4．1　實(shí)數(shù)指數(shù)冪和冪函數(shù)4．1.1　有理數(shù)指數(shù)冪 新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)理解n次方根、n次根式的概念，能正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算 公元前五世紀(jì)，古希臘有一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派名叫畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，其學(xué)派中的一名成員希帕索斯考慮了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)來(lái)表示，希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)的誕生．[問(wèn)題]　若x2＝3，這樣的x有幾個(gè)？它們叫做3的什么？怎樣表示？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識(shí)點(diǎn)一　根式1．n次方根 定義若一個(gè)(實(shí))數(shù)x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，則稱(chēng)x是的n次方根性質(zhì)n為奇數(shù)a的n次方根記作 ．(1)當(dāng)a>0時(shí)，0；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，＝0；(3)當(dāng)a<0時(shí)，0n為偶數(shù)正數(shù)a的n次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的n次方根叫作算術(shù)根，記作.當(dāng)a>0時(shí)，x＝±規(guī)定 ＝0；負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根 2．根式(1)定義：式子叫作根式(n∈N，n≥2)，其中n叫作根指數(shù)，a叫作被開(kāi)方數(shù)；(2)性質(zhì)：(n>1，且n∈N＋)①()n＝；②＝注意與()n的區(qū)別(1)是實(shí)數(shù)an的n次方根，是一個(gè)恒有意義的式子，不受n的奇偶限制，但這個(gè)式子的值受n的奇偶限制．其算法是對(duì)a先乘方，再開(kāi)方(都是n次)，結(jié)果不一定等于a，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|＝(2)()n是實(shí)數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實(shí)數(shù)a的取值由n的奇偶決定．其算法是對(duì)a先開(kāi)方，后乘方(都是n次)，結(jié)果恒等于a.　　　　 正數(shù)a的n次方根一定有兩個(gè)嗎？提示：不一定．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根只有一個(gè)且仍為正數(shù)．1．判斷正誤．(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1) ＝3－π.(　　)(2)81的4次方根是±3.(　　)答案：(1)×　(2)√2．(多選)若xn＝a(x≠0)，則下列說(shuō)法中正確的有(　　)A．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x的n次方根為aB．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a的n次方根為xC．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x的n次方根為±aD．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a的n次方根為±x答案：BD3．若有意義，則x的取值范圍是________；若有意義，則x的取值范圍是________．答案：　R知識(shí)點(diǎn)二　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝a(a>0，m，n∈N且n≥2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝＝a－(a>0，m，n∈N且n≥2)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義 2．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；(2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；(3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．1．為什么分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的底數(shù)規(guī)定a>0?提示：①當(dāng)a<0時(shí)，若n為偶數(shù)，m為奇數(shù)，則a，a無(wú)意義；若n為奇數(shù)，則a，a－有意義．②當(dāng)a＝0時(shí)，a0無(wú)意義．2．同底數(shù)冪相除ar÷as，同次的指數(shù)相除分別等于什么？提示：①ar÷as＝ar－s；②＝.判斷正誤．(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)＝x(x>0)．(　　)(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a可以理解為個(gè)a相乘．(　　)(3)0的任何指數(shù)冪都等于0.(　　)(4)化簡(jiǎn)式子[(－)2]－的結(jié)果是.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×根式的概念[例1]　(1)16的平方根為________，－27的5次方根為________；(2)已知x7＝6，則x＝________．[解析]　(1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根為±4.－27的5次方根為.(2)∵x7＝6，∴x＝.[答案]　(1)±4　　(2)判斷關(guān)于n次方根的結(jié)論應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)(1)n的奇偶性決定了n次方根的個(gè)數(shù)；(2)n為奇數(shù)時(shí)，a的正負(fù)決定著n次方根的符號(hào)．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．(多選)下列說(shuō)法正確的是(　　)A．16的4次方根是2B.的運(yùn)算結(jié)果是±2C．當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意a∈R都有意義D．當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，只有當(dāng)a≥0時(shí)才有意義解析：選CD　16的4次方根應(yīng)是±2；＝2，所以正確的應(yīng)為C、D.2．已知m10＝2，則m等于(　　)A.　　　　　　　　　 B．－C.  D．±解析：選D　∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶數(shù)，∴2的10次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)．∴m＝±.   利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)與求值　　[例2]　(鏈接教科書(shū)第94頁(yè)例1)化簡(jiǎn)與求值：(1) ；(2) (3) ；(4) ＋.[解]　(1) ＝－5.(2) ＝＝＝3.(3)∵a≤，∴1－2a≥0，∴＝＝＝.(4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.當(dāng)x≥y時(shí)，原式＝x－y＋y－x＝0；當(dāng)x<y時(shí)，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．∴ ＋＝根式化簡(jiǎn)的思想和注意點(diǎn)(1)根式的化簡(jiǎn)思想是將根式有理化，利用根式的性質(zhì)和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，將所求代數(shù)式恰當(dāng)?shù)刈冃?/span>，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的；(2)化簡(jiǎn)根式時(shí)需注意：在根式計(jì)算中，含有(n為正偶數(shù))的形式中要求a≥0，而中a可以是任何實(shí)數(shù)．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]計(jì)算 ＋4＝________．解析：原式＝－3＋4×|(－2)3|＝－3＋32＝29.答案：29根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化[例3]　(鏈接教科書(shū)第95頁(yè)例3)用根式或分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：a，a(a>0)，，(a>0), (a>0)．[解]　a＝；a(a>0)＝；＝a＝a2；(a>0)＝＝a； (a>0)＝ ＝ ＝a.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù) 分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開(kāi)方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子；(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題． [跟蹤訓(xùn)練]1．(多選)下列結(jié)論中正確的有(　　)A．(－2)＝(－2)B．[(－2)×(－3)]＝(－2)(－3)C．當(dāng)a>0時(shí)，(ar)s＝(as)rD.＝()解析：選CD　對(duì)于A選項(xiàng)，(－2)>0，而(－2)無(wú)意義，錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，左側(cè)＝，右側(cè)無(wú)意義，錯(cuò)誤．C、D均正確．2．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(式中字母都是正數(shù))：(1)；(2)a3·；(3) .解：(1)＝＝a.(2)a3·＝a3·a＝a＝a.(3) ＝＝b·＝b·(－a－2)＝－ba.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算[例4]　(鏈接教科書(shū)第95頁(yè)例4)計(jì)算下列各式：(1)＋(0.002) －10(－2)－1＋(－)0；(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)．[解]　(1)原式＝(－1)×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－·a－3－(－4)·b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.指數(shù)冪運(yùn)算的解題通法(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算；(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)；(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)；(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，并盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答；(5)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)冪，形式力求統(tǒng)一．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]計(jì)算下列各式(式子中字母都是正數(shù))：(1)0.027＋－；(2)÷.解：(1)0.027＋－＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a.1．若xy≠0，則使＝－2xy成立的條件可能是(　　)A．x＞0，y＞0  B．x＞0，y＜0C．x≥0，y≥0  D．x＜0，y＜0解析：選B　∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.又∵xy≠0，∴xy＜0，故選B.2．(多選)下列運(yùn)算結(jié)果中，一定正確的是(　　)A．a3·a4＝a7  B．(－a2)3＝a6C.＝a  D．＝－π解析：選AD　a3a4＝a3＋4＝a7，故A正確；當(dāng)a＝1時(shí)，(－12)3＝－1，顯然不成立，故B不正確；＝|a|，故C不正確； ＝－π，故D正確．故選A、D.3．若2<a<3，則 ＋ 的化簡(jiǎn)結(jié)果是(　　)A．5－2a  B．2a－5C．1  D．－1解析：選C　原式＝|2－a|＋|3－a|，∵2<a<3，∴原式＝a－2＋3－a＝1.4．用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)：(1)x＝________；(2)x＝________；(3)xy＝________．答案：(1)　(2)　(3)5．計(jì)算：(0.008 1)－×－10×(0.027)＝________．解析：原式＝－3×－3＝－.答案：－

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊(cè)電子課本

4.1 實(shí)數(shù)指數(shù)冪和冪函數(shù)

版本： 湘教版（2019）

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