的求法是解題關鍵．
3．（2020·山西中考真題）如圖是一張矩形紙板，順次連接各邊中點得到菱形，再順次連接菱形各邊中點得到一個小矩形．將一個飛鏢隨機投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接菱形對角線，設大矩形的長=2a，大矩形的寬=2b，可得大矩形的面積，根據(jù)題意可得菱形的對角線長，從而求出菱形的面積，根據(jù)“順次連接菱形各邊中點得到一個小矩形”，可得小矩形的長，寬分別是菱形對角線的一半，可求出小矩形的面積，根據(jù)陰影部分的面積=菱形的面積-小矩形的面積可求出陰影部分的面積，再求出陰影部分與大矩形面積之比即可得到飛鏢落在陰影區(qū)域的概率．
【詳解】解：如圖，連接EG，F(xiàn)H，

設AD=BC=2a，AB=DC=2b，則FH=AD=2a，EG=AB=2b，
∵四邊形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH===2ab，
∵M，O，P，N點分別是各邊的中點，∴OP=MN=FH=a，MO=NP=EG=b，
∵四邊形MOPN是矩形，∴S矩形MOPN=OPMO=ab，∴S陰影= S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab，
∵S矩形ABCD=ABBC=2a2b=4ab，∴飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是，故選B．
【點睛】本題考查了幾何概率問題．用到的知識點是概率=相應的面積與總面積之比．
4．（2020·江蘇蘇州市·中考真題）一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上．每塊地磚的大小、質地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是___________．

【答案】
【分析】先求出黑色方磚在整個地面中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結論．
【詳解】解：∵由圖可知，黑色方磚6塊，共有16塊方磚，
∴黑色方磚在整個區(qū)域中所占的比值=，∴小球停在黑色區(qū)域的概率是；故答案為：
【點睛】本題考查的是幾何概率，用到的知識點為：幾何概率=相應的面積與總面積之比．
5．（2020·遼寧本溪市·中考真題）下圖是由全等的小正方形組成的圖案，假設可以隨意在圖中取點，那么這個點取在陰影部分的概率是_________．

【答案】
【分析】先設陰影部分的面積是5x，得出整個圖形的面積是9x，再根據(jù)幾何概率的求法即可得出答案．
【詳解】解：設陰影部分的面積是5x，則整個圖形的面積是9x，
則這個點取在陰影部分的概率是．故答案為：．
【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．
6．（2020·山東德州市·中考真題）如圖，在的正方形網格中，有4個小正方形已經涂黑，若再涂黑任意1個白色的小正方形（每個白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新構成的黑色部分圖形是軸對稱圖形的概率是________．

【答案】
【分析】根據(jù)軸對稱的定義，確定可以構成軸對稱圖形的情況，根據(jù)概率公式求解即可．
【詳解】解：如圖，圖中共有12個白色正方形，其中涂黑1個使新構成的黑色部分圖形是軸對稱圖形的共有2種情況，所以概率為P=．
故答案為：
【點睛】本題考查了列舉法求概率，軸對稱圖形的判定，熟知求概率公式和軸對稱圖形的概念是解題關鍵．

題型3 隨機事件（等可能事件）的概率
【解題技巧】用列舉法解題時，一定要注意各種情況出現(xiàn)的可能性務必相同，不要出現(xiàn)重復、遺漏等現(xiàn)象．
1．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，小球從A入口往下落，在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等．則小球從E出口落出的概率是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)“在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等”可知在點B、C、D處都是等可能情況，從而得到在四個出口E、F、G、H也都是等可能情況，然后概率的意義列式即可得解．
【詳解】解：由圖可知，在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等，
小球最終落出的點共有E、F、G、H四個，所以小球從E出口落出的概率是：；故選：C．
【點睛】此題考查的是求概率問題，掌握概率公式是解決此題的關鍵．
2．（2020·遼寧阜新市·中考真題）擲一枚質地均勻的硬幣5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，則再次擲出這枚硬幣，正面朝下的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用概率的意義分析得出答案．
【詳解】解：∵擲質地均勻硬幣的試驗，每次正面向上和向下的概率相同，
∴再次擲出這枚硬幣，正面朝上的概率是：故選：D．
【點睛】此題主要考查了概率的意義，正確把握概率的意義是解題關鍵．
3．（2020·貴州貴陽市·中考真題）在“拋擲正六面體”的試驗中，正六面體的六個面分別標有數(shù)字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在試驗次數(shù)很大時，數(shù)字“6”朝上的頻率的變化趨勢接近的值是_____．
【答案】
【分析】隨著試驗次數(shù)的增多，變化趨勢接近與理論上的概率．
【詳解】解：如果試驗的次數(shù)增多，出現(xiàn)數(shù)字“6”的頻率的變化趨勢是接近．故答案為：．
【點睛】實驗次數(shù)越多，出現(xiàn)某個數(shù)的變化趨勢越接近于它所占總數(shù)的概率．
4．（2020·遼寧葫蘆島市·中考真題）一個不透明的口袋中有4個紅球、2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出1個球，則摸到紅球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．
【詳解】解：摸到紅球的概率為：．故選D．
【點睛】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
5．（2020·湖南張家界市·中考真題）新學期開學，剛剛組建的七年級（1）班有男生30人，女生24人，欲從該班級中選出一名值日班長，任何人都有同樣的機會，則這班選中一名男生當值日班長的概率是_____．
【答案】
【分析】先求出全班的學生數(shù)，再根據(jù)概率公式進行求解即可．
【詳解】全班共有學生30+24=54（人），
其中男生30人，則這班選中一名男生當值日班長的概率是=，故答案為：．
【點睛】本題考查了簡單的概率計算，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）=．
6．（2020·湖南湘潭市·中考真題）為慶祝建黨99周年，某校八年級（3）班團支部為了讓同學們進一步了解中國科技的發(fā)展，給班上同學布置了一項課外作業(yè)，從選出的以下五個內容中任選部分內容進行手抄報的制作：、“北斗衛(wèi)星”：、“時代”；、“智軌快運系統(tǒng)”；、“東風快遞”；、“高鐵”．統(tǒng)計同學們所選內容的頻數(shù)，繪制如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則選擇“時代”的頻率是（ ）

A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
【答案】B
【分析】先計算出八年級（3）班的全體人數(shù)，然后用選擇“5G時代”的人數(shù)除以八年級（3）班的全體人數(shù)即可．
【詳解】由圖知，八年級（3）班的全體人數(shù)為：（人）
選擇“5G時代”的人數(shù)為：30人∴選擇“時代”的頻率是：故選：B．
【點睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖的讀取，及相應頻率的計算，熟知以上知識是解題的關鍵．
7．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）一只不透明的袋子中裝有5個紅球和1個黃球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，摸出紅球的概率等于_____．
【答案】
【分析】根據(jù)概率計算公式，用紅球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可得．
【詳解】解：∵袋子中共有5+1＝6個小球，其中紅球有5個，
∴攪勻后從中任意摸出1個球，摸出紅球的概率等于，故答案為：．
【點睛】本題考查了概率計算，熟練掌握概率計算方法是解答的關鍵．
8．（2020·遼寧錦州市·中考真題）在一個不透明的袋子中裝有4個白球，a個紅球．這些球除顏色外都相同．若從袋子中隨機摸出1個球，摸到紅球的概率為，則______．
【答案】8
【分析】直接利用概率公式列出概率計算式，即可求出a的值．
【詳解】解：由題意可知從袋子中隨機摸出1個球，摸到紅球的概率為，
∴，∴，故答案為：8．
【點睛】本題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）=．

題型4利用頻率估計概率
【解題技巧】在大量重復試驗中，隨著統(tǒng)計數(shù)據(jù)的增大，頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)左右，將該常數(shù)作為概率的估計值，兩者的區(qū)別在于：頻率是通過多次試驗得到的數(shù)據(jù)，而概率是理論上事件發(fā)生的可能性，二者并不完全相同．
1．（2020·遼寧盤錦市·中考真題）為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區(qū)1000名九年級男生的身高數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下．
身高




人數(shù)
60
260
550
130
根據(jù)以上統(tǒng)計結果，隨機抽取該地區(qū)一名九年級男生，估計他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【分析】先計算出樣本中身高不低于170cm的頻率，然后根據(jù)利用頻率估計概率求解．
【詳解】解：樣本中身高不低于170cm的頻率，
所以估計抽查該地區(qū)一名九年級男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故選：C．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確．
2．（2020·遼寧營口市·中考真題）某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：
射擊次數(shù)
20
80
100
200
400
1000
“射中九環(huán)以上”的次數(shù)
18
68
82
168
327
823
“射中九環(huán)以上”的頻率（結果保留兩位小數(shù)）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約是（　?。?br /> A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
【答案】B
【分析】根據(jù)大量的實驗結果穩(wěn)定在0.82左右即可得出結論．
【詳解】解：∵從頻率的波動情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.82附近，
∴這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率是0.82．故選：B．
【點睛】本題主要考查的是利用頻率估計概率，熟知大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率是解答此題的關鍵．
3．（2020·遼寧鞍山市·中考真題）在一個不透明的袋子中裝有6個紅球和若干個白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻后隨機摸出一個球，記下顏色后放回，不斷重復這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20次摸到紅球，估計袋子中白球的個數(shù)約為_________．
【答案】24
【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，設未知數(shù)列出方程求解．
【詳解】解：∵共試驗100次，其中有20次摸到紅球，∴白球所占的比例為：，
設袋子中共有白球x個，則，解得：x=24，經檢驗：x=24是原方程的解，故答案為：24．
【點睛】本題考查利用頻率估計概率．大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．關鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應的等量關系．
4．（2020·湖南邵陽市·中考真題）如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為，寬為的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計實驗結果），他將若干次有效實驗的結果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題分兩部分求解，首先假設不規(guī)則圖案面積為x，根據(jù)幾何概率知識求解不規(guī)則圖案占長方形的面積大??；繼而根據(jù)折線圖用頻率估計概率，綜合以上列方程求解．
【詳解】假設不規(guī)則圖案面積為x，由已知得：長方形面積為20，
根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為： ，
當事件A實驗次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估計值，故由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為0.35，綜上有：，解得．故選：B．
【點睛】本題考查幾何概率以及用頻率估計概率，并在此基礎上進行了題目創(chuàng)新，解題關鍵在于清晰理解題意，能從復雜的題目背景當中找到考點化繁為簡，創(chuàng)新題目對基礎知識要求極高．
4．（2020·江蘇揚州市·中考真題）大數(shù)據(jù)分析技術為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用．如圖是小明同學的蘇康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形區(qū)域內，為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內隨機擲點，經過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計黑色部分的總面積約為________．

【答案】2.4
【分析】求出正方形二維碼的面積，根據(jù)題意得到黑色部分的面積占正方形面積得60%計算即可；
【詳解】∵正方形的二維碼的邊長為2cm，∴正方形二維碼的面積為，
∵經過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，
∴黑色部分的面積占正方形二維碼面積得60%，∴黑色部分的面積約為：，
故答案為．
【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率進行求解，準確立即數(shù)據(jù)的意義是解題的關鍵．
5．（2020·浙江臺州市·中考真題）新冠疫情期間，某校開展線上教學，有“錄播”和“直播”兩種教學方式供學生選擇其中一種．為分析該校學生線上學習情況，在接受這兩種教學方式的學生中各隨機抽取40人調查學習參與度，數(shù)據(jù)整理結果如表（數(shù)據(jù)分組包含左端值不包含右端值）．
參與度
人數(shù)
方式
0.2～0.4
0.4～0.6
0.6～0.8
0.8～1
錄播
4
16
12
8
直播
2
10
16
12
（1）你認為哪種教學方式學生的參與度更高？簡要說明理由．（2）從教學方式為“直播”的學生中任意抽取一位學生，估計該學生的參與度在0.8及以上的概率是多少？（3）該校共有800名學生，選擇“錄播”和“直播”的人數(shù)之比為1：3，估計參與度在0.4以下的共有多少人？
【答案】（1）“直播”教學方式學生的參與度更高，理由見解析；（2）30%；（3）50人
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)得出兩種教學方式參與度在0.6以上的人數(shù)，比較即可作出判斷；
（2）用表格中“直播”教學方式學生參與度在0.8以上的人數(shù)除以被調查的總人數(shù)即可估計對應概率；
（3）先根據(jù)“錄播”和“直播”的人數(shù)之比為1：3及該校學生總人數(shù)求出“直播”、“錄播”人數(shù)，再分別乘以兩種教學方式中參與度在0.4以下人數(shù)所占比例求出對應人數(shù)，再相加即可得出答案．
【詳解】解：（1）“直播”教學方式學生的參與度更高：
理由：“直播”參與度在0.6以上的人數(shù)為28人，“錄播”參與度在0.6以上的人數(shù)為20人，參與度在0.6以上的“直播”人數(shù)遠多于“錄播”人數(shù)，∴“直播”教學方式學生的參與度更高；
（2）12÷40=0.3=30%，答：估計該學生的參與度在0.8及以上的概率是30%；
（3）“錄播”總學生數(shù)為800×=200（人），“直播”總學生數(shù)為800×=600（人），
∴“錄播”參與度在0.4以下的學生數(shù)為200×=20（人），
“直播”參與度在0.4以下的學生數(shù)為600×=30（人），∴參與度在0.4以下的學生共有20+30=50（人）．
【點睛】本題考查了概率的計算，弄清題意，正確分析，確定計算方法是解題關鍵．
6．（2020·廣西中考真題）某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：
射擊次數(shù)






“射中環(huán)以上”的次數(shù)






“射中環(huán)以上”的頻率(結果保留小數(shù)點后兩位)






根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率是_______(結果保留小數(shù)點后一位)．
【答案】0.8
【分析】根據(jù)大量的實驗結果穩(wěn)定在0.8左右即可得出結論．
【詳解】∵從頻率的波動情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.8附近，
∴這名運動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率大約是0.8．故答案為：0.8．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
7．（2020·內蒙古呼和浩特市·中考真題）公司以3元/的成本價購進柑橘，并希望出售這些柑橘能夠獲得12000元利潤，在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，需要先進行“柑橘損壞率”統(tǒng)計，再大約確定每千克柑橘的售價，右面是銷售部通過隨機取樣，得到的“柑橘損壞率”統(tǒng)計表的一部分，由此可估計柑橘完好的概率為_______（精確到0.1）；從而可大約每千克柑橘的實際售價為_______元時（精確到0.1），可獲得12000元利潤．
柑橘總質量
損壞柑橘質量
柑橘損壞的頻率（精確到0.001）
…
…
…
250
24.75
0.099
300
30.93
0.103
350
35.12
0.100
450
44.54
0.099
500
50.62
0.101
【答案】0.9
【分析】利用頻率估計概率得到隨實驗次數(shù)的增多，柑橘損壞的頻率越來越穩(wěn)定在0.1左右，由此可估計柑橘完好率大約是0.9；設每千克柑橘的銷售價為x元，然后根據(jù)“售價-進價=利潤”列方程解答．
【詳解】解：從表格可以看出，柑橘損壞的頻率在常數(shù)0.1左右擺動，并且隨統(tǒng)計量的增加這種規(guī)律逐漸明顯，所以柑橘的完好率應是1-0.1=0.9；
設每千克柑橘的銷售價為x元，則應有10000×0.9x-3×10000=12000，解得x=．
所以去掉損壞的柑橘后，水果公司為了獲得12000元利潤，完好柑橘每千克的售價應為元，
故答案為：0.9，．
【點睛】本題考查了用頻率估計概率的知識，用到的知識點為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．得到售價與利潤的等量關系是解決問題的關鍵．

題型5 用樹狀圖法求概率
【解題技巧】
1．（2020·湖北武漢市·中考真題）某班從甲、乙、丙、丁四位選中隨機選取兩人參加校乒乓球比賽，恰好選中甲、乙兩位選手的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫出樹狀圖展示所有12種等可能的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式即可求解．
【詳解】畫樹狀圖為：

∴P（選中甲、乙兩位）=故選C．
【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．
2．（2020·四川綿陽市·中考真題）將一個籃球和一個足球隨機放入三個不同的籃子中，則恰有一個籃子為空的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰有一個籃子為空的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【詳解】解：三個不同的籃子分別用A、B、C表示，根據(jù)題意畫圖如下：

共有9種等可能的情況數(shù)，其中恰有一個籃子為空的有6種，
則恰有一個籃子為空的概率為．故選：A．
【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
3．（2020·黑龍江牡丹江市·中考真題）在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4．若隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次取出小球標號的和等于5的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的小球標號之和等于5的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．
【詳解】解：畫樹狀圖得：

∵共有12種等可能的結果，兩次摸出的小球標號之和等于5的有4種情況，
∴兩次摸出的小球標號之和等于5的概率是：.故選C.
【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．解題時注意：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
4．（2020·新疆中考真題）在四張背面完全相同的卡片上分別印有正方形、正五邊形、正六邊形、圓的圖案，現(xiàn)將印有圖案的一面朝下，混合后從中隨機抽取兩張，則抽到卡片上印有的圖案都是中心對稱圖形的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與抽到卡片上印有的圖案都是中心對稱圖形的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．
【詳解】解：分別用A、B、C、D表示正方形、正五邊形、正六邊形、圓，
其中正方形、正六邊形、圓是中心對稱圖形， 畫樹狀圖得：

∵共有12種等可能的結果，抽到卡片上印有的圖案都是中心對稱圖形的有6種情況，
∴抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的概率為：． 故選：C．
【點睛】本題考查的是中心對稱圖形的概念，用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
5．（2020·山東東營市·中考真題）如圖，隨機閉合開關，，中的兩個，則能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫出樹狀圖，找出所有等可能的結果，計算即可.
【詳解】根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：

共有6種等可能的結果，能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的有2種情況，∴，故選C.
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法，正確的畫出樹狀圖是解決此題的關鍵.
6．（2020·陜西中考真題）小亮和小麗進行摸球試驗．他們在一個不透明的空布袋內，放入兩個紅球，一個白球和一個黃球，共四個小球．這些小球除顏色外其它都相同．試驗規(guī)則：先將布袋內的小球搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記下顏色后放回，稱為摸球一次．（1）小亮隨機摸球10次，其中6次摸出的是紅球，求這10次中摸出紅球的頻率；（2）若小麗隨機摸球兩次，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由頻率定義即可得出答案；（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的情況，利用概率公式求解即可求得答案.
【詳解】解：（1）小亮隨機摸球10次，其中6次摸出的是紅球，這10次中摸出紅球的頻率＝＝；
（2）畫樹狀圖得：

∵共有16種等可能的結果，兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的有2種情況，
∴兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的概率＝＝.
【點睛】此題考查事件概率：列舉法求事件的概率，還考查了頻率的定義，正確理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解此類問題的關鍵.
7．（2020·江蘇鹽城市·中考真題）生活在數(shù)字時代的我們，很多場合用二維碼（如圖）來表示不同的信息，類似地，可通過在矩形網格中，對每一個小方格涂加色或不涂色所得的圖形來表示不同的信息，例如：網格中只有一個小方格，如圖，通過涂器色或不涂色可表示兩個不同的信息．

（1）用樹狀圖或列表格的方法，求圖可表示不同信息的總個數(shù)：（圖中標號表示兩個不同位置的小方格，下同）

（2）圖為的網格圖．它可表示不同信息的總個數(shù)為 ；

（3）某校需要給每位師生制作一張“校園出入證”，準備在證件的右下角采用的網格圖來表示各人身份信息，若該校師生共人，則的最小值為 ；
【答案】（1）見解析；（2）16；（3）3
【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖即可求解；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖即可求解；（3）根據(jù)（1）（2）得到規(guī)律即可求出n的值．
【詳解】解：畫樹狀圖如圖所示：

圖的網格可以表示不同信息的總數(shù)個數(shù)有個．
（2）畫樹狀圖如圖所示：圖④2×2的網格圖可以表示不同信息的總數(shù)個數(shù)有16=24個，故答案為：16．

（3）依題意可得3×3網格圖表示不同信息的總數(shù)個數(shù)有29=512＞，
故則的最小值為3，故答案為：3．
【點睛】此題主要考查畫樹狀圖與找規(guī)律，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖．
8．（2020·吉林長春市·中考真題）現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中兩張卡片的正面圖案為“神舟首飛”，第三張卡片的正面圖案為“保衛(wèi)和平”，卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄圖案后放回，重新洗勻后再從中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的概率．（圖案為“神舟首飛”的兩張卡片分別記為、，圖案為“保衛(wèi)和平”的卡片記為）

【答案】樹狀圖見解析，
【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的情況數(shù)，其中兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的有1種，
∴（兩次抽取的卡片上圖案都是“保衛(wèi)和平”）．
【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

題型6用列表法求概率
【解題技巧】
1．（2020·山東臨沂市·中考真題）從馬鳴、楊豪、陸暢，江寬四人中抽調兩人參加“寸草心”志愿服務隊，恰好抽到馬鳴和楊豪的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出所選兩人恰好是馬鳴和楊豪的情況數(shù)，即可求出所求的概率．
【詳解】解：列表得：

所有等可能的情況有12種，其中恰好抽到馬鳴和楊豪的情況有2種，
恰好抽到馬鳴和楊豪的概率是，故選C.
【點睛】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
2．（2020·黑龍江牡丹江市·朝鮮族學校中考真題）現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同，從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列表得出所有等可能結果，從中找到兩個球顏色相同的結果數(shù)，利用概率公式計算可得．
【詳解】解：列表如下：

黃
紅
紅
紅
（黃，紅）
（紅，紅）
（紅，紅）
紅
（黃，紅）
（紅，紅）
（紅，紅）
白
（黃，白）
（紅，白）
（紅，白）
由表知，共有9種等可能結果，其中摸出的兩個球顏色相同的有4種結果，
所以摸出的兩個球顏色相同的概率為．故選：B．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖的知識以及概率公式，解題的關鍵是能夠用列表或列樹狀圖將所有等可能的結果列舉出來，難度不大．
3．（2020·湖南中考真題）今年2﹣4月某市出現(xiàn)了200名新冠肺炎患者，市委根據(jù)黨中央的決定，對患者進行了免費治療．圖1是該市輕癥、重癥、危重癥三類患者的人數(shù)分布統(tǒng)計圖（不完整），圖2是這三類患者的人均治療費用統(tǒng)計圖．請回答下列問題．（1）輕癥患者的人數(shù)是多少？（2）該市為治療危重癥患者共花費多少萬元？（3）所有患者的平均治療費用是多少萬元？（4）由于部分輕癥患者康復出院，為減少病房擁擠，擬對某病房中的A、B、C、D、E五位患者任選兩位轉入另一病房，請用樹狀圖法或列表法求出恰好選中B、D兩位患者的概率．

【答案】（1）160人；（2）100萬元；（3）2.15萬；（4）
【分析】（1）因為總人數(shù)已知，由輕癥患者所占的百分比即可求出其的人數(shù)；（2）求出該市危重癥患者所占的百分比，即可求出其共花費的錢數(shù)；（3）用加權平均數(shù)公式求出各種患者的平均費用即可；（4）首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與恰好選中B、D兩位同學的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【詳解】解：（1）輕癥患者的人數(shù)＝200×80%＝160（人）；
（2）該市為治療危重癥患者共花費錢數(shù)＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（萬元）；
（3）所有患者的平均治療費用＝＝2.15（萬元）；
（4）列表得：

A
B
C
D
E
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）

由列表格，可知：共有20種等可能的結果，恰好選中B、D兩位同學的有2種情況，
∴P（恰好選中B、D）＝＝．
【點睛】此題主要考查統(tǒng)計與概率，解題的關鍵是熟知列表的方法及概率公式的應用．
4．（2020·湖北宜昌市·中考真題）宜昌景色宜人，其中三峽大壩、清江畫廊、三峽人家景點的景色更是美不勝收．某民營單位為兼顧生產和業(yè)余生活，決定在下設的A，B，C三部門利用轉盤游戲確定參觀的景點，兩轉盤各部分圓心角大小以及選派部門、旅游景點等信息如圖．

（1）若規(guī)定老同志相對偏多的部門選中的可能性大，試判斷這個部門是哪個部門？請說明理由；
（2）設選中C部門游三峽大壩的概率為，選中B部門游清江畫廊或者三峽人家的概率為，請判斷，大小關系，并說明理由．
【答案】（1）C部門，理由見解析；（2）P1=P2，理由見解析
【分析】（1）利用圓心角為360°，A,B,C分別占90°，90°和180°，分別求出所占百分比即可;
（2）列出所有可能的情況，然后得出C，B所占比例，即可得出結果.
【詳解】解：（1）C部門，
理由：∵∴
（2），理由：

A
B


三峽大壩（D）




清江畫廊（E）




三峽人家（F）




備注：部門轉盤平均分成了4等份，C部門占兩份分別用，表示
由表可得，所有可能出現(xiàn)的結果共有12種，這些結果出現(xiàn)的可能性相等，其中C選中三峽大壩的結果有2種，B選中清江畫廊或者三峽人家的結果有2種 ∴ ∴
【點睛】本題考查了扇形圖的知識．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．關鍵是分析扇形圖，得到相關的數(shù)據(jù)信息．
5．（2020·山西中考真題）年國家提出并部署了“新基建”項目，主要包含“特高壓，城際高速鐵路和城市軌道交通，基站建設，工業(yè)互聯(lián)網，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新能源汽車充電樁”等．《新基建中高端人才市場就業(yè)吸引力報告》重點刻畫了“新基建”中五大細分領域（基站建設，工業(yè)互聯(lián)網，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新能源汽車充電樁）總體的人才與就業(yè)機會．下圖是其中的一個統(tǒng)計圖．
請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）填空：圖中年“新基建”七大領域預計投資規(guī)模的中位數(shù)是______億元；
（2）甲，乙兩位待業(yè)人員，僅根據(jù)上面統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，從五大細分領域中分別選擇了“基站建設”和“人工智能”作為自己的就業(yè)方向，請簡要說明他們選擇就業(yè)方向的理由各是什么；
（3）小勇對“新基建”很感興趣，他收集到了五大細分領域的圖標，依次制成編號為，，，，的五張卡片（除編號和內容外，其余完全相同），將這五張卡片背面朝上，洗勻放好，從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張．請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是編號為（基站建設）和（人工智能）的概率．

【答案】（1）；（2）甲更關注在線職位增長率，在“新基建”五大細分領域中，年第一季度“基站建設”在線職位與年同期相比增長率最高；乙更關注預計投資規(guī)模，在“新基建”五大細分領域中，“人工智能”在年預計投資規(guī)模最大；（3）
【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)的定義判斷即可．(2)根據(jù)圖象分析各個優(yōu)勢,表達出來即可．(3)利用列表法或樹狀圖的方法算出概率即可．
【詳解】(1)將數(shù)據(jù)從小到大排列:100,160,200,300,300,500,640,中位數(shù)為:．故答案為:300
(2)解：甲更關注在線職位增長率，在“新基建”五大細分領域中，年第一季度“基站建設”在線職位與年同期相比增長率最高；
乙更關注預計投資規(guī)模，在“新基建”五大細分領域中，“人工智能”在年預計投資規(guī)模最大
(3)解：列表如下：
第二張
第一張



































由列表(或畫樹狀圖)可知一共有種可能出現(xiàn)的結果，且每種結果出現(xiàn)的可能性都相同，其中抽到“”和“”的結果有種．所以，(抽到“”和“”)．
【點睛】本題考查統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)分析及概率計算,關鍵在于從圖像中獲取有用信息．
6．（2020·貴州貴陽市·中考真題）“2020第二屆貴陽市應急科普知識大賽”的比賽中有一個抽獎活動．規(guī)則是：準備3張大小一樣，背面完全相同的卡片，3張卡片的正面所寫內容分別是《消防知識手冊》《辭?！贰掇o?！?，將它們背面朝上洗勻后任意抽出一張，抽到卡片后可以免費領取卡片上相應的書籍．
（1）在上面的活動中，如果從中隨機抽出一張卡片，記下內容后不放回，再隨機抽出一張卡片，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到2張卡片都是《辭?！返母怕?；
（2）再添加幾張和原來一樣的《消防知識手冊》卡片，將所有卡片背面朝上洗勻后，任意抽出一張，使得抽到《消防知識手冊》卡片的概率為，那么應添加多少張《消防知識手冊》卡片？請說明理由．
【答案】（1）圖表見解析，；（2）應添加4張《消防知識手冊》卡片，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意畫出列表，由概率公式即可得出答案；
（2）設應添加x張《消防知識手冊》卡片，由概率公式得出方程，解方程即可．
【詳解】解：（1）先將《消防知識手冊》《辭?！贰掇o?！贩謩e記作，，，然后列表如下：
第2次
第1次















總共有6種結果，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，而2張卡片都是《辭?！返挠?種：，
所以，（2張卡片都是《辭海》）；
（2）設再添加張和原來一樣的《消防知識手冊》卡片，由題意得：，解得，，
經檢驗，是原方程的根，答：應添加4張《消防知識手冊》卡片．
【點睛】本題考查了列表法以及概率公式，熟悉相關性質是解題的關鍵．
7．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）智慧的中國古代先民發(fā)明了抽象的符號來表達豐富的含義．例如，符號“”有剛毅的含義，符號“”有愉快的含義．符號中的“”表示“陰”，“”表示“陽”，類似這樣自上而下排成的三行符號還有其他的含義．所有這些三行符號中，每一行只有一個陰或一個陽，且出現(xiàn)陰、陽的可能性相同．（1）所有這些三行符號共有　 　種；
（2）若隨機畫一個這樣的三行符號，求“畫出含有一個陰和兩個陽的三行符號”的概率．
【答案】（1）8；（2）．
【分析】（1）用列舉法舉出所有等可能的結果數(shù)即可；
（2）根據(jù)（1）列舉的結果數(shù)和概率公式即可得出答案．
【詳解】解：（1）共有8種等可能的情況數(shù)，分別是：陰，陰，陰；陰，陽，陰；陰，陰，陽；陽，陰，陰；陽，陽，陰；陽，陰，陽；陰，陽，陽；陽、陽、陽；故答案為：8；
（2）根據(jù)第（1）問一個陰、兩個陽的共有3種，則有一個陰和兩個陽的三行符號”的概率是．
【點睛】本題考查了用列舉法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況之比．
8．（2020·吉林中考真題）“中國結”是我國特有的手工編織工藝品，也是一種傳統(tǒng)吉祥裝飾物，如圖，現(xiàn)有三張正面印有“中國結”圖案的不透明卡片，，，卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將三張卡片正面向下洗勻，小吉同學從中隨機抽取一張卡片，記下圖案后正面向下放回，洗勻后再從中隨機抽取一張卡片．請用畫樹狀圖或列表的方法，求小吉同學抽出的兩張卡片中含有卡片的概率．

【答案】兩張卡片中含有A的概率為，詳解見解析．
【分析】分別使用樹狀圖法或列表法將小吉同學抽取卡片的結果表示出來，第一次共有3種不同的抽取情況，第二次同樣也有3種不同的抽取情況，所有等可能出現(xiàn)的結果有9種，找出含有A卡片的抽取結果，即可算出概率．
【詳解】解：解法一：畫樹狀圖，根據(jù)題意，畫樹狀圖結果如下：

由樹狀圖可以看出，所有等可能出現(xiàn)的概率一共有9種，而兩張卡片中含有A卡片的結果有5種，所以P（小吉抽到兩張卡片中有A卡片）=．
解法二：用列表法，根據(jù)題意，列表結果如下：

結果為：（第一次抽取情況，第二次抽取情況）
由表可以看出，所有等可能出現(xiàn)的概率一共有9種，而兩張卡片中含有A卡片的結果有5種，所以P（小吉抽到兩張卡片中有A卡片）=．
【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，用圖表的形式將第一次、第二次抽取所可能發(fā)生的情況一一列出，避免遺漏．

題型7概率的應用
【解題技巧】游戲是否公平在于可能性是否相等，即可能性相等，游戲公平；可能性不相等，則游戲不公平．
1．（2020·山東威海市·）小偉和小梅兩位同學玩擲骰子的游戲，兩人各擲一次均勻的骰子，以擲出的點數(shù)之差的絕對值判斷輸贏．若所得數(shù)值等于，，，則小偉勝：若所得數(shù)值等于，，，則小梅勝
（1）請利用表格分別求出小偉、小梅獲勝的概率

















































（2）判斷上述游戲是否公平．如果公平，請說明理由；如果不公平，請利用上表修改游戲規(guī)則，以確保游戲的公平性
【答案】（1）P（小偉勝）＝，P（小梅勝）＝；（2）游戲不公平；修改為：兩次擲出的點數(shù)之差的絕對值為1，2，則小偉勝；否則小梅勝．
【分析】（1）利用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果情況，并求出小偉勝、小梅勝的概率；（2）依據(jù)獲勝的概率判斷游戲的公平性，修改規(guī)則時，利用差的絕對值的形式，使兩人獲勝的概率相等即可．
【詳解】
解：（1）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果如下：

表中總共有36種可能的結果，每一種結果出現(xiàn)的可能性相同，“差的絕對值”為0，1，2共有24種，“差的絕對值”為3，4，5的共有12種，∴P（小偉勝）＝＝，P（小梅勝）＝＝，
答：小偉勝的概率是，小梅勝的概率是；
（2）∵≠，∴游戲不公平；
根據(jù)表格中“差的絕對值”的不同情況，要使游戲公平，即兩人獲勝的概率相等，
于是修改為：兩次擲出的點數(shù)之差的絕對值為1，2，則小偉勝；否則小梅勝，這樣小偉、小梅獲勝的概率均為．
【點睛】此題主要考查了游戲的公平性，通過列舉出所有的可能結果，求出相應的概率是解決問題的關鍵．
2．（2020·四川中考真題）為了加強學生的垃圾分類意識，某校對學生進行了一次系統(tǒng)全面的垃圾分類宣傳．為了解這次宣傳的效果，從全校學生中隨機抽取部分學生進行了一次測試，測試結果共分為四個等級：A．優(yōu)秀； B．良好； C．及格：D．不及格．根據(jù)調查統(tǒng)計結果，繪制了如圖所示的不完整的統(tǒng)計表．
垃圾分類知識測試成績統(tǒng)計表
測試等級
百分比
人數(shù)
A．優(yōu)秀
5%
20
B．良好

60
C．及格
45%
m
D．不及格
n

請結合統(tǒng)計表，回答下列問題：（1）求本次參與調查的學生人數(shù)及m，n的值；（2）如果測試結果為“良好”及以上即為對垃圾分類知識比較了解，已知該校學生總數(shù)為5600人，請根據(jù)本次抽樣調查的數(shù)據(jù)估計全校比較了解垃圾分類知識的學生人數(shù)；（3）為了進一步在學生中普及垃圾分類知識，學校準備再開展一次關于垃圾分類的知識競賽，要求每班派一人參加．某班要從在這次測試成績?yōu)閮?yōu)秀的小明和小亮中選一人參加．班長設計了如下游戲來確定人選，具體規(guī)則是：把四個完全相同的乒乓球分別標上數(shù)字1，2，3，4．然后放到一個不透明的袋中充分搖勻，兩人同時從袋中各摸出一個球．若摸出的兩個球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明參加，否則小亮參加．請用樹狀圖或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平．
【答案】（1）400人，；（2）1120人；（3）不公平，樹狀圖見解析
【分析】（1）由優(yōu)秀的人數(shù)除以所占比例得出本次參與調查的學生人數(shù)；進而求出m和n的值；
（2）由總人數(shù)乘以良好和優(yōu)秀所占比例即可；（3）先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，找出和為奇數(shù)的結果有8種，再計算出小明參加和小亮參加的概率，比較兩概率的大小可判斷這個游戲規(guī)則是否公平．
【詳解】（1）本次參與調查的學生人數(shù)為：20÷5%=400（人），m=400×45%=180，
∵400﹣20﹣60﹣180=140，∴n=140÷400×100%=35%；
（2）5600×=1120（人），即估計全校比較了解垃圾分類知識的學生人數(shù)為1120人；
（3）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果，其中和為奇數(shù)的結果有8種，
∴P（小明參加）==，P（小亮參加）=1﹣=，∵≠，∴這個游戲規(guī)則不公平．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法、游戲的公平性、統(tǒng)計表、樣本估計總體以及概率公式等知識；畫出樹狀圖是解題的關鍵．
3．（2020·內蒙古赤峰市·中考真題）如圖1，一枚質地均勻的正四面體骰子，它有四個面，并分別標有1，2，3，4四個數(shù)字；如圖2，等邊三角形ABC的三個頂點處各有-個圓圈.丫丫和甲甲想玩跳圈游戲，游戲的規(guī)則為：游戲者從圜A起跳，每投擲一次骰子，骰子著地的一面點數(shù)是幾，就沿著三角形的邊逆時針方向連續(xù)跳躍幾個邊長.如:若第一次擲得點數(shù)為2，就逆時針連續(xù)跳2個邊長，落到圈C；若第二次擲得點數(shù)為4，就從圈C繼續(xù)逆時針連續(xù)跳4個邊長，落到圈A.
（1）丫丫隨機擲一次骰子，她跳躍后落回到圈A的概率為 ；
（2） 丫丫和甲甲一起玩眺圈游戲: 丫丫隨機投擲一次骰子，甲甲隨機投擲兩次骰子，都以最終落回到圈A為勝者.這個游戲規(guī)則公平嗎?請說明理由.

【答案】（1） ；（2）公平，理由見詳解
【分析】（1）分別計算投擲點數(shù)為1、2、3、4時，丫丫跳躍后回到圈A的次數(shù)，再按概率公式計算求解；
（2）分別計算投擲點數(shù)為1、2、3、4時，丫丫和甲甲跳躍后回到圈A的次數(shù)，再按概率公式計算求解；
【詳解】解：（1）當投擲點為1時，丫丫跳躍后到圈B；當投擲點為2時，丫丫跳躍后到圈C；當投擲點為3時，丫丫跳躍后到圈A；當投擲點為4時，丫丫跳躍后到圈B；
如圖，
，
共3種等可能的結果，丫丫跳躍后到圈A只有一次，故答案為：．
（2）由（1）知丫丫隨機投擲一次骰子，跳躍后回到圈A的概率為 ；甲甲隨機投擲兩次骰子，如圖

共有等可能的情況有9種，其中甲甲跳躍后到圈A共3次，
P甲甲= 這個游戲公平．
【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．注意根據(jù)題意畫樹狀圖，然后利用概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比求解是關鍵．
4．（2020·山東青島市·中考真題）小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場券，于是他們設計了一個“配紫色”游戲：，是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤都被分成面積相等的幾個扇形、同時轉動兩個轉盤，如果其中一個轉盤轉出了紅色，另一個轉盤轉出了藍色，那么可以配成紫色．若配成紫色，則小穎去觀看，否則小亮去觀看．這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由．

【答案】這個游戲對雙方公平，理由見解析
【分析】畫出樹狀圖，求出配成紫色的概率即可求解．
【詳解】解：這個游戲對雙方公平，理由如下：如圖，

∵由樹狀圖可知，所有可能發(fā)生的組合有6種，能配成紫色的組合有3種，
∴P（紫色）=，∴這個游戲對雙方公平．
【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．畫出樹狀圖，求出他們各自獲勝的概率是解答本題的關鍵．
5．（2020·甘肅鎮(zhèn)原·初三學業(yè)考試）在一個不透明的口袋里裝有四個分別標有1、2、3、4的小球，它們的形狀、大小等完全相同．小明先從口袋里隨機不放回地取出一個小球，記下數(shù)字為x；小紅在剩下有三個小球中隨機取出一個小球，記下數(shù)字y．
（1）計算由x、y確定的點（x，y）在函數(shù)y=﹣x+6圖象上的概率；
（2）小明、小紅約定做一個游戲，其規(guī)則是：若x、y滿足xy＞6，則小明勝；若x、y滿足xy＜6，則小紅勝．這個游戲規(guī)則公平嗎？說明理由；若不公平，怎樣修改游戲規(guī)則才對雙方公平．
【答案】（1）；（2）不公平，游戲規(guī)則可改為：若x、y滿足xy≥6，則小明勝；若x、y滿足xy＜6，則小紅勝．
【分析】（1）畫樹形圖，展示所有可能的12種結果，其中有點（2，4），（4，2）滿足條件，根據(jù)概率的概念計算即可；（2）先根據(jù)概率的概念分別計算出P（小明勝）和P（小紅勝）；判斷游戲規(guī)則不公平．然后修改游戲規(guī)則，使它們的概率相等．
【解析】解：（1）畫樹形圖：

所以共有12個點：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），其中滿足y=﹣x+6的點有（2，4），（4，2），
所以點（x，y）在函數(shù)y=﹣x+6圖象上的概率=；
（2）滿足xy＞6的點有（2，4），（4，2），（4，3），（3，4），共4個；
滿足xy＜6的點有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1），共6個，
所以P（小明勝）=；P（小紅勝）=；∵≠，∴游戲規(guī)則不公平．
游戲規(guī)則可改為：若x、y滿足xy≥6，則小明勝；若x、y滿足xy＜6，則小紅勝．
【點睛】本題考查了關于游戲公平性的問題：先利用圖表或樹形圖展示所有可能的結果數(shù)，然后計算出兩個事件的概率，若它們的概率相等，則游戲公平；若它們的概率不相等，則游戲不公平．
6．（2020·遼寧臺安·初三二模）一個不透明的袋子里裝有4個小球，分別標有1，2，3，7四個數(shù)字，這些小球除所標數(shù)字不同外，其余方面完全相同，甲、乙兩人每次同時從袋子中各隨機摸出一個小球，記下小球上的數(shù)字，并計算它們的和.（1）請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩數(shù)和是8的概率；
（2）甲、乙兩人想用這種方法做游戲，他們規(guī)定：若兩數(shù)之和是2的倍數(shù)時，甲得3分；若兩數(shù)之和是3的倍數(shù)時，乙得2分；當兩數(shù)之和是其他數(shù)值時，兩人均不得分.你認為這個游戲公平嗎？請說明理由；若你認為不公平，請你修改得分規(guī)則，使游戲公平．
【答案】（1）畫樹形圖見解析，兩數(shù)和是8的概率；
（2）游戲不公平，理由見解析；將得分規(guī)則修改為：當兩數(shù)和是2的倍數(shù)時，甲得2分，當兩數(shù)和是3的倍數(shù)時，乙得3分，當兩數(shù)之和是其他數(shù)值時，兩人均不得分．
【分析】（1）根據(jù)題意畫樹狀圖或列表，然后根據(jù)樹狀圖或表格求得所有等可能的結果與兩數(shù)和是8的情況，利用概率公式即可求得答案；（2）首先求得兩數(shù)之和是2的倍數(shù)與兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率，然后比較得分，得分相同，則公平，否則不公平．
【解析】（1）畫樹形圖，

兩數(shù)和是8的概率
(2)∵兩數(shù)之和是2的倍數(shù)的有6種情況，兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的有4種情況，
∴P(兩數(shù)之和是2的倍數(shù))==，P(兩數(shù)之和是3的倍數(shù))==，
∵×3≠×2，∴游戲不公平．
應該為：當兩數(shù)之和是2的倍數(shù)時，甲得2分，當兩數(shù)之和是3的倍數(shù)時，乙得3分，當兩數(shù)之和是其它數(shù)值時，兩人均不得分．
③設非規(guī)則圖形的面積為，用頻率估計概率，即頻率概率（擲入非規(guī)則圖形內），
故，所以．（合理即可）
【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．
7．（2020·內蒙古呼倫貝爾·初三二模）小明、小亮兩人用如圖所示的兩個分隔均勻的轉盤做游戲：分別轉動兩個轉盤，轉盤停止后，將兩個指針所指數(shù)字相加（若指針恰好停在分割線上，則重轉一次）．如果這兩個數(shù)字之和小于8（不包括8），則小明獲勝；否則小亮獲勝．

（1）填空：轉動轉盤B，轉盤停止后，指針指向偶數(shù)的概率為　 ?。?br /> （2）用列表法（或樹狀圖）分別求出兩人獲勝的概率．
（3）這個游戲對雙方公平嗎？若你認為不公平，如何修改規(guī)則才能使該游戲對雙方公平？
【答案】（1）；（2）P（小明獲勝）＝，P（小亮獲勝）＝；（3）游戲不公平，改為：兩個數(shù)字之和小于等于8時，小明獲勝，否則小亮獲勝．
【分析】（1）轉盤B一共有三種等可能的情況，指針為偶數(shù)的情況只有一種：數(shù)字6，即指針指向偶數(shù)的概率可求；
（2）用樹狀圖或列表法將兩次轉盤可能出現(xiàn)的結果一一列出，并求出兩次轉盤數(shù)字之和，即可求得小明、小亮的獲勝概率；
（3）因為兩者獲勝的概率不相同，所以游戲不公平，改變游戲規(guī)則使得兩者的獲勝概率相等即可．
【解析】解：（1）轉盤B一共有三種等可能的情況，指針為偶數(shù)的情況只有一種：數(shù)字6，即指針指向偶數(shù)的概率為；
（2）樹狀圖：轉盤A一共有四種等可能的情況，轉盤B一共有三種等可能的情況，結果共有12種等可能的情況，

兩數(shù)之和小于8的情況有3種，即，其余情況是小亮獲勝，即；
列表法：轉盤A一共有四種等可能的情況，轉盤B一共有三種等可能的情況，結果共有12種等可能的情況，

兩數(shù)之和小于8的情況有3種，即，其余情況是小亮獲勝，即；
（3）∵兩者獲勝的概率不相同，∴游戲不公平，可將游戲規(guī)則改為：兩個數(shù)字之和小于等于8時，小明獲勝，否則小亮獲勝．
【點睛】本題主要考察了求事件發(fā)生的概率、列表法或樹狀圖法求概率、游戲公平性判斷，解題的關鍵在于無一遺漏地列出可能發(fā)生的情況．

題型8 概率與方程（不等式）結合
【解題技巧】
1．（2020·全國初三課時練習）已知一個口袋中裝有六個完全相同的小球，小球上分別標有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2六個數(shù)，攪均后一次從中摸出一個小球，將小球上的數(shù)用a表示，則摸出小球上的a值恰好使函數(shù)y＝ax的圖象經過二、四象限，且使方程，有實數(shù)解的概率是_____．
【答案】
【分析】先根據(jù)題意得出符合要求的a的值,再利用概率公式計算即可求得答案.
【解析】解：∵當y＝ax的圖象經過二、四象限,∴a＜0,∴a的值可以為：﹣3,﹣2,﹣1,
∵方程有實數(shù)解,∴x≠1,即x﹣a﹣3＝3（x﹣1）,∴a≠﹣2,
∴a的值可以為：﹣1,﹣3,∴摸出小球上的a值恰好使函數(shù)y＝ax的圖象經過二、四象限，且使方程有實數(shù)解的概率是．故答案為．
【點睛】本題主要考查概率的計算,解決本題的關鍵是要熟練掌握計算概率的方法.
2．（2020·全國初三課時練習）甲、乙是兩個不透明的紙箱，甲中有三張標有數(shù)字，，的卡片，乙中有三張標有數(shù)字，，的卡片，卡片除所標數(shù)字外無其他差別，現(xiàn)制定一個游戲規(guī)則：從甲中任取一張卡片，將其數(shù)字記為，從乙中任取一張卡片，將其數(shù)字記為．若，能使關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則甲獲勝；否則乙獲勝．則乙獲勝的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果，利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得乙獲勝的概率.
【解析】（1）∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴△=b2-4a>0,
畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有種等可能的結果，分別是a=，b=1，則△=-10；a=，b=2，則△=2>0；a=，b=1，則△=0；a=，b=3，則△=8>0；a=，b=2，則△=3>0；a=1，b=1，則△=-30；a=1，b=2，則△=0；其中能使乙獲勝的有種結果數(shù)，∴乙獲勝的概率為，故選C．
【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．
3．（2020·全國初三課時練習）從1、2、3、4四個數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，分別記為、，則關于的一元二次方程有實數(shù)解的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根求出ac≤4，繼而畫樹狀圖進行求解即可.
【解析】由題意，△=42-4ac≥0，∴ac≤4，
畫樹狀圖如下：

a、c的積共有12種等可能的結果，其中積不大于4的有6種結果數(shù)，
所以a、c的積不大于4(也就是一元二次方程有實數(shù)根)的概率為，故選C.
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，列表法或樹狀圖法求概率，得到ac≤4是解題的關鍵.
4．（2020·重慶八中初三一模）一枚質地均勻的正方體骰子六個面上分別標有﹣5，﹣1，0，1，2，4這六個數(shù)，若將第一次擲出骰子正面朝上的數(shù)記為m，第二次擲出骰子正面朝上的數(shù)記為n，則點（m、n）恰好落在一次函數(shù)y＝2x﹣4與坐標軸圍成三角形區(qū)域內（含邊界）的概率為_______．
【答案】
【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與恰好落在一次函數(shù)與坐標軸圍成三角形區(qū)域內（含邊界）的情況，再利用概率公式求得答案．
【解析】解：列表得：

∵共有36種等可能的結果，點恰好落在一次函數(shù)與坐標軸圍成三角形區(qū)域內（含邊界）的有：，，，，，
∴點恰好落在一次函數(shù)與坐標軸圍成三角形區(qū)域內（含邊界）的概率是．
故答案為：．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象，概率求解，解題的關鍵是先通過列表找到所有可能的點坐標再去依次判斷是否符合條件．
5．（2021·重慶南開中學初三開學考試）現(xiàn)有五張正面分別標有數(shù)字，，，，的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機抽取一張，記下數(shù)字后放回，背面朝上洗均勻，再隨機抽取一張記下數(shù)字，前后兩次抽取的數(shù)字分別記為，．則點在第四象限的概率為______．
【答案】
【分析】畫樹狀圖展示所有25種等可能的結果數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解析】解：根據(jù)題意畫圖如下：

共有25種等可能的情況數(shù)，其中在第四象限的有6種，概率為．故答案為：．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A的結果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A的概率為．
6．（2020·四川郫都·期末）有五張正面分別標有數(shù)﹣2，0，1，3，4的紙片做成無差別的紙團，洗勻后從中任取一個紙團，若展開后將紙片上的數(shù)記為a，則使關于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整數(shù)的概率為_____．
【答案】
【分析】根據(jù)題意由當a分別取2，0，1，3，4時，解方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x得到正整數(shù)的個數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解析】解：當a＝﹣2時，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化為﹣2x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝﹣2；
當a＝0時，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化為﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，無解；
當a＝1時，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化為x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝4；
當a＝3時，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化為3x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝；
當a＝4時，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化為4x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝1；
所以使關于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整數(shù)的結果數(shù)為2，
所以展開后將紙片上的數(shù)記為a，則使關于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整數(shù)的概率＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查概率公式以及解一元二次方程，注意掌握某事件的概率=某事件所占的情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
7．（2021·四川邛崍·初三二模）一個不透明的盒子里裝有3個分別寫有數(shù)字，0，1的小球，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)從盒子里隨機取出一個小球，將該小球上的數(shù)字記為．從剩余的小球中再取出一個，將第二個小球上的數(shù)字記為．則點落在二次函數(shù)與軸所圍成的區(qū)域（含邊界）概率是_______；
【答案】
【分析】根據(jù)題意找到點P的全部可能結果是有6中，然后根據(jù)畫出的函數(shù)圖像與x軸所圍成的區(qū)域，找到符合的結果有3種，由此得到概率．
【解析】由題意得，點P的可能結果為：（-1，0），（-1，1），（0，1），（0，-1），（1，-1），（1，0），在平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)與x軸的區(qū)域，如圖中陰影部分（包含邊界）：

標出點P的坐標，其中（0，1），（1，0），（-1，0）符合情況，所以點落在二次函數(shù)與軸所圍成的區(qū)域（含邊界）概率為：．故答案為：．
【點睛】考查某個事件的發(fā)生概率求法，并結合二次函數(shù)的圖象知識，學生必須熟練掌握二次函數(shù)的圖象畫法，從中找到符合情況的結果數(shù)求的概率．

題型9 概率與統(tǒng)計綜合
【解題技巧】
1．（2020·山東肥城·初三三模）為提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，某學校開展了“數(shù)學素養(yǎng)”競賽活動.九年級名學生參加了競賽，結果所有學生成績都不低于分(滿分分)．為了了解成績分布情況，學校隨機抽取了部分學生的成績進行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計表，根據(jù)表中所給信息，解答下列問題：
成績(分)分組
頻數(shù)
頻率












表中___ _ _ ， _；這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在_____ _范圍內；
若成績不小于分為優(yōu)秀，請估計九年級大約有多少名學生獲得優(yōu)秀成績？
競賽中有這樣一道題目： 如圖，有兩個轉盤在每個轉盤各自的兩個扇形區(qū)域中分別標有數(shù)字1，2，分別轉動轉盤當轉盤停止轉動時，若事件“指針都落在標有數(shù)字的扇形區(qū)域內”概率是，則轉盤中標有數(shù)字的扇形的圓心角的度數(shù)是 ．

【答案】，； 中位數(shù)在內； 名；
【分析】（1）先根據(jù)組求出樣本數(shù)為50名學生，四個分組的人數(shù)和就是50，即可求出的值；根據(jù)已知的頻數(shù)和樣本數(shù)即可求出；（2）根據(jù)中位數(shù)的概念即可求出答案；（3）根據(jù)樣本中成績不小于分為優(yōu)秀的頻率即可估計總體中成績不小于分的學生人數(shù)；（4）先根據(jù)題意求出轉盤B中指針落在標有數(shù)字1的扇形區(qū)域內的概率，再根據(jù)圓周角等于計算即可．
【解析】解：（1）調查學生總數(shù)：（名），
的頻數(shù)：，即，
的頻率：，即，故答案為：20，0.2．
（2）共50名學生，中位數(shù)落在“”范圍內．
（3）調查學生中，成績不小于分的頻率：，
所以根據(jù)樣本估計總體，九年級獲得優(yōu)秀成績的學生人數(shù)：（名），
即九年級大約有360名學生獲得優(yōu)秀成績．
（4）設轉盤B中指針落在標有數(shù)字1的扇形區(qū)域內的概率為，根據(jù)題意得：，解得，
所以轉盤B中指針落在標有數(shù)字1的扇形的圓心角的度數(shù)為：．故答案為：．
【點睛】本題考查了數(shù)據(jù)的分析與整理及事件的概率等知識點，熟練掌握基本概念如中位數(shù)、頻率及事件概率的求法是解題的關鍵．
2．（2020·廣西環(huán)江·二模）某興趣小組設計了一份關于支付方式的調查問卷，要求每人從下列五種支付方式中選擇且只選一種支付方式．現(xiàn)將調查結果進行統(tǒng)計并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中所給的信息解答下列問題：

（1）這次活動共調查了　 　人；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）在一次購物中，王明和李亮都想從微信、支付寶、銀行卡三種支付方式中選一種方式進行支付，求兩人選出同種支付方式的概率．
【答案】（1）100；（2）畫圖見解析；（3）
【分析】（1）由題意利用支付寶、現(xiàn)金及其他的人數(shù)和除以這三者的百分比之和可得總人數(shù)；
（2）由題意利用總人數(shù)乘以對應百分比可得微信和銀行卡的人數(shù)，進而補全條形統(tǒng)計圖即可；
（3）根據(jù)題意首先畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩人恰好選擇同一種支付方式的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】解：（1）（20+25+10）÷（1-15%-30%）=100（人）；故答案為：100.
（2）微信人數(shù)為100×30%=30人，銀行卡人數(shù)為100×15%=15人，補全圖形如下：

（3）將微信記為A、支付寶記為B、銀行卡記為C，畫樹狀圖得：

∵由樹狀圖知，共有9種等可能的結果，其中兩人選用同一種支付方式的有3種，
∴P(兩人選用同種支付方式)=．
【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖相關，注意掌握列表法與樹狀圖法即利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件B的概率．
3．（2020·四川丹棱·一模）為了了解某市中學生參加“科普知識”競賽成績的情況，隨機抽查了部分參賽學生的成績，整理并制作出如下的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，如圖所示，請根據(jù)圖表信息解答下列問題：
（1）在表中： ， ；
（2）補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）小明的成績是所有被抽查學生的中位數(shù)，據(jù)此推斷他的成績在 組；
（4）4個小組每組推薦1人，然后從4人中隨機抽取2人參加頒獎典禮，恰好抽中A、C兩組學生的概率是多少？并列表或畫樹狀圖說明．
組別
分數(shù)段（分）
頻數(shù)
頻率
A組

30
0.1
B組

90

C組


0.4
D組

60
0.2

【答案】，；（2）見解析；（3）C，（4），見解析
【分析】（1）由題意先根據(jù)A組頻數(shù)及其頻率求得總人數(shù)，再根據(jù)頻率=頻數(shù)÷總人數(shù)可得m、n的值；
（2）由題意直接根據(jù)（1）中所求結果即可補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）由題意根據(jù)中位數(shù)的定義進行分析即可求解；
（4）根據(jù)題意先畫樹狀圖列出所有等可能結果，再找到抽中A、C的結果，根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】解：（1）∵本次調查的總人數(shù)為30÷0.1=300（人），∴m=300×0.4=120，n=90÷300=0.3，
故答案為：120，0.3；
（2）補全頻數(shù)分布直方圖如圖所示

（3）由于共有300個數(shù)據(jù)，則其中位數(shù)為第150、151個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第150、151個數(shù)據(jù)的平均數(shù)均落在C組，∴據(jù)此推斷他的成績在C組，故答案為：C；
（4）樹狀圖如下：

由樹狀圖可得，共有12種等可能情況，其中抽到A、C兩組同學的情況有2種．
∴抽中A、C兩組同學的概率為．
【點睛】本題考查列表法或畫樹狀圖法求概率以及讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．熟練掌握并利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
4．（2020·西藏日喀則·一模）為慶祝建國70周年，我市某中學決定舉辦校園藝術節(jié)．學生從“書法”、“繪畫”、“聲樂”、“器樂”、“舞蹈”五個類別中選擇一類報名參加．為了了解報名情況，組委會在全校隨機抽取了若干名學生進行問卷調查，現(xiàn)將報名情況繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖．請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：
（1）在這次調查中，共抽取 名學生；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）扎西和卓瑪同學報名參加“器樂”類比賽，想從小提琴、單簧管、鋼琴、電子琴四種樂器中隨機選擇一種樂器，用列表法或畫樹狀圖法求他們選中同種樂器的概率

【答案】（1）200名；（2）見解析；（3）樹狀圖見解析，
【分析】（1）根據(jù)抽取的報名“書法”類的人數(shù)有20人，占整個被抽取到學生總數(shù)的10%，得出算式即可得出結果；（2）由抽取的人數(shù)分別乘以報名“繪畫”類的人數(shù)所占的比例和報名“舞蹈”類的人數(shù)所占的比例得出報名“繪畫”類和“舞蹈”類的人數(shù)；補全條形統(tǒng)計圖即可；
（3）設小提琴、單簧管、鋼琴、電子琴四種樂器分別為A、B、C、D，畫出樹狀圖，即可得出答案．
【解析】解：（1）∵被抽到的學生中，報名“書法”類的人數(shù)有20人，占整個被抽取到學生總數(shù)的10%，
∴在這次調查中，一共抽取了學生為：20÷10%=200（人）.故答案為：200；
（2）被抽到的學生中報名“繪畫”類的人數(shù)為：
（人），報名“舞蹈”類的人數(shù)為：（人）.
補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

（3）設小提琴、單簧管、鋼琴、電子琴四種樂器分別為A、B、C、D，
畫樹狀圖如圖所示：

共有16個等可能的結果，小東和小穎選中同一種樂器的結果有4個，
∴小東和小穎選中同一種樂器的概率為．
【點睛】此題主要考查了扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖的應用，以及列表法與樹狀圖法求概率，根據(jù)扇形圖和條形圖中都有的信息得出抽取的總人數(shù)是解決此類問題的關鍵，根據(jù)題意畫出樹狀圖是解決（3）的關鍵．
4．（2020·山東一模）為了豐富學生的業(yè)余文化生活，某校教務處準備在大課間期間開設興趣小組，預設科目為“舞蹈”“音樂”“電競”“動漫”為了準確配備教室與師資，負責人制作了“你最喜歡的科目”的調查問卷，在校園隨機調查后制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)信息解答下面問題：

（1）本次調查中，參與問卷調查的人數(shù)為　 　；（2）扇形統(tǒng)計圖中的m、n的值為　 　、　 　，補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校有學生2000人，請你估計報名“電競”的學生的人數(shù)為　 ??；
（4）最先報名“動漫”課程的三名學生中有兩名男生一名女生，若隨機抽取兩名學生參與教室網線布設，求兩名學生恰為一男一女的概率．
【答案】（1）80；（2）25，54，圖詳見解析；（3）1000；（4）．
【分析】（1）從兩個統(tǒng)計圖可得，“電競”的有40人，占調查人數(shù)的50%，可求出調查人數(shù)；
（2）求出“音樂”20人所占的百分比，即可求出n的值，求出“動漫”12人所占的百分比，即可求出“動漫”所在的圓心角的度數(shù)，確定m的值；求出“舞蹈”的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖：
（3）樣本估計總體，樣本中“電競”占50%，估計總體2000人的50%是報“電競”的人數(shù)．
（4）用列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結果，從中找出“一男一女”的結果數(shù)，即可求出相應的概率．
【解析】解：（1）40÷50%＝80（人），故答案為：80；
（2）20÷80＝25%，m＝360°×＝54°，80×10%＝8（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：故答案為：25，54；
（3）2000×50%＝1000（人）故答案為：1000；
（4）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果如下：

共有6種結果，其中一男一女的有4種，∴兩名學生恰為一男一女的概率為＝．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件B的概率．也考查了統(tǒng)計圖．
5．（2020·廣東南山·三模）學生社團是指學生在自愿基礎上結成的各種群眾性文化、藝術、學術團體．不分年級、由興趣愛好相近的同學組成，在保證學生完成學習任務和不影響學校正常教學秩序的前提下開展各種活動．某校就學生對“籃球社團、動漫社團、文學社團和攝影社團”四個社團選擇意向進行了抽樣調查(每人選報一類)，繪制了如圖所示的兩幅統(tǒng)計圖(不完整)．

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：(1)求扇形統(tǒng)計圖中m的值，并補全條形統(tǒng)計圖；(2)在“動漫社團”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這五名同學中任選兩名參加“中學生原創(chuàng)動漫大賽”，恰好選中甲、乙兩位同學的概率為 ．(3)已知該校有1200名學生，請估計“文學社團”共有多少人?
【答案】（1）m=20；補全圖形見解析；（2）；（3）300人
【分析】（1）用C類別人數(shù)除以其占總人數(shù)的比例可得總人數(shù)，再求出A類別的人數(shù)，由A的人數(shù)可得其所占百分比，由A得人數(shù)即可補全條形圖；（2）首先根據(jù)題意列出表格，再從中找到符合條件的結果數(shù)，利用概率公式計算可得；（3）用1200乘以文學社團所占得比例即可．
【解析】解：（1）本次調查的總人數(shù)為15÷25%=60（人），∴A類別人數(shù)為：60-（24+15+9）=12，
則m%=×100%=20%，∴m=20 補全圖形如下：

（2）列表得：

甲
乙
丙
丁
戊
甲

（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
（甲，戊）
乙
（乙，甲）

（乙，丙）
（乙，?。?br /> （乙，戊）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）

（丙，?。?br /> （丙，戊）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）

（丁，戊）
戊
（戊，甲）
（戊，乙）
（戊，丙）
（戊，?。?br />
∵共有20種等可能的結果，恰好選中甲、乙兩位同學的有2種情況，
∴恰好選中甲、乙兩位同學的概率為；
（3）估計“文學社團”共有1200×25%=300（人）.
【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖、用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
6．（2020·河北裕華·石家莊外國語學校初三三模）目前，某校九年級同學對“新冠疫情下停課不停學”線上學習的家長進行問卷調查，隨機調查了若干名家長對線上學習的態(tài)度（態(tài)度分為：A．無所謂；B．基本贊成；C．反對；D．贊成）．并將調查結果繪制成頻數(shù)折線統(tǒng)計圖1和扇形統(tǒng)計圖2（不完整）．請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）此次抽樣調查中，共調查了多少名中學生家長；
（2）求出圖2中扇形C所對的圓心角度數(shù)，并將圖1補充完整；
（3）在此次調查活動中，初三（1）班有A1、A2兩位家長對線上學習，持基本贊成的態(tài)度，初三（2）班有B1、B2兩位學生家長對線上學習，也持基本贊成的態(tài)度，現(xiàn)從這4位家長中選2位家長參加學校組織的家校活動，用列表法或畫樹狀圖的方法求出選出的2人來自不同班級的概率．
【答案】（1）200名；（2）18°，補圖見解析；（3）．
【分析】（1）用A類人數(shù)除以它所占的百分比得到調查的總人數(shù)；（2）先計算出C類的人數(shù)，再利用360°乘以C類人數(shù)所占的百分比得到圖2中扇形C所對的圓心角度數(shù)，然后補全頻數(shù)折線統(tǒng)計圖；（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數(shù)，找出選出的2人來自不同班級的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解析】解：（1）30÷15%＝200，所以共調查了200名中學生家長；
（2）C類人數(shù)為200﹣30﹣40﹣120＝10（人），所以扇形C所對的圓心角度數(shù)＝360°×＝18°；
頻數(shù)折線統(tǒng)計圖為：

（3）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果數(shù)，其中選出的2人來自不同班級的結果數(shù)為8，
所以選出的2人來自不同班級的概率＝＝．
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．也考查了統(tǒng)計圖．




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