重難點(diǎn)23光的折射計(jì)算   1．半徑為R的半圓柱形玻璃介質(zhì)截面如圖所示，O為圓心，AB為直徑，Q是半圓上的一點(diǎn)，QO垂直于AB。一束單色光從Q點(diǎn)射入介質(zhì)，入射角為45°。已知此單色光在玻璃中的折射率n=，光在空氣中的速度為c，求該光在玻璃中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（不考慮光在界面處的反射）。【答案】【詳解】光路如圖所示，設(shè)折射角為，光在玻璃中的傳播速度為v，由折射定律可得光在玻璃中的路程為該光在玻璃中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間聯(lián)立代入數(shù)據(jù)可解得。2．直角棱鏡的折射率，其橫截面如圖所示，圖中∠B=90°，∠A=30°。截面內(nèi)一細(xì)光束從棱鏡BC邊上的D點(diǎn)射入，入射角θ=45°，經(jīng)折射后射到AB邊上。①光線(xiàn)在AB邊上是否會(huì)發(fā)生全反射？說(shuō)明理由；②不考慮多次反射，求從AC邊射出的光線(xiàn)與最初的入射光線(xiàn)夾角。【答案】①能發(fā)生全反射，理由見(jiàn)解析；②60°【詳解】①由折射定律sinθ=nsin∠1得∠1=30°所以∠2=60°∠3=∠2=60°而全反射臨界角C有能發(fā)生全反射②有∠4=∠3-30°=30°nsin∠4=sin∠5得∠5=45°兩光線(xiàn)夾角為（60°-θ）＋（90°-∠5）=60°3．由兩種透明材料甲、乙制成的棱鏡的截面如圖所示，其中材料甲的截面為直角三角形，，，，材料乙是圓截面。一細(xì)光束由AB邊的中點(diǎn)D與AB成30°角斜射入材料甲，經(jīng)折射后該光束剛好在乙的圓弧面上發(fā)生全反射，然后射到AC邊上的G點(diǎn)（未畫(huà)出）。已知材料甲的折射率，真空中光速為c。求：(1)材料乙的折射率n2；(2)該細(xì)光束在此棱鏡中從D傳播到G所經(jīng)歷的時(shí)間t。【答案】(1)2；(2)【詳解】(1)光由空氣射入甲，由折射定律知，解得可知光束垂直于邊的中點(diǎn)E射入材料乙，在弧上的F點(diǎn)發(fā)生全反射，到達(dá)邊上的G點(diǎn)，如圖所示由幾何關(guān)系知介質(zhì)乙中臨界角由全反射公式，得(2)由幾何知識(shí)知光在材料甲、乙中的速度為，光在材料甲、乙中傳播時(shí)間光在棱鏡中從D傳播到G所用時(shí)間答：(1)材料乙的折射率為2。(2)該細(xì)光束在此棱鏡中從D傳播到G所經(jīng)歷的時(shí)間為。4．如圖所示，某種透明物質(zhì)制成的直角三棱鏡ABD，其中∠A=60°、∠B=30°束光線(xiàn)在紙面內(nèi)垂直AB邊射入棱鏡，發(fā)現(xiàn)光線(xiàn)剛好不能從AD邊射出。已知光在真空中傳播速度為c，AD邊的長(zhǎng)為a，光線(xiàn)進(jìn)入棱鏡后射到AD邊的中點(diǎn)C，求：(1)光線(xiàn)從BD邊首次射出時(shí)折射角α的正弦值；(2)光從射入棱鏡到首次射出棱鏡所用時(shí)間t。【答案】(1)；(2)【詳解】(1)由幾何關(guān)系知臨界角C=60°在AD邊上發(fā)生全反射知由幾何關(guān)系知光從透明物質(zhì)到空氣的入射角為由折射定律得    解得    (2)光在透明物質(zhì)中傳播的速度為    光在棱鏡中傳播的路程為    傳播時(shí)間為5．如圖所示，用折射率n=的透明物質(zhì)做成內(nèi)外半徑分別為a=m，b=5m的空心球，其內(nèi)表面涂有能完全吸光的物質(zhì)，不考慮光在介質(zhì)內(nèi)部傳播時(shí)的反射。一平行光從左向右射向此球。求：(1)光進(jìn)入透明物質(zhì)后的最大折射角θ；(2)光在透明物質(zhì)中傳播的最大距離l。【答案】(1)45°；(2)6m【詳解】(1)當(dāng)入射角最大時(shí)，折射角最大。最大的入射角為90°，即最大折射角θ對(duì)應(yīng)的入射角為β=90°，由折射定律得得θ=45°即光進(jìn)入透明物質(zhì)中的折射角的最大值θ為45°。(2)當(dāng)入射平行光折射進(jìn)入透明介質(zhì)后并恰好與內(nèi)表面相切時(shí)在透明物質(zhì)中傳播的距離最長(zhǎng)，畫(huà)出光路圖如圖（入射角為α、折射角為β）。由幾何知識(shí)得光在在透明物質(zhì)中的最長(zhǎng)傳播距離為
 解得l=6m6．將自然光引入室內(nèi)進(jìn)行照明是一種新型的綠色能源技術(shù)。某科技興趣小組設(shè)計(jì)了一種接收太陽(yáng)光的實(shí)驗(yàn)裝置，如圖為過(guò)裝置中心軸線(xiàn)的截面，上部的集光球是半徑為R的某種均勻透明材料的半球體，下部為導(dǎo)光管，兩部分的交界面是PQ。若只有PQ上方高度范圍內(nèi)的光束平行于PQ射入后，能直接通過(guò)PQ面進(jìn)入導(dǎo)光管（不考慮集光球內(nèi)表面的反射），求該材料的折射率。
 【答案】【詳解】由于不考慮集光球內(nèi)表面的反射，所以最上面的一束光線(xiàn)的光路圖如圖所示
 由幾何關(guān)系可知解得可知入射角折射角根據(jù)折射定律可知，材料的折射率7．如圖所示，一個(gè)儲(chǔ)油桶的底面直徑與高均為d。當(dāng)桶內(nèi)沒(méi)有油時(shí)，從某點(diǎn)A恰能看到桶底邊緣的某點(diǎn)B。當(dāng)桶內(nèi)油的深度等于桶高的一半時(shí)，仍沿AB方向看去，恰好看到桶底上的點(diǎn)C，C、B兩點(diǎn)相距求：(1)油的折射率；(2)光在油中傳播的速度大??；(3)在桶正上方看到的油在桶中的深度h。
 甲  沒(méi)有油時(shí)剛好看到B點(diǎn)    乙 有油時(shí)沿同一方向看去可以看到C點(diǎn)【答案】(1)；(2)；(3)或【詳解】(1)因?yàn)榈酌嬷睆脚c桶高相等，所以由可知折射率(2)因?yàn)?/span>所以光在油中的傳播速度是
  (3)由光的折射定律可知解得或，或。8．半徑為R的半球形透明體截面如圖，AB為直徑，O為圓心，其折射率為。一細(xì)束光從圓周上某點(diǎn)射入透明體，經(jīng)兩次折射后沿平行于BA方向從圓周上的P點(diǎn)射出。已知∠AOP=60°，真空中的光速為c，求(i)出射光線(xiàn)與入射光線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)間的夾角；(ii)光通過(guò)透明體所用的時(shí)間。
 【答案】(i)30°；(ii)【詳解】（i）設(shè)光在射出圓面時(shí)折射角為 i，入射角為 α，光路如圖
 由折射定律 解得則設(shè)從圓面射入時(shí)的入射角為 γ，折射角為 β β=α=45°射入圓面時(shí)，由折射定律得 解得由幾何關(guān)系得出射光線(xiàn)與入射光線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)間的夾角（ii）設(shè)光在透明體中通過(guò)的距離為 ，由幾何關(guān)系得 光透明體中的速度為設(shè)光在透明體內(nèi)經(jīng)歷的時(shí)間為 t，則 代入數(shù)據(jù)得9．如圖所示，一細(xì)光束從空氣垂直射到直角三棱鏡的AB界面上，在BD界面的中點(diǎn)E發(fā)生全反射，并從AD界面射出（不考慮光束在AD界面上發(fā)生反射的光線(xiàn)），出射光線(xiàn)與BD界面平行。已知AB長(zhǎng)為2L，∠A=90°， ∠B =60°，光在真空中傳播速度為c，求：①棱鏡材料的折射率n；②光在棱鏡中傳播所用時(shí)間t。
 【答案】①；②【詳解】①光在直角三棱鏡中傳播的光路圖如圖所示：
 設(shè)光在AD界面的入射角為r，折射角為i ，根據(jù)幾何關(guān)系和折射定律可得解得②根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可得解得10．如圖所示橫截面為直角三角形的玻璃磚，面鍍有反光膜，邊長(zhǎng)為d，，一束光線(xiàn)經(jīng)面上的D點(diǎn)垂直射入玻璃磚，已知C、D兩點(diǎn)間的距離為，玻璃磚對(duì)光的折射率，真空中的光速為C。(1)畫(huà)出光在玻璃磚中傳播的光路圖；(2)計(jì)算光在玻璃磚中的傳播時(shí)間t。【答案】(1)；(2)【詳解】(1)，故其全反射臨界角為小于45°，所以光在邊上的N點(diǎn)處發(fā)生全反射，之后恰好能水平射出，其光路圖如圖所示(2)因?yàn)?/span>，，所以即在三角形中代入數(shù)據(jù)可得因?yàn)?/span>所以三角形中，又因?yàn)?/span>故光在玻璃磚中的傳播速度所以光在玻璃磚中的傳播時(shí)間代入數(shù)據(jù)可得11．如圖所示，直角玻璃三棱鏡置于空氣中，已知，。一束極細(xì)的光于AC上的D點(diǎn)垂直AC面入射，其中，且，核鏡的折射率為，求：(1)光從棱鏡第一次射入空氣時(shí)的折射角；(2)光從進(jìn)入棱鏡到它第一次射入空氣所經(jīng)歷的時(shí)間（設(shè)光在真空中的傳播速度為c）。【答案】(1)45°；(2)【詳解】(1)設(shè)玻璃對(duì)空氣的臨界角為C，則如圖所示，，，發(fā)生全反射由折射定律有所以(2)棱鏡中光速所求時(shí)間12．一半徑為R的玻璃球體的截面圖如圖所示，O為球心，AB為直徑。一束單色光從D點(diǎn)射入球體，入射方向與AB平行，光線(xiàn)射入球體后經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，已知∠ABD=，光在真空中的傳播速度為c，求:①此球體玻璃的折射率；②從D射入玻璃球后經(jīng)過(guò)一次反射再射出的光線(xiàn)，在玻璃球中傳播的時(shí)間。【答案】①n=；②【詳解】①此球體玻璃的折射率解得n=②光線(xiàn)從D射入玻璃球后經(jīng)過(guò)一次反射再射出經(jīng)過(guò)的路程由幾何關(guān)系得光在玻璃中傳播速度，所用時(shí)間解得13．如圖所示，AOB為扇形玻璃磚，一細(xì)光束照射到AO面上的C點(diǎn)，入射光線(xiàn)與AO面的夾角為30°，折射光線(xiàn)平行于BO邊，圓弧的半徑為R，C點(diǎn)到BO面的距離為，AD⊥BO，∠DAO=30°，光在空氣中的傳播速度為c，求：(1)玻璃磚的折射率；(2)光在玻璃磚中傳播的時(shí)間。【答案】(1)；(2)【詳解】（1）光束射到玻璃磚AO界面時(shí)，由于入射光線(xiàn)與AO面的夾角為30°，又因 ∠DAO=30°由圖中的幾何關(guān)系可知，入射角，經(jīng)玻璃折射后，因折射光線(xiàn)平行于BO邊，由圖中的幾何關(guān)系可知，在AO界面折射角，由解得（2）光在玻璃中傳播過(guò)程中有光在玻璃中傳播的路程為又因解得14．如圖所示，折射率n=、半徑為R的透明球體固定在水平地面上，O為球心，AB為水平直徑，一束光線(xiàn)水平射到球體的C點(diǎn)，經(jīng)折射后恰好從B點(diǎn)射出，真空中光速為c。求：(1)從B點(diǎn)射出光線(xiàn)的偏角；(2)光從C點(diǎn)到B點(diǎn)的傳播時(shí)間t。【答案】(1) 60°；(2)。【詳解】(1) 根據(jù)題意可知，光射到C點(diǎn)的入射角為i，折射角為r，根據(jù)折射定律有：根據(jù)幾何關(guān)系可知解得入射角為i=60°，折射角為r=30°，在B點(diǎn)入射角為30°，從B點(diǎn)射出光線(xiàn)折射角為60°。(2) 光在介質(zhì)中傳播的路程為：所以光線(xiàn)在球體內(nèi)傳播的時(shí)間為：15．如圖所示，放置于真空中半徑為R的半圓柱形玻璃棱柱的平面鍍銀成為平面鏡，OP為垂直于平面鏡的半徑，在其延長(zhǎng)線(xiàn)上S點(diǎn)有一個(gè)可發(fā)出細(xì)光束的光源，OS=R，A為柱面上的一點(diǎn)，A、O、P、S所在平面垂直于圓柱的母線(xiàn)，AO與OP所成夾角=30°，從S點(diǎn)發(fā)出的人射到A點(diǎn)的細(xì)光束經(jīng)圓柱折射和平面鏡反射后剛好能沿AS返回到S點(diǎn)。求：(1)玻璃的折射率；(2)這束光線(xiàn)從S點(diǎn)發(fā)出后返回到S點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間。【答案】(1)；(2)【詳解】(1)由光路可逆可知，光束從A點(diǎn)進(jìn)入玻璃后光線(xiàn)與平面鏡的鏡面垂直，光路圖如圖所示。根據(jù)折射率的定義，有在中，有，β=a+θ解得θ=30°，(2)由上可知AS=AQ=R，光線(xiàn)從S點(diǎn)發(fā)出后返回到S點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為根據(jù)折射率與光速的關(guān)系式，有解得16．如圖所示，空氣中，屏與半圓形玻璃磚右邊緣N點(diǎn)接觸，且與其直徑邊MN垂直。玻璃磚半徑為R，O為圓心，屏足夠長(zhǎng)。一束單色光從玻璃磚上P點(diǎn)沿PO方向入射，與MO夾角為60°。已知玻璃磚對(duì)這束光的折射率為，光在真空中的傳播速度為c。求：(1)屏上兩光斑之間的距離；(2)光在玻璃磚中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)光程及相應(yīng)時(shí)間。【答案】(1) ；(2) ，；【詳解】(1)由題意可知，入射角為30°，N點(diǎn)上方的光斑到N點(diǎn)的距離為x1由折射定律N點(diǎn)下方的光斑到N點(diǎn)的距離為x2屏上兩光斑之間的距離為解得(2) 光在玻璃磚中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)光程為光在玻璃中的速度為光在玻璃磚中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)光程所對(duì)應(yīng)的時(shí)間解得 17．如圖所示，三角形是橫截面為直角三角形的三棱鏡，其中長(zhǎng)度為。一束單色光從邊上的D點(diǎn)射入棱鏡，入射角為，進(jìn)人棱鏡后折射到邊的中點(diǎn)，D、C兩點(diǎn)間距離為。光在真空中的速度。求：(i)三棱鏡材料對(duì)這束單色光的折射率；(ii)光線(xiàn)從邊射入到第一次從三棱鏡射出所經(jīng)歷的時(shí)間。
 【答案】（i）；（ii）【詳解】（i）光路如圖所示
 由幾何關(guān)系知是等腰三角形，光束在D點(diǎn)的折射角等于 則有解得（ii）由幾何關(guān)系知，光束在E點(diǎn)人射角為，臨界角C滿(mǎn)足解得光束在E點(diǎn)發(fā)生全反射，且反射后射到邊的中點(diǎn)F由幾何關(guān)系可知，從D到F的總路程光在三棱鏡材料中傳播的速度光線(xiàn)從邊射入到第一次從邊射出所經(jīng)歷的時(shí)間解得18．如圖所示，為一底面半徑為的透明玻璃圓錐倒立于水平面上，其頂角α=120°，當(dāng)一束平行單色光垂直照射到圓錐底面時(shí)，已知該單色光束在玻璃中的折射率為，光在真空中的速度為c，求：(1)該光束在玻璃中傳播的最長(zhǎng)時(shí)間；(2)水平桌面上有光束照射的半徑大小R0。【答案】(1)；(2)【分析】做出光路圖，利用折射定律及勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律求光束在玻璃種傳播的最長(zhǎng)時(shí)間；利用折射定律結(jié)合幾何關(guān)系求出水平桌面上有光束照射的半徑大小R0。【詳解】(1)畫(huà)出圓錐的橫截面做出光路圖，如圖所示光在介質(zhì)中的傳播速度為，當(dāng)光垂直于中軸照射時(shí)，光在玻璃中的光程最長(zhǎng)，有可解得；(2)如圖所示，當(dāng)光從邊界點(diǎn)B點(diǎn)射入從BO邊折射出時(shí)照射到桌面最遠(yuǎn)，由幾何關(guān)系可知i=30°，由得r=60°，而θ= r–i=30°由幾何關(guān)系可知解得19．如圖，半徑為R的玻璃球冠，其底面AB鍍銀，底面的半徑是球半徑的倍；在過(guò)球心O且垂直于底面的平面（紙面）內(nèi)，有一與底面垂直的光線(xiàn)（該光線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)恰好過(guò)底面邊緣上的A點(diǎn)）射到球冠上的M點(diǎn)經(jīng)球冠折射后到達(dá)底面AB上的E點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），再經(jīng)E點(diǎn)反射后反射光線(xiàn)通過(guò)球心，最后從球冠上的F點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）射出，已知光速為c，求：(1)玻璃球冠的折射率；(2)光線(xiàn)從M點(diǎn)傳到F點(diǎn)的時(shí)間。【答案】(1)；(2)【詳解】(1)光路圖如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系得解得，故，所以為等邊三角形又解得所以由折射定律得解得(2)由幾何關(guān)系可得，該光線(xiàn)在球冠中的傳播路程可知光在球冠中的傳播時(shí)間聯(lián)立解得20．單色光以入射角射到半徑為R、折射率為的透明球體中，并被球內(nèi)經(jīng)一次反射后再折射后射出，入射和折射光路如圖所示。真空中的光速為。(1)在圖上大致畫(huà)出光線(xiàn)在球內(nèi)的路徑和方向；(2)求入射光與出射光之間的夾角；(3)單色光通過(guò)透明球體的時(shí)間（用R和表達(dá)）。【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】(1)光路如圖所示(2)由折射定律可知得根據(jù)幾何關(guān)系得(3)單色光在透明球體中的傳播速度為則所以傳播時(shí)間  

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