4.3.3　對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)第1課時　對數(shù)函數(shù)的概念學 習 任 務核 心 素 養(yǎng)1．理解對數(shù)函數(shù)的概念，知道對數(shù)函數(shù)模型是一類重要的函數(shù)模型．(重點)2．會求簡單的對數(shù)型函數(shù)的定義域．(重點)1．通過具體實例形成對數(shù)函數(shù)的概念，提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．2．通過實例體會對數(shù)函數(shù)的應用，提升應用意識和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).我們已經(jīng)知道，假設有機體生存時碳14的含量為1，那么有機體死亡x年后體內(nèi)碳14的含量y滿足y＝，也就是說，y是x的函數(shù)．在得到古生物的樣品時，考古學家能夠測量出其中的碳14含量y，你認為考古學家們能利用這個值推斷出古生物的死亡時間x嗎？給定一個y值，有多少個x值與之對應？這里的x能看成y的函數(shù)嗎？為什么？知識點　對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝logax(x>0，a>0且a≠1)叫作對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量．函數(shù)y＝2log3x，y＝log3(2x)是對數(shù)函數(shù)嗎？[提示]　不是，其不符合對數(shù)函數(shù)的形式．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.  (　　)(2)y＝log2x2是對數(shù)函數(shù)．  (　　)(3)若函數(shù)y＝logax為對數(shù)函數(shù)，則a>0且a≠1． (　　)(4)函數(shù)y＝loga(x－1)的定義域為(0，＋∞)． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 類型1　對數(shù)函數(shù)的概念及應用【例1】　(1)下列給出的函數(shù)：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log x；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logx.其中是對數(shù)函數(shù)的為(　　)A．③④⑤　　　　 B．②④⑥C．①③⑤⑥ D．③⑥(2)若函數(shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數(shù)函數(shù)，則a＝________.(3)已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點(16,4)，則f ＝_______________.(1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由對數(shù)函數(shù)定義知，③⑥是對數(shù)函數(shù)，故選D．(2)因為函數(shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數(shù)函數(shù)，所以解得a＝4.(3)設對數(shù)函數(shù)為f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f ＝log2＝－1．]判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法1．若函數(shù)f(x)＝(a2＋a－5)logax是對數(shù)函數(shù)，則a＝________.2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2.] 類型2　對數(shù)函數(shù)的定義域【例2】　(對接教材P119例題)求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝＋ln(x＋1)；(2)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．[解]　(1)函數(shù)式若有意義，需滿足即解得－1<x<2，故函數(shù)的定義域為(－1,2)．(2)由題意得解得故函數(shù)y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定義域為.求對數(shù)型函數(shù)的定義域時應遵循的原則(1)分母不能為0.(2)根指數(shù)為偶數(shù)時，被開方數(shù)非負．(3)對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1．提醒：定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對數(shù)函數(shù)有關的定義域問題時，要注意對數(shù)函數(shù)的概念，若自變量在真數(shù)上，則必須保證真數(shù)大于0；若自變量在底數(shù)上，應保證底數(shù)大于0且不等于1．2．求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝log3x2；(2)y＝loga(4－x)(a>0，且a≠1)；(3)y＝；(4)y＝log7.[解]　(1)∵x2>0，即x≠0.∴函數(shù)y＝log3x2的定義域為{x|x≠0}．(2)∵4－x>0，即x<4.∴函數(shù)y＝loga(4－x)的定義域為{x|x<4}．(3)∵x＞0，且lg x≠0.∴x＞0且x≠1．∴函數(shù)y＝的定義域為{x|x＞0且x≠1}．(4)∵>0，∴1－3x>0，即x<.∴函數(shù)y＝log7的定義域為. 類型3　對數(shù)函數(shù)模型的應用【例3】　已知某種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減，現(xiàn)給某病人靜脈注射了該藥物1個單位，設經(jīng)過y個小時后，藥物在病人血液中的量為x個單位．求y與x的關系式．結合題設信息思考如何從增長率角度分析變量x與y間存在的關系？[解]　由題意可知(1－20%)y＝x,0<x≤1．即y＝log0.8x，0<x≤1．y與x的關系式為y＝log0.8x，0<x≤1．利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)解決應用問題(1)列出指數(shù)關系式x＝ay，并根據(jù)實際問題確定變量的范圍．(2)利用指對互化轉化為對數(shù)函數(shù)y＝logax.(3)代入自變量的值后，利用對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式計算．3．人們早就發(fā)現(xiàn)了放射性物質(zhì)的衰減現(xiàn)象．在考古工作中，常用14C的含量來確定有機物的年代．已知放射性物質(zhì)的衰減服從指數(shù)規(guī)律：C(t)＝C0e－rt，其中t表示衰減的時間，C0表示放射性物質(zhì)的原始質(zhì)量，C(t)表示經(jīng)衰減了t年后剩余的質(zhì)量．為計算衰減的年代，通常給出該物質(zhì)質(zhì)量衰減一半的時間，稱其為該物質(zhì)的半衰期.14C的半衰期大約是5 730年．人們又知道，放射性物質(zhì)的衰減速度與其質(zhì)量成正比．1950年，在伊拉克發(fā)現(xiàn)一根古巴比倫王國時期刻有漢謨拉比王朝字樣的木炭，當時測定，其14C的衰減速度為4.09個/(g·min)，而新砍伐樹木燒成的木炭中14C的衰減速度為6.68個/(g·min)．請估算出漢謨拉比王朝所在年代．[解]　因為14C的半衰期大約是5 730年，所以由衰減規(guī)律，得＝e－5 730r.解得r＝.因此14C的衰減規(guī)律服從指數(shù)型函數(shù)C(t)＝C0e＝C0·2.設發(fā)現(xiàn)漢謨拉比王朝字樣的木炭時(1950年)，該木炭已衰減了t0年．因為放射性物質(zhì)的衰減速度與其質(zhì)量成正比，所以＝，于是2＝.兩邊取以2為底的對數(shù)，得－＝log2.解得t0＝5 730log2≈5 730×0.707 7≈4 055.所以該木炭已衰減了約4 055年，即漢謨拉比王朝大約存在于公元前2100年．1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是(　　)A．y＝log2x　　　 B．y＝ln(x＋1)C．y＝logxe D．y＝logxx[答案]　A2．如果函數(shù)f(x)＝logax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點(4,2)，那么a的值為(　　)A． B．C．2 D．4C　[由f(4)＝loga4＝2得a2＝4，∴a＝±2，又a>0且a≠1，∴a＝2，故選C．]3．函數(shù)f(x)＝的定義域是(　　)A．[4，＋∞)B．(10，＋∞)C．(4,10)∪(10，＋∞)D．[4,10)∪(10，＋∞)D　[由得∴x≥4且x≠10，故選D．]4．若函數(shù)f(x)＝(a－1)log(a＋1)x是對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a＝________.2　[∵f(x)是對數(shù)函數(shù)，∴a－1＝1，∴a＝2，經(jīng)檢驗a＋1＝3>0，且a＋1≠1，故a＝2.]5．某公司為了業(yè)務發(fā)展制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額為x萬元時，獎勵y萬元．若公司擬定的獎勵方案為y＝2log4x－2，某業(yè)務員要得到5萬元獎勵，則他的銷售額應為________萬元．128　[由題意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128.]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1．如何判斷一個函數(shù)是否是對數(shù)函數(shù)？[提示]　判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：(1)系數(shù)為1．(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.2．解決對數(shù)函數(shù)定義域問題應從哪些方面考慮？[提示]　除了要特別注意真數(shù)和底外，還要遵循前面學習過的求函數(shù)定義域的方法，比如函數(shù)解析式為分式、根式等情形．

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4.3 對數(shù)函數(shù)

版本： 湘教版（2019）

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