?考點18.概率
知識框架：



基礎知識點：
知識點1-1 事件的分類
1．必然事件：在一定條件下一定會發(fā)生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定條件下一定不會發(fā)生的事件，它的概率是0．
3．隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，它的概率是0~1之間．
知識點1-2概率的計算
1．公式法：P（A）=，其中n為所有事件的總數(shù)，m為事件A發(fā)生的總次數(shù)．
2．列舉法
1）列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，應不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法求事件發(fā)生的概率．
2）畫樹狀圖法：當一次試驗要涉及2個或更多的因素時，通常采用畫樹狀圖來求事件發(fā)生的概率．
知識點1-3利用頻率估計概率
1．定義：一般地，在大量重復試驗中，如果事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)P附近，因此，用一個事件發(fā)生的頻率來估計這一事件發(fā)生的概率．
2．適用條件：當試驗的所有可能結果不是有限個，或各種結果發(fā)生的可能性不相等時，我們一般要通過統(tǒng)計頻率來估計概率．
3．方法：進行大量重復試驗，當事件發(fā)生的頻率越來越靠近一個常數(shù)時，該常數(shù)就可認為是這個事件發(fā)生的概率．
知識點1-4 概率的應用
概率是和實際結合非常緊密的數(shù)學知識，可以對生活中的某些現(xiàn)象做出評判，如解釋摸獎、評判游戲活動的公平性、數(shù)學競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件做出決策．

重難點題型
題型1事件的分類
【解題技巧】1)．一般地，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整個問題中所占比例的大小來確定，它占整體的比例大，它的可能性就大，它占整體的比例小，它的可能性就小，不確定事件發(fā)生的概率在0到1之間，不包括0和1．
2)．必然事件發(fā)生的機率是100%，即概率為1，不可能事件發(fā)生的機率為0，即概率為0．
1．（2020·江蘇泰州市·中考真題）如圖，電路圖上有個開關、、、和個小燈泡，同時閉合開關、或同時閉合開關、都可以使小燈泡發(fā)光．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是（ ）
A．只閉合個開關 B．只閉合個開關 C．只閉合個開關 D．閉合個開關

2．（2020·遼寧沈陽市·中考真題）下列事件中，是必然事件的是（　?。?br /> A．從一個只有白球的盒子里摸出一個球是白球 B．任意買一張電影票，座位號是3的倍數(shù)
C．擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上 D．汽車走過一個紅綠燈路口時，前方正好是綠燈
3．（2020·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）下列事件中是不可能事件的是(　　　)
A．守株待兔 B．甕中捉鱉 C．水中撈月 D．百步穿楊
4．（2020·湖北襄陽市·中考真題）下列說法正確的是（ ）
A．“買中獎率為的獎券10張，中獎”是必然事件
B．“汽車累積行駛，從未出現(xiàn)故障”是不可能事件
C．襄陽氣象局預報說“明天的降水概率為”，意味著襄陽明天一定下雨
D．若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則方差小的更穩(wěn)定
5．（2020·湖北武漢市·中考真題）兩個不透明的口袋中各有三個相同的小球，將每個口袋中的小球分別標號為1，2，3．從這兩個口袋中分別摸出一個小球，則下列事件為隨機事件的是（ ）
A．兩個小球的標號之和等于1 B．兩個小球的標號之和等于6
C．兩個小球的標號之和大于1 D．兩個小球的標號之和大于6
6．（2020·四川攀枝花市·中考真題）下列事件中，為必然事件的是（ ）．
A．明天要下雨 B． C． D．打開電視機，它正在播廣告

題型2概率（幾何概型）的計算
1．（2020·湖北隨州市·中考真題）如圖，中，點，，分別為，，的中點，點，，分別為，，的中點，若隨機向內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為____．

2．（2020·浙江衢州市·中考真題）如圖是一個游戲轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，指針落在數(shù)字“Ⅱ”所示區(qū)域內(nèi)的概率是（　?。?br />
A． B． C． D．
3．（2020·山西中考真題）如圖是一張矩形紙板，順次連接各邊中點得到菱形，再順次連接菱形各邊中點得到一個小矩形．將一個飛鏢隨機投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（ ）

A． B． C． D．
4．（2020·江蘇蘇州市·中考真題）一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上．每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是___________．

5．（2020·遼寧本溪市·中考真題）下圖是由全等的小正方形組成的圖案，假設可以隨意在圖中取點，那么這個點取在陰影部分的概率是_________．

6．（2020·山東德州市·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，有4個小正方形已經(jīng)涂黑，若再涂黑任意1個白色的小正方形（每個白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新構成的黑色部分圖形是軸對稱圖形的概率是________．


題型3 隨機事件（等可能事件）的概率
【解題技巧】用列舉法解題時，一定要注意各種情況出現(xiàn)的可能性務必相同，不要出現(xiàn)重復、遺漏等現(xiàn)象．
1．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，小球從A入口往下落，在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等．則小球從E出口落出的概率是（　?。?br />
A． B． C． D．
2．（2020·遼寧阜新市·中考真題）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，則再次擲出這枚硬幣，正面朝下的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2020·貴州貴陽市·中考真題）在“拋擲正六面體”的試驗中，正六面體的六個面分別標有數(shù)字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在試驗次數(shù)很大時，數(shù)字“6”朝上的頻率的變化趨勢接近的值是_____．
4．（2020·遼寧葫蘆島市·中考真題）一個不透明的口袋中有4個紅球、2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出1個球，則摸到紅球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·湖南張家界市·中考真題）新學期開學，剛剛組建的七年級（1）班有男生30人，女生24人，欲從該班級中選出一名值日班長，任何人都有同樣的機會，則這班選中一名男生當值日班長的概率是_____．
6．（2020·湖南湘潭市·中考真題）為慶祝建黨99周年，某校八年級（3）班團支部為了讓同學們進一步了解中國科技的發(fā)展，給班上同學布置了一項課外作業(yè)，從選出的以下五個內(nèi)容中任選部分內(nèi)容進行手抄報的制作：、“北斗衛(wèi)星”：、“時代”；、“智軌快運系統(tǒng)”；、“東風快遞”；、“高鐵”．統(tǒng)計同學們所選內(nèi)容的頻數(shù)，繪制如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則選擇“時代”的頻率是（ ）

A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
7．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）一只不透明的袋子中裝有5個紅球和1個黃球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，摸出紅球的概率等于_____．
8．（2020·遼寧錦州市·中考真題）在一個不透明的袋子中裝有4個白球，a個紅球．這些球除顏色外都相同．若從袋子中隨機摸出1個球，摸到紅球的概率為，則______．

題型4利用頻率估計概率
【解題技巧】在大量重復試驗中，隨著統(tǒng)計數(shù)據(jù)的增大，頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)左右，將該常數(shù)作為概率的估計值，兩者的區(qū)別在于：頻率是通過多次試驗得到的數(shù)據(jù)，而概率是理論上事件發(fā)生的可能性，二者并不完全相同．
1．（2020·遼寧盤錦市·中考真題）為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區(qū)1000名九年級男生的身高數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下．
身高




人數(shù)
60
260
550
130
根據(jù)以上統(tǒng)計結果，隨機抽取該地區(qū)一名九年級男生，估計他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
2．（2020·遼寧營口市·中考真題）某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：
射擊次數(shù)
20
80
100
200
400
1000
“射中九環(huán)以上”的次數(shù)
18
68
82
168
327
823
“射中九環(huán)以上”的頻率（結果保留兩位小數(shù)）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約是（　?。?br /> A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
3．（2020·遼寧鞍山市·中考真題）在一個不透明的袋子中裝有6個紅球和若干個白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻后隨機摸出一個球，記下顏色后放回，不斷重復這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20次摸到紅球，估計袋子中白球的個數(shù)約為_________．
4．（2020·湖南邵陽市·中考真題）如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為，寬為的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計實驗結果），他將若干次有效實驗的結果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（ ）

A． B． C． D．
4．（2020·江蘇揚州市·中考真題）大數(shù)據(jù)分析技術為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用．如圖是小明同學的蘇康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計黑色部分的總面積約為________．

5．（2020·浙江臺州市·中考真題）新冠疫情期間，某校開展線上教學，有“錄播”和“直播”兩種教學方式供學生選擇其中一種．為分析該校學生線上學習情況，在接受這兩種教學方式的學生中各隨機抽取40人調(diào)查學習參與度，數(shù)據(jù)整理結果如表（數(shù)據(jù)分組包含左端值不包含右端值）．
參與度
人數(shù)
方式
0.2～0.4
0.4～0.6
0.6～0.8
0.8～1
錄播
4
16
12
8
直播
2
10
16
12
（1）你認為哪種教學方式學生的參與度更高？簡要說明理由．（2）從教學方式為“直播”的學生中任意抽取一位學生，估計該學生的參與度在0.8及以上的概率是多少？（3）該校共有800名學生，選擇“錄播”和“直播”的人數(shù)之比為1：3，估計參與度在0.4以下的共有多少人？




6．（2020·廣西中考真題）某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：
射擊次數(shù)






“射中環(huán)以上”的次數(shù)






“射中環(huán)以上”的頻率(結果保留小數(shù)點后兩位)






根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率是_______(結果保留小數(shù)點后一位)．
7．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）公司以3元/的成本價購進柑橘，并希望出售這些柑橘能夠獲得12000元利潤，在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，需要先進行“柑橘損壞率”統(tǒng)計，再大約確定每千克柑橘的售價，右面是銷售部通過隨機取樣，得到的“柑橘損壞率”統(tǒng)計表的一部分，由此可估計柑橘完好的概率為_______（精確到0.1）；從而可大約每千克柑橘的實際售價為_______元時（精確到0.1），可獲得12000元利潤．
柑橘總質(zhì)量
損壞柑橘質(zhì)量
柑橘損壞的頻率（精確到0.001）
…
…
…
250
24.75
0.099
300
30.93
0.103
350
35.12
0.100
450
44.54
0.099
500
50.62
0.101

題型5 用樹狀圖法求概率
【解題技巧】
1．（2020·湖北武漢市·中考真題）某班從甲、乙、丙、丁四位選中隨機選取兩人參加校乒乓球比賽，恰好選中甲、乙兩位選手的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·四川綿陽市·中考真題）將一個籃球和一個足球隨機放入三個不同的籃子中，則恰有一個籃子為空的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
3．（2020·黑龍江牡丹江市·中考真題）在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4．若隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次取出小球標號的和等于5的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·新疆中考真題）在四張背面完全相同的卡片上分別印有正方形、正五邊形、正六邊形、圓的圖案，現(xiàn)將印有圖案的一面朝下，混合后從中隨機抽取兩張，則抽到卡片上印有的圖案都是中心對稱圖形的概率為（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·山東東營市·中考真題）如圖，隨機閉合開關，，中的兩個，則能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為（ ）

A． B． C． D．
6．（2020·陜西中考真題）小亮和小麗進行摸球試驗．他們在一個不透明的空布袋內(nèi)，放入兩個紅球，一個白球和一個黃球，共四個小球．這些小球除顏色外其它都相同．試驗規(guī)則：先將布袋內(nèi)的小球搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記下顏色后放回，稱為摸球一次．（1）小亮隨機摸球10次，其中6次摸出的是紅球，求這10次中摸出紅球的頻率；（2）若小麗隨機摸球兩次，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的概率．



7．（2020·江蘇鹽城市·中考真題）生活在數(shù)字時代的我們，很多場合用二維碼（如圖）來表示不同的信息，類似地，可通過在矩形網(wǎng)格中，對每一個小方格涂加色或不涂色所得的圖形來表示不同的信息，例如：網(wǎng)格中只有一個小方格，如圖，通過涂器色或不涂色可表示兩個不同的信息．

（1）用樹狀圖或列表格的方法，求圖可表示不同信息的總個數(shù)：（圖中標號表示兩個不同位置的小方格，下同）

（2）圖為的網(wǎng)格圖．它可表示不同信息的總個數(shù)為 ；

（3）某校需要給每位師生制作一張“校園出入證”，準備在證件的右下角采用的網(wǎng)格圖來表示各人身份信息，若該校師生共人，則的最小值為 ；
8．（2020·吉林長春市·中考真題）現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中兩張卡片的正面圖案為“神舟首飛”，第三張卡片的正面圖案為“保衛(wèi)和平”，卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄圖案后放回，重新洗勻后再從中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的概率．（圖案為“神舟首飛”的兩張卡片分別記為、，圖案為“保衛(wèi)和平”的卡片記為）





題型6用列表法求概率
【解題技巧】
1．（2020·山東臨沂市·中考真題）從馬鳴、楊豪、陸暢，江寬四人中抽調(diào)兩人參加“寸草心”志愿服務隊，恰好抽到馬鳴和楊豪的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·黑龍江牡丹江市·朝鮮族學校中考真題）現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同，從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·湖南中考真題）今年2﹣4月某市出現(xiàn)了200名新冠肺炎患者，市委根據(jù)黨中央的決定，對患者進行了免費治療．圖1是該市輕癥、重癥、危重癥三類患者的人數(shù)分布統(tǒng)計圖（不完整），圖2是這三類患者的人均治療費用統(tǒng)計圖．請回答下列問題．（1）輕癥患者的人數(shù)是多少？（2）該市為治療危重癥患者共花費多少萬元？（3）所有患者的平均治療費用是多少萬元？（4）由于部分輕癥患者康復出院，為減少病房擁擠，擬對某病房中的A、B、C、D、E五位患者任選兩位轉(zhuǎn)入另一病房，請用樹狀圖法或列表法求出恰好選中B、D兩位患者的概率．


4．（2020·湖北宜昌市·中考真題）宜昌景色宜人，其中三峽大壩、清江畫廊、三峽人家景點的景色更是美不勝收．某民營單位為兼顧生產(chǎn)和業(yè)余生活，決定在下設的A，B，C三部門利用轉(zhuǎn)盤游戲確定參觀的景點，兩轉(zhuǎn)盤各部分圓心角大小以及選派部門、旅游景點等信息如圖．

（1）若規(guī)定老同志相對偏多的部門選中的可能性大，試判斷這個部門是哪個部門？請說明理由；
（2）設選中C部門游三峽大壩的概率為，選中B部門游清江畫廊或者三峽人家的概率為，請判斷，大小關系，并說明理由．
5．（2020·山西中考真題）年國家提出并部署了“新基建”項目，主要包含“特高壓，城際高速鐵路和城市軌道交通，基站建設，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新能源汽車充電樁”等．《新基建中高端人才市場就業(yè)吸引力報告》重點刻畫了“新基建”中五大細分領域（基站建設，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新能源汽車充電樁）總體的人才與就業(yè)機會．下圖是其中的一個統(tǒng)計圖．
請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）填空：圖中年“新基建”七大領域預計投資規(guī)模的中位數(shù)是______億元；
（2）甲，乙兩位待業(yè)人員，僅根據(jù)上面統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，從五大細分領域中分別選擇了“基站建設”和“人工智能”作為自己的就業(yè)方向，請簡要說明他們選擇就業(yè)方向的理由各是什么；
（3）小勇對“新基建”很感興趣，他收集到了五大細分領域的圖標，依次制成編號為，，，，的五張卡片（除編號和內(nèi)容外，其余完全相同），將這五張卡片背面朝上，洗勻放好，從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張．請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是編號為（基站建設）和（人工智能）的概率．





6．（2020·貴州貴陽市·中考真題）“2020第二屆貴陽市應急科普知識大賽”的比賽中有一個抽獎活動．規(guī)則是：準備3張大小一樣，背面完全相同的卡片，3張卡片的正面所寫內(nèi)容分別是《消防知識手冊》《辭?！贰掇o?！?，將它們背面朝上洗勻后任意抽出一張，抽到卡片后可以免費領取卡片上相應的書籍．
（1）在上面的活動中，如果從中隨機抽出一張卡片，記下內(nèi)容后不放回，再隨機抽出一張卡片，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到2張卡片都是《辭?！返母怕剩?br /> （2）再添加幾張和原來一樣的《消防知識手冊》卡片，將所有卡片背面朝上洗勻后，任意抽出一張，使得抽到《消防知識手冊》卡片的概率為，那么應添加多少張《消防知識手冊》卡片？請說明理由．




7．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）智慧的中國古代先民發(fā)明了抽象的符號來表達豐富的含義．例如，符號“”有剛毅的含義，符號“”有愉快的含義．符號中的“”表示“陰”，“”表示“陽”，類似這樣自上而下排成的三行符號還有其他的含義．所有這些三行符號中，每一行只有一個陰或一個陽，且出現(xiàn)陰、陽的可能性相同．（1）所有這些三行符號共有　 　種；
（2）若隨機畫一個這樣的三行符號，求“畫出含有一個陰和兩個陽的三行符號”的概率．
8．（2020·吉林中考真題）“中國結”是我國特有的手工編織工藝品，也是一種傳統(tǒng)吉祥裝飾物，如圖，現(xiàn)有三張正面印有“中國結”圖案的不透明卡片，，，卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將三張卡片正面向下洗勻，小吉同學從中隨機抽取一張卡片，記下圖案后正面向下放回，洗勻后再從中隨機抽取一張卡片．請用畫樹狀圖或列表的方法，求小吉同學抽出的兩張卡片中含有卡片的概率．





題型7概率的應用
【解題技巧】游戲是否公平在于可能性是否相等，即可能性相等，游戲公平；可能性不相等，則游戲不公平．
1．（2020·山東威海市·）小偉和小梅兩位同學玩擲骰子的游戲，兩人各擲一次均勻的骰子，以擲出的點數(shù)之差的絕對值判斷輸贏．若所得數(shù)值等于，，，則小偉勝：若所得數(shù)值等于，，，則小梅勝
（1）請利用表格分別求出小偉、小梅獲勝的概率

















































（2）判斷上述游戲是否公平．如果公平，請說明理由；如果不公平，請利用上表修改游戲規(guī)則，以確保游戲的公平性



2．（2020·四川中考真題）為了加強學生的垃圾分類意識，某校對學生進行了一次系統(tǒng)全面的垃圾分類宣傳．為了解這次宣傳的效果，從全校學生中隨機抽取部分學生進行了一次測試，測試結果共分為四個等級：A．優(yōu)秀； B．良好； C．及格：D．不及格．根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結果，繪制了如圖所示的不完整的統(tǒng)計表．
垃圾分類知識測試成績統(tǒng)計表
測試等級
百分比
人數(shù)
A．優(yōu)秀
5%
20
B．良好

60
C．及格
45%
m
D．不及格
n

請結合統(tǒng)計表，回答下列問題：（1）求本次參與調(diào)查的學生人數(shù)及m，n的值；（2）如果測試結果為“良好”及以上即為對垃圾分類知識比較了解，已知該校學生總數(shù)為5600人，請根據(jù)本次抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)估計全校比較了解垃圾分類知識的學生人數(shù)；（3）為了進一步在學生中普及垃圾分類知識，學校準備再開展一次關于垃圾分類的知識競賽，要求每班派一人參加．某班要從在這次測試成績?yōu)閮?yōu)秀的小明和小亮中選一人參加．班長設計了如下游戲來確定人選，具體規(guī)則是：把四個完全相同的乒乓球分別標上數(shù)字1，2，3，4．然后放到一個不透明的袋中充分搖勻，兩人同時從袋中各摸出一個球．若摸出的兩個球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明參加，否則小亮參加．請用樹狀圖或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平．



3．（2020·內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）如圖1，一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，它有四個面，并分別標有1，2，3，4四個數(shù)字；如圖2，等邊三角形ABC的三個頂點處各有-個圓圈.丫丫和甲甲想玩跳圈游戲，游戲的規(guī)則為：游戲者從圜A起跳，每投擲一次骰子，骰子著地的一面點數(shù)是幾，就沿著三角形的邊逆時針方向連續(xù)跳躍幾個邊長.如:若第一次擲得點數(shù)為2，就逆時針連續(xù)跳2個邊長，落到圈C；若第二次擲得點數(shù)為4，就從圈C繼續(xù)逆時針連續(xù)跳4個邊長，落到圈A.
（1）丫丫隨機擲一次骰子，她跳躍后落回到圈A的概率為 ；
（2） 丫丫和甲甲一起玩眺圈游戲: 丫丫隨機投擲一次骰子，甲甲隨機投擲兩次骰子，都以最終落回到圈A為勝者.這個游戲規(guī)則公平嗎?請說明理由.



4．（2020·山東青島市·中考真題）小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場券，于是他們設計了一個“配紫色”游戲：，是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤都被分成面積相等的幾個扇形、同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，如果其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色，那么可以配成紫色．若配成紫色，則小穎去觀看，否則小亮去觀看．這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由．



5．（2020·甘肅鎮(zhèn)原·初三學業(yè)考試）在一個不透明的口袋里裝有四個分別標有1、2、3、4的小球，它們的形狀、大小等完全相同．小明先從口袋里隨機不放回地取出一個小球，記下數(shù)字為x；小紅在剩下有三個小球中隨機取出一個小球，記下數(shù)字y．
（1）計算由x、y確定的點（x，y）在函數(shù)y=﹣x+6圖象上的概率；
（2）小明、小紅約定做一個游戲，其規(guī)則是：若x、y滿足xy＞6，則小明勝；若x、y滿足xy＜6，則小紅勝．這個游戲規(guī)則公平嗎？說明理由；若不公平，怎樣修改游戲規(guī)則才對雙方公平．


6．（2020·遼寧臺安·初三二模）一個不透明的袋子里裝有4個小球，分別標有1，2，3，7四個數(shù)字，這些小球除所標數(shù)字不同外，其余方面完全相同，甲、乙兩人每次同時從袋子中各隨機摸出一個小球，記下小球上的數(shù)字，并計算它們的和.（1）請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩數(shù)和是8的概率；
（2）甲、乙兩人想用這種方法做游戲，他們規(guī)定：若兩數(shù)之和是2的倍數(shù)時，甲得3分；若兩數(shù)之和是3的倍數(shù)時，乙得2分；當兩數(shù)之和是其他數(shù)值時，兩人均不得分.你認為這個游戲公平嗎？請說明理由；若你認為不公平，請你修改得分規(guī)則，使游戲公平．




7．（2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·初三二模）小明、小亮兩人用如圖所示的兩個分隔均勻的轉(zhuǎn)盤做游戲：分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，將兩個指針所指數(shù)字相加（若指針恰好停在分割線上，則重轉(zhuǎn)一次）．如果這兩個數(shù)字之和小于8（不包括8），則小明獲勝；否則小亮獲勝．

（1）填空：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤B，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向偶數(shù)的概率為　 　．
（2）用列表法（或樹狀圖）分別求出兩人獲勝的概率．
（3）這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？若你認為不公平，如何修改規(guī)則才能使該游戲?qū)﹄p方公平？





題型8 概率與方程（不等式）結合
【解題技巧】
1．（2020·全國初三課時練習）已知一個口袋中裝有六個完全相同的小球，小球上分別標有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2六個數(shù)，攪均后一次從中摸出一個小球，將小球上的數(shù)用a表示，則摸出小球上的a值恰好使函數(shù)y＝ax的圖象經(jīng)過二、四象限，且使方程，有實數(shù)解的概率是_____．
2．（2020·全國初三課時練習）甲、乙是兩個不透明的紙箱，甲中有三張標有數(shù)字，，的卡片，乙中有三張標有數(shù)字，，的卡片，卡片除所標數(shù)字外無其他差別，現(xiàn)制定一個游戲規(guī)則：從甲中任取一張卡片，將其數(shù)字記為，從乙中任取一張卡片，將其數(shù)字記為．若，能使關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則甲獲勝；否則乙獲勝．則乙獲勝的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
3．（2020·全國初三課時練習）從1、2、3、4四個數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，分別記為、，則關于的一元二次方程有實數(shù)解的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·重慶八中初三一模）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子六個面上分別標有﹣5，﹣1，0，1，2，4這六個數(shù)，若將第一次擲出骰子正面朝上的數(shù)記為m，第二次擲出骰子正面朝上的數(shù)記為n，則點（m、n）恰好落在一次函數(shù)y＝2x﹣4與坐標軸圍成三角形區(qū)域內(nèi)（含邊界）的概率為_______．
5．（2021·重慶南開中學初三開學考試）現(xiàn)有五張正面分別標有數(shù)字，，，，的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機抽取一張，記下數(shù)字后放回，背面朝上洗均勻，再隨機抽取一張記下數(shù)字，前后兩次抽取的數(shù)字分別記為，．則點在第四象限的概率為______．
6．（2020·四川郫都·期末）有五張正面分別標有數(shù)﹣2，0，1，3，4的紙片做成無差別的紙團，洗勻后從中任取一個紙團，若展開后將紙片上的數(shù)記為a，則使關于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整數(shù)的概率為_____．
7．（2021·四川邛崍·初三二模）一個不透明的盒子里裝有3個分別寫有數(shù)字，0，1的小球，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)從盒子里隨機取出一個小球，將該小球上的數(shù)字記為．從剩余的小球中再取出一個，將第二個小球上的數(shù)字記為．則點落在二次函數(shù)與軸所圍成的區(qū)域（含邊界）概率是_______；

題型9 概率與統(tǒng)計綜合
【解題技巧】
1．（2020·山東肥城·初三三模）為提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，某學校開展了“數(shù)學素養(yǎng)”競賽活動.九年級名學生參加了競賽，結果所有學生成績都不低于分(滿分分)．為了了解成績分布情況，學校隨機抽取了部分學生的成績進行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計表，根據(jù)表中所給信息，解答下列問題：
成績(分)分組
頻數(shù)
頻率












表中___ _ _ ， _；這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在_____ _范圍內(nèi)；
若成績不小于分為優(yōu)秀，請估計九年級大約有多少名學生獲得優(yōu)秀成績？
競賽中有這樣一道題目： 如圖，有兩個轉(zhuǎn)盤在每個轉(zhuǎn)盤各自的兩個扇形區(qū)域中分別標有數(shù)字1，2，分別轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，若事件“指針都落在標有數(shù)字的扇形區(qū)域內(nèi)”概率是，則轉(zhuǎn)盤中標有數(shù)字的扇形的圓心角的度數(shù)是 ．






2．（2020·廣西環(huán)江·二模）某興趣小組設計了一份關于支付方式的調(diào)查問卷，要求每人從下列五種支付方式中選擇且只選一種支付方式．現(xiàn)將調(diào)查結果進行統(tǒng)計并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中所給的信息解答下列問題：

（1）這次活動共調(diào)查了　 　人；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）在一次購物中，王明和李亮都想從微信、支付寶、銀行卡三種支付方式中選一種方式進行支付，求兩人選出同種支付方式的概率．





3．（2020·四川丹棱·一模）為了了解某市中學生參加“科普知識”競賽成績的情況，隨機抽查了部分參賽學生的成績，整理并制作出如下的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，如圖所示，請根據(jù)圖表信息解答下列問題：
（1）在表中： ， ；
（2）補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）小明的成績是所有被抽查學生的中位數(shù)，據(jù)此推斷他的成績在 組；
（4）4個小組每組推薦1人，然后從4人中隨機抽取2人參加頒獎典禮，恰好抽中A、C兩組學生的概率是多少？并列表或畫樹狀圖說明．
組別
分數(shù)段（分）
頻數(shù)
頻率
A組

30
0.1
B組

90

C組


0.4
D組

60
0.2


4．（2020·西藏日喀則·一模）為慶祝建國70周年，我市某中學決定舉辦校園藝術節(jié)．學生從“書法”、“繪畫”、“聲樂”、“器樂”、“舞蹈”五個類別中選擇一類報名參加．為了了解報名情況，組委會在全校隨機抽取了若干名學生進行問卷調(diào)查，現(xiàn)將報名情況繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖．請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：（1）在這次調(diào)查中，共抽取 名學生； （2）補全條形統(tǒng)計圖； （3）扎西和卓瑪同學報名參加“器樂”類比賽，想從小提琴、單簧管、鋼琴、電子琴四種樂器中隨機選擇一種樂器，用列表法或畫樹狀圖法求他們選中同種樂器的概率

4．（2020·山東一模）為了豐富學生的業(yè)余文化生活，某校教務處準備在大課間期間開設興趣小組，預設科目為“舞蹈”“音樂”“電競”“動漫”為了準確配備教室與師資，負責人制作了“你最喜歡的科目”的調(diào)查問卷，在校園隨機調(diào)查后制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)信息解答下面問題：

（1）本次調(diào)查中，參與問卷調(diào)查的人數(shù)為　 ?。唬?）扇形統(tǒng)計圖中的m、n的值為　 　、　 　，補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校有學生2000人，請你估計報名“電競”的學生的人數(shù)為　 　；
（4）最先報名“動漫”課程的三名學生中有兩名男生一名女生，若隨機抽取兩名學生參與教室網(wǎng)線布設，求兩名學生恰為一男一女的概率．


5．（2020·廣東南山·三模）學生社團是指學生在自愿基礎上結成的各種群眾性文化、藝術、學術團體．不分年級、由興趣愛好相近的同學組成，在保證學生完成學習任務和不影響學校正常教學秩序的前提下開展各種活動．某校就學生對“籃球社團、動漫社團、文學社團和攝影社團”四個社團選擇意向進行了抽樣調(diào)查(每人選報一類)，繪制了如圖所示的兩幅統(tǒng)計圖(不完整)．

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：(1)求扇形統(tǒng)計圖中m的值，并補全條形統(tǒng)計圖；(2)在“動漫社團”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這五名同學中任選兩名參加“中學生原創(chuàng)動漫大賽”，恰好選中甲、乙兩位同學的概率為 ．(3)已知該校有1200名學生，請估計“文學社團”共有多少人?
6．（2020·河北裕華·石家莊外國語學校初三三模）目前，某校九年級同學對“新冠疫情下停課不停學”線上學習的家長進行問卷調(diào)查，隨機調(diào)查了若干名家長對線上學習的態(tài)度（態(tài)度分為：A．無所謂；B．基本贊成；C．反對；D．贊成）．并將調(diào)查結果繪制成頻數(shù)折線統(tǒng)計圖1和扇形統(tǒng)計圖2（不完整）．請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）此次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了多少名中學生家長；
（2）求出圖2中扇形C所對的圓心角度數(shù)，并將圖1補充完整；
（3）在此次調(diào)查活動中，初三（1）班有A1、A2兩位家長對線上學習，持基本贊成的態(tài)度，初三（2）班有B1、B2兩位學生家長對線上學習，也持基本贊成的態(tài)度，現(xiàn)從這4位家長中選2位家長參加學校組織的家校活動，用列表法或畫樹狀圖的方法求出選出的2人來自不同班級的概率．




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