4.3.2　對數(shù)的運算法則學 習 任 務核 心 素 養(yǎng)1．理解對數(shù)的運算法則．(重點)2．能用換底公式將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)．(難點)3．會運用運算法則進行一些簡單的化簡與證明．(易混點)1．借助對數(shù)的運算法則化簡、求值，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)．2．通過學習換底公式，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).(1)計算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎樣的運算關系嗎？(2)計算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？知識點1　對數(shù)的運算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(3)loga＝logaM－logaN.當M>0，N>0時，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？[提示]　不一定．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)log2x2＝2log2x.  (　　)(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2.計算log84＋log82等于(　　)A．log86 B．8C．6 D．1D　[log84＋log82＝log88＝1．]3.計算log510－log52等于(　　)A．log58 B．lg 5C．1 D．2C　[log510－log52＝log55＝1．]知識點2　常用對數(shù)與自然對數(shù)4.(1)lg 100＝________，(2)ln ＝________.(1)2　(2)－1　[(1)lg 100＝lg 102＝2；(2)ln ＝ln e－1＝－1．]知識點3　對數(shù)的換底公式若b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0，則有logbN＝.幾個常用推論：(1)loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；(2)logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；(3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．5.(多選題)下列等式正確的有(　　)A．log34＝ B．log34＝C．log34＝ D．log34＝[答案]　ABC 類型1　對數(shù)的運算法則的應用【例1】　計算下列各式的值：(1)lg －lg ＋lg ；(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3).[解]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝＝＝＝.1．利用對數(shù)運算法則求值的解題關鍵是化異為同，先使各項底數(shù)相同，再找真數(shù)間的聯(lián)系．2．對于復雜的運算式，可先化簡再計算．化簡問題的常用方法：(1)“拆”：將積(商)的對數(shù)拆成兩對數(shù)之和(差)；(2)“收”：將同底對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)．1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg 2·lg 50；(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.[解]　(1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1．(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3. 類型2　對數(shù)的換底公式【例2】　(1)計算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)；(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．[解]　(1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.(2)∵18b＝5，∴b＝log185.又log189＝a，∴log3645＝＝＝＝.(變結論)在本例(2)的條件下，求log915(用a，b表示)．[解]　∵log189＝a，∴log183＝.又log185＝b，∴log915＝＝＝＝.利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧2．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解]　(1)原式＝··＝＝＝4.(2)原式＝＝＝·＝. 類型3　對數(shù)的運算法則的綜合應用【例3】　(1)若3x＝4y＝36，求＋的值；(2)已知3x＝4y＝6z，求證：＋＝.以指數(shù)式與對數(shù)式間的內(nèi)在聯(lián)系為切入點，思考如何求解相應問題.[解]　(1)∵3x＝4y＝36，∴x＝log336，y＝log436.∴＝＝＝2log363＝log369，＝＝＝log364.∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1．(2)證明：設3x＝4y＝6z＝m(m>0)，則x＝log3m，y＝log4m，z＝log6m.所以＝＝logm3，＝＝logm4，＝＝logm6.故＋＝logm3＋logm4＝logm3＋logm4＝logm3＋logm2＝logm(3×2)＝logm6＝.條件求值問題的求解方法帶有附加條件的代數(shù)式求值問題，需要對已知條件和所求式子進行化簡轉化，原則上是化為同底的對數(shù)，以便 利用對數(shù)的運算法則．要整體把握對數(shù)式的結構特征，靈活運用指數(shù)式與對數(shù)式互化進行解題．3．已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．[解]　∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴＝logc3，＝logc5，∴＋＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝.1.2log510＋log50.25＝(　　)A．0　 B．1　　　　C．2　　　　 D．4C　[∵2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.∴選C．]2．計算log92·log43＝(　　)A．4 B．2C． D．D　[log92·log43＝·＝·＝.]3．設10a＝2，lg 3＝b，則log26＝(　　)A． B．C．ab D．a＋bB　[∵10a＝2，∴lg 2＝a，∴log26＝＝＝.]4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N＋，則下列各式：(1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn；(3)logax＝－loga；(4)＝logax；(5)＝loga.其中正確的有________．(填序號)(3)(5)　[根據(jù)對數(shù)的運算法則logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)與(5)正確．]5．已知2a＝5b＝10，則＋＝________.1　[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝log102＝lg 2，＝lg 5，∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1．對數(shù)的運算法則有哪些？[提示]　(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM.其中(a>0且a≠1，M>0，N>0)2．你能用對數(shù)的換底公式證明logNnMm＝logNM嗎？[提示]　能．logNnMm＝＝＝logNM.3．常見的換底公式變形有哪些？[提示]　(1)logab＝＝＝(其中a>0，b>0，c>0且a≠1，c≠1)．(2)logab·logba＝1(其中a>0且a≠1，b>0且b≠1)．

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高中數(shù)學湘教版（2019）必修 第一冊電子課本

4.3 對數(shù)函數(shù)

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第一冊

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