3.2.2　函數(shù)的奇偶性新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義數(shù)學(xué)抽象2.了解奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，掌握函數(shù)奇偶性的簡(jiǎn)單應(yīng)用直觀想象、邏輯推理 第一課時(shí)　奇偶性的概念生活因?qū)ΨQ(chēng)而美麗，下面的圖形一定會(huì)給你美的感受吧．數(shù)學(xué)上也有一些函數(shù)的圖象有著類(lèi)似美妙的對(duì)稱(chēng)性，如二次函數(shù)y＝x2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，反比例函數(shù)y＝的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．[問(wèn)題]　我們知道函數(shù)的圖象能夠反映函數(shù)的性質(zhì)，那么函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性反映了函數(shù)的什么性質(zhì)呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識(shí)點(diǎn)　函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù)奇函數(shù)前提如果對(duì)一切使F(x)有定義的x，F(－x)也有定義條件F(－x)＝F(x)F(－x)＝－F(x)定義域特征關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)圖象特征關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 對(duì)函數(shù)奇偶性的再理解(1)定義域具有對(duì)稱(chēng)性，即?x∈I，－x∈I.定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，f(x)是非奇非偶函數(shù)；(2)當(dāng)F(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，要看F(x)與F(－x)的關(guān)系．特別地，若F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)?F(x)是非奇非偶函數(shù)；若F(－x)＝F(x)且F(－x)＝－F(x)?F(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．　　　　 1．判斷正誤．(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)．(　　)(2)若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)＋f(－x)＝0，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．(　　)(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)是奇函數(shù)．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是________(填序號(hào))．①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0，1]．答案：②3．若函數(shù)y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函數(shù)，則a＝________．答案：14．若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(3)＝2，則f(－3)＝________，f(0)＝________．解析：因?yàn)?/span>f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.答案：－2　0判斷函數(shù)的奇偶性[例1]　(鏈接教科書(shū)第83頁(yè)例4)判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝[解]　(1)f(x)的定義域?yàn)?/span>[－1，0)∪(0，1]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(2)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>{－1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(3)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>{x|x≠1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．(4)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．綜上可知，對(duì)于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數(shù)．判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法(1)定義法(2)圖象法[注意]　對(duì)于分段函數(shù)奇偶性的判斷，應(yīng)分段討論，要注意根據(jù)x的范圍取相應(yīng)的函數(shù)解析式．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．下列四個(gè)函數(shù)中為偶函數(shù)的是(　　)A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝C．y＝x2－2x  D．y＝|x|解析：選D　由題易知A為奇函數(shù)；B中，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>{x|x≠1}，故y＝為非奇非偶函數(shù)；C中，f(－x)≠－f(x)，f(x)≠f(－x)，故y＝x2－2x為非奇非偶函數(shù)；D中，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，故y＝|x|為偶函數(shù)．2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝解：(1)∵x∈R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(2)因函數(shù)f(x)＝畫(huà)出圖象如圖所示，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此函數(shù)f(x)是奇函數(shù).奇偶函數(shù)的圖象問(wèn)題[例2]　(鏈接教科書(shū)第84頁(yè)習(xí)題5題)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸及其左側(cè)的圖象，如圖所示．(1)請(qǐng)補(bǔ)出完整函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)y＝f(x)的遞增區(qū)間．[解]　(1)由題意完整函數(shù)圖象如圖：(2)據(jù)圖可知，單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，0)，(1，＋∞)．1．巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟(1)確定函數(shù)的奇偶性；(2)作出函數(shù)在[0，＋∞)(或(－∞，0])上的圖象；(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱(chēng)作出函數(shù)在(－∞，0](或[0，＋∞))上的圖象．2．奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用類(lèi)型及處理策略(1)應(yīng)用類(lèi)型：利用奇偶函數(shù)的圖象可以解決求值、比較大小及解不等式等問(wèn)題；(2)處理策略：利用函數(shù)的奇偶性作出相應(yīng)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象直接觀察求解．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>[－5，5]，且在區(qū)間[0，5]上的圖象如圖所示．(1)畫(huà)出在區(qū)間[－5，0]上的圖象；(2)寫(xiě)出使f(x)<0的x的取值范圍．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5，5]上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．由y＝f(x)在[0，5]上的圖象，可知它在[－5，0]上的圖象，如圖所示．(2)由圖象知，使f(x)<0的x的取值范圍為(－2，0)∪(2，5).利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)[例3]　(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)?/span>[a－1，2a]，則a＝________，b＝________；(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________．　[解析]　(1)因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋b＋1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得b＝0.(2)由奇函數(shù)定義有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.[答案]　(1)　0　(2)0利用奇偶性求參數(shù)的常見(jiàn)類(lèi)型(1)定義域含參數(shù)：奇偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>[a，b]，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，利用a＋b＝0求參數(shù)；(2)解析式含參數(shù)：根據(jù)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．若函數(shù)f(x)＝2x2－|3x＋a|為偶函數(shù)，則a＝(　　)A．1  B．2C．3  D．0解析：選D　∵f(x)＝2x2－|3x＋a|為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)對(duì)于任意x∈R都成立．∴f(－1)＝f(1)，即2－|a－3|＝2－|a＋3|，解得a＝0.故選D.2．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則a＝________.解析：因?yàn)?/span>f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.答案：11．下列函數(shù)不具備奇偶性的是(　　)A．y＝－x  B．y＝－C．y＝  D．y＝x2＋2解析：選C　y＝－x與y＝－都是奇函數(shù)，y＝x2＋2是偶函數(shù)，y＝的定義域?yàn)?/span>{x∈R|x≠－1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故y＝既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故選C.2.(2021·淮安一中月考)如圖，給出奇函數(shù)y＝f(x)的部分圖象，則f(－2)＋f(－1)的值為(　　)A．－2  B．2C．1  D．0解析：選A　f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.3．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R.又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．(2)函數(shù)f(x)的定義域是R.因?yàn)?/span>f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)．

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊(cè)電子課本

3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)

版本： 湘教版（2019）

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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