?考點(diǎn)12. 圖形的相似
知識框架：


基礎(chǔ)知識點(diǎn)：
知識點(diǎn)1-1比例的相關(guān)概念及性質(zhì)
1．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．
2．比例中項(xiàng)：如果=，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項(xiàng)．
3．比例的性質(zhì)
性質(zhì)
內(nèi)容
性質(zhì)1
=?ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性質(zhì)2
如果=，那么．
性質(zhì)3
如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）．
4.黃金分割：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使，那么點(diǎn)C叫做線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做黃金比．
知識點(diǎn)1-2相似三角形的判定及性質(zhì)
1．定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．
2．性質(zhì)：1）相似三角形的對應(yīng)角相等；2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；
3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
3．判定：1）有兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：
1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；
2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；
3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；
4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；
5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例．
知識點(diǎn)1-3相似多邊形
1．定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．
2．性質(zhì)：1）相似多邊形的對應(yīng)邊成比例；2）相似多邊形的對應(yīng)角相等；3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．
知識點(diǎn)1-4位似圖形
1．定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性質(zhì)：1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．
4．畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應(yīng)點(diǎn)．


重難點(diǎn)題型
題型1比例線段及其性質(zhì)
【解題技巧】1．比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．
2．對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
3．判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．
1．（2020·貴州畢節(jié)市·中考真題）已知，則的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
2．（2020·甘肅金昌市·中考真題）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計人體雕像時，使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618，可以增加視覺美感，若圖中為2米，則約為（ ）
A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米

3．（2020·湖南婁底市·中考真題）若，則________．
4．（2020·湖南湘潭市·中考真題）若，則________．
5．（2020·四川瀘州市·中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
題型2平行線分線段成比例
【解題技巧】
1．（2020·江蘇南京市·）如圖，在和中，D、分別是AB、上一點(diǎn)，．

（1）當(dāng)時，求證： 證明的途徑可以用如框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭?

（2）當(dāng)時，判斷與是否相似，并說明理由



2．（2020·遼寧營口市·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥AB，且＝，則的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
3．（2020·四川成都市·中考真題）如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．
4．（2020·黑龍江哈爾濱市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D在BC上，連接AD，點(diǎn)E在AC上，過點(diǎn)E作，交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作，交BC于點(diǎn)G，則下列式子一定正確的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2020·吉林中考真題）如圖，．若，，則______．

6．（2020·山東臨沂市·中考真題）如圖，在中，D，E為邊的三等分點(diǎn)，，H為與的交點(diǎn)．若，則___________．



題型3相似多邊形
【解題技巧】1．如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形是相似多邊形．
2．相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比．
3．多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形．
4．相似多邊形的性質(zhì)為：①對應(yīng)角相等；②對應(yīng)邊的比相等．
1．（2021·福建莆田市·中考模擬）下列四組圖形中，一定相似的是( )
A．正方形與矩形 B．正方形與菱形 C．菱形與菱形 D．正五邊形與正五邊形
2．（2021·山西中考模擬）寬與長的比是（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF：以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)G；作GH⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（　?。?br />
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
3．（2019·甘肅慶陽市·中考真題）如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于( )．

A．平移變換 B．相似變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．對稱變換
4．（2021·海南中考模擬）如圖所示，在長為8cm，寬為6cm的矩形中，截去一個矩形（圖中陰影部分），如果剩下的矩形與原矩形相似，那么剩下矩形的面積是（ ）

A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
5．（2017·貴州六盤水市·中考模擬）矩形的兩邊長分別為a,b,下列數(shù)據(jù)能構(gòu)成黃金矩形的是（ ）
A．a(chǎn)=4,b=+2 B．a(chǎn)=4,b=-2 C．a(chǎn)=2,b=+1 D．a(chǎn)=2,b=-1
6．（2019·遼寧朝陽市·中考真題）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作，交x軸于點(diǎn)B，以AB為邊在AB的右側(cè)作正方形ABCA1，延長A1C交x軸于點(diǎn)B1，以A1B1為邊在A1B1的右側(cè)作正方形A1B1C1A2…按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，再將每個正方形分割成四個全等的直角三角形和一個小正方形，每個小正方形的每條邊都與其中的一條坐標(biāo)軸平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，中的陰影部分的面積分別為S1，S2，…，Sn，則Sn可表示為_____．

7．（2019·四川內(nèi)江市·中考真題）如圖，點(diǎn)在同一直線上，且，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，分別以為邊，在同側(cè)作三個正方形，得到三個平行四邊形（陰影部分）的面積分別記作，若，則_____．

8．（2021·山東棗莊市·中考模擬）如圖，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=________


題型4判定相似的條件
【解題技巧】
1．（2020·浙江紹興市·九年級其他模擬）如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍然無法判定的是（ ）

A． B． C． D．
2．（2020·山東德州市·九年級月考）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE與△ACB一定相似的是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．（2020·河北邢臺市·九年級期末）如圖，是的邊上的一點(diǎn)，下列條件不可能是的是（ ）

A． B． C． D．
4．（2020·湖南張家界市·九年級期中）如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，且與不平行．下列條件中，能判定與相似的是（　　）

A． B． C． D．
5．（2020·安徽亳州市·九年級二模）如圖，已知△ABC，D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中，不能確定△ADE∽△ACB的是（　?。?br />
A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180° C．AD?BC＝AC?DE D．AD?AB＝AE?AC
6．（2019·上海徐匯區(qū)·中考模擬）如圖，下列條件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）

A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD?AB

題型5 相似比的應(yīng)用
【解題技巧】
1．（2020·廣西中考真題）如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，則的長為（ ）

A． B． C． D．
2．（2020·湖南永州市·中考真題）如圖，在中，，四邊形的面積為21，則的面積是（ ）

A． B．25 C．35 D．63
3．（2020·四川內(nèi)江市·中考真題）如圖，在中，D、E分別是AB和AC的中點(diǎn)，，則（　 ?。?br />
A．30 B．25 C．22．5 D．20
4．（2020·甘肅蘭州市·中考真題）如圖，邊長為4的等邊中，D、E分別為AB，AC的中點(diǎn)，則的面積是　　

A． B． C． D．
5．（2020·吉林中考真題）如圖，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)．若的面積為．則四邊形的面積為_______．

6．（2020·山東東營市·中考真題）如圖，為平行四邊形邊上一點(diǎn)，分別為上的點(diǎn)，且的面積分別記為．若則____．

7．（2020·江蘇南通市·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．設(shè)△ABC的周長為C1，△DEF的周長為C2，則的值等于_____．

8．（2020·遼寧鞍山市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)F．若的面積為1，則四邊形的面積為________．


題型6相似三角形的實(shí)際應(yīng)用
1．（2020·湖北省直轄縣級行政單位·中考真題）在平行四邊形中，E為的中點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．

（1）如圖1，在上找出一點(diǎn)M，使點(diǎn)M是的中點(diǎn)；
（2）如圖2，在上找出一點(diǎn)N，使點(diǎn)N是的一個三等分點(diǎn)．


2．（2020·四川涼山彝族自治州·中考真題）如圖，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少mm．


3．（2020·上海中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一種測量井深的方法．如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E，如果測得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深A(yù)C為____米．

4．（2020·山西中考真題）泰勒斯是古希臘時期的思想家，科學(xué)家，哲學(xué)家，他最早提出了命題的證明．泰勒斯曾通過測量同一時刻標(biāo)桿的影長，標(biāo)桿的高度。金字塔的影長，推算出金字塔的高度。這種測量原理，就是我們所學(xué)的（ ）

A．圖形的平移 B．圖形的旋轉(zhuǎn) C．圖形的軸對稱 D．圖形的相似
5．（2020·甘肅天水市·中考真題）如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿測量建筑物的高度，已知標(biāo)桿高，測得，，則建筑物的高是(　　　)

A． B． C． D．
6．（2020·黑龍江大慶市·中考真題）已知兩個直角三角形的三邊長分別為3，4，和6，8，，且這兩個直角三角形不相似，則的值為（ ）
A．或 B．15 C． D．
7．（2020·廣西玉林市·中考真題）一個三角形支架三條邊長分別是75cm，100cm，120cm，現(xiàn)要再做一個與其相似的三角形木架，而只有長為60cm，120cm的兩根木條，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下兩段作為另兩邊（允許有余料），則不同的截法有（ ）
A．一種 B．兩種 C．三種 D．四種

題型7 位似圖形
【解題技巧】1．如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心．
2．位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k．
1．（2020·河北中考真題）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)為位似中心，四邊形的位似圖形是（ ）

A．四邊形 B．四邊形 C．四邊形 D．四邊形
2．（2020·重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫，使與成位似圖形，且相似比為2：1，則線段DF的長度為（ ）

A． B．2 C．4 D．
3．（2020·重慶中考真題）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．已知OA∶OD=1∶2，則△ABC與△DEF的面積比為（　　）

A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
4．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5，且三角板的一邊長為8cm．則投影三角板的對應(yīng)邊長為（　?。?br />
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
5．（2020·浙江嘉興市·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C坐標(biāo)（　?。?br />
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
6．（2020·遼寧盤錦市·中考真題）如圖，三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以點(diǎn)為位似中心，相似比為，將縮小，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是____________．

7．（2020·遼寧朝陽市·中考真題）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，請按如下要求畫圖：

（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，請畫出；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，在x軸下方，畫出的位似圖形，使它與的位似比為．
8．（2020·遼寧丹東市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，先以原點(diǎn)為位似中心在第三象限內(nèi)畫一個，使它與位似，且相似比為2：1，然后再把繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到．（1）畫出，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出，直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長．


題型8相似三角形性質(zhì)與判定綜合
【解題技巧】1．相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．
2．相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．
1．（2020·貴州銅仁市·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AF＝，過點(diǎn)F作AD的平行線交BA的延長線于點(diǎn)H，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC、EG、EF．下列結(jié)論：①△ECF的面積為；②△AEG的周長為8；③EG2＝DG2+BE2；其中正確的是（　?。?br />
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
2．（2020·浙江溫州市·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，過點(diǎn)C作CR⊥FG于點(diǎn)R，再過點(diǎn)C作PQ⊥CR分別交邊DE，BH于點(diǎn)P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，則CR的長為（ ）

A．14 B．15 C． D．
3．（2020·湖北孝感市·中考真題）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則的長為（ ）

A． B． C．4 D．
4．（2020·四川眉山市·中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，以為對角線作正方形，邊與正方形的對角線相交于點(diǎn)，連接．以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（ 　 ）

A．個 B．個 C．個 D．個
5．（2020·柳州市柳林中學(xué)中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AD上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰好落在線段BF上的H處，有下列結(jié)論：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正確的是_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號）

6．（2020·山西中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長為_______．

7．（2020·上海中考真題）已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長線交DA的延長線于點(diǎn)G，CF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)H．
（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB?AE，求證：AG=DF．





8．（2020·貴州遵義市·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，C不重合），連接DE，作EF⊥DE交射線BA于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作MN∥BC分別交CD，AB于點(diǎn)M、N，作射線DF交射線CA于點(diǎn)G．（1）求證：EF＝DE；（2）當(dāng)AF＝2時，求GE的長．






題型9相似三角形的基本模型
1）A字型
【方法點(diǎn)撥】基本模型：

A字型（平行） 反A字型（不平行）
1．（2020·江蘇寶應(yīng)·）如圖，在中，點(diǎn)分別在上，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，求證：．



2．（2020·上海浦東新·初三三模）如圖，在中，，，，平分，交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交邊于點(diǎn)．（1）求線段的長；（2）取線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，交線段于點(diǎn)，延長線段交邊于點(diǎn)，求的值．



3．（2020·遼寧大連市·中考真題）如圖，中，，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊以的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)D作，交邊（或）于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動時間為，的面積為．

（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時，求t的值；（2）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．






4．（2020·浙江杭州市·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC．（2）設(shè)，①若BC＝12，求線段BE的長；②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．







2）X字型
【方法點(diǎn)撥】基本模型：

X字型（平行） 反X字型（不平行）
1．（2020·遼寧大連市·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在邊上，與相交于點(diǎn)F．設(shè)，，當(dāng)時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為_____．

2．（2020·四川宜賓市·中考真題）在直角三角形ABC中，是AB的中點(diǎn)，BE平分交AC于點(diǎn)E連接CD交BE于點(diǎn)O，若，則OE的長是________．
3．（2020·海南中考真題）四邊形是邊長為的正方形，是的中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，連結(jié)，交于點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時，求證：；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，求的長；

（3）在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，當(dāng)線段為何值時，？請說明理由．







4．（2020·四川攀枝花市·中考真題）三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個點(diǎn)叫三角形的重心．如圖是的重心．求證：．








3）AX型
【方法點(diǎn)撥】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
1．（2021·鄉(xiāng)寧縣棗嶺鄉(xiāng)譚坪中學(xué)初三期中）如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，動點(diǎn)在射線上，交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)時，_____．

2．（2020·四川遂寧市·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
3．（2021·全國初三專題練習(xí)）已知如圖，在梯形中，，、的延長線相交于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．那么線段與是否相等？請說明理由．




4．（2020·湖南湘潭市·中考真題）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個交點(diǎn)稱為三角形的重心．

（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊的重心為點(diǎn)，求與的面積．
（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知的重心為點(diǎn)，請判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個定值：如果不是，請說明理由．
（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交對角線于點(diǎn)．
①若正方形的邊長為4，求的長度；
②若，求正方形的面積．






4）母子型

【方法點(diǎn)撥】
圖1垂直母子型條件：，圖1結(jié)論：；
圖2斜交母子字型條件：，圖2結(jié)論：；
1.（2021?越城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　?。?br />
A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．2：13．
2．（2021·浙江紹興市·九年級期末）如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個相似三角形互為母子三角形．（1）如果與互為母子三角形，則的值可能為（ ）
A．2 B． C．2或
（2）已知：如圖1，中，是的角平分線，．
求證：與互為母子三角形．
（3）如圖2，中，是中線，過射線上點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，連結(jié)，射線與射線交于點(diǎn)，若與互為母子三角形．求的值．









3．（2021·湖南益陽市·九年級期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．





4.（2021·全國初三課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD=∠B,（1）求證：AC?CD=CP?BP；（2）若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時，求BP的長．










5）旋轉(zhuǎn)型（手拉手）
【方法點(diǎn)撥】基本模型：

旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對相似三角形.
1．（2020·遼寧沈陽市·中考真題）在中，，點(diǎn)為線段延長線上一動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接．
（1）如圖，當(dāng)時，①求證：；②求的度數(shù)：
（2）如圖2，當(dāng)時，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系為__________；
（3）當(dāng)時，若時，請直接寫出點(diǎn)到的距離為__________．







2．（2020·廣西中考真題）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E．（1）求證：A，B，C，D四個點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個圓上；（2）求證：CD平分∠ACB；（3）過點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，求證：BO2+OF2＝EF?BF．






3．（2020·山東濟(jì)南市·中考真題）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF．
（1）當(dāng)∠CAB＝45°時．①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時，請直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是　 　．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是　 ?。?br /> ②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；
學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：
思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識來解決問題；
思路二：取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識來解快問題．
（2）當(dāng)∠CAB＝30°時，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．



4．（2020·山東中區(qū)·初三二模）在中，，將繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)角至的位置．（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時，連接與交于點(diǎn)，則 ．（2）如圖2，在（1）條件下，連接，延長交于點(diǎn)，求的長．



5．（2020·洛陽市第二外國語學(xué)校二模）已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E為線段AD上一動點(diǎn)，把線段CE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)2α°得到線段EF，連接FG，F(xiàn)D．
（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝60°時，請直接寫出的值；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出正確的結(jié)論，并說明理由；


6）K字型（一線三等角）
【方法點(diǎn)撥】基本模型：

如圖1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一線三等角）
如圖2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一線三等角）
如圖3，特別地，當(dāng)D時BC中點(diǎn)時：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠EFC.
1．（2020·河北中考真題）如圖1和圖2，在中，，，．點(diǎn)在邊上，點(diǎn)，分別在，上，且．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線勻速移動，到達(dá)點(diǎn)時停止；而點(diǎn)在邊上隨移動，且始終保持．（1）當(dāng)點(diǎn)在上時，求點(diǎn)與點(diǎn)的最短距離；（2）若點(diǎn)在上，且將的面積分成上下4：5兩部分時，求的長；（3）設(shè)點(diǎn)移動的路程為，當(dāng)及時，分別求點(diǎn)到直線的距離（用含的式子表示）；（4）在點(diǎn)處設(shè)計并安裝一掃描器，按定角掃描區(qū)域（含邊界），掃描器隨點(diǎn)從到再到共用時36秒．若，請直接寫出點(diǎn)被掃描到的總時長．






2．（2020·江蘇蘇州市·中考真題）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，，垂足為．

（1）求證：；（2）若，，求的長．




3．（2020·湖南長沙市·中考真題）在矩形ABCD中，E為上的一點(diǎn)，把沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．（1）求證：（2）若，求EC的長；
（3）若，記，求的值．






4．（2020·四川雅安市·中考真題）如圖，已知邊長為10的正方形是邊上一動點(diǎn)（與不重合），連結(jié)是延長線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的角平分線于點(diǎn)，若．（1）求證：；（2）若，求的面積；
（3）請直接寫出為何值時，的面積最大．


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