專題6.3三角形的中位線-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)題典【北師大版】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 同步培優(yōu)題典【北師大版】
專題6.3三角形的中位線
姓名：__________________ 班級(jí)：______________ 得分：_________________
注意事項(xiàng)：
本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2021春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，DE＝4，則BC＝（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．
【解析】∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴BC＝2DE，
∵DE＝4，
∴BC＝8，
故選：C．
2．（2021春?灌云縣期中）如圖是一塊等腰三角形空地ABC，已知點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用籬笆圍成四邊形BCED來(lái)放養(yǎng)小雞，則需要籬笆的長(zhǎng)是（　?。?br />
A．22米 B．17米 C．14米 D．11米
【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DE的長(zhǎng)，利用四邊形的周長(zhǎng)得到即可．
【解析】∵點(diǎn)E，D分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，BC＝6米，
∴DE＝3米，
∴DB＝3米，EC＝5米，
∴籬笆的長(zhǎng)＝DE+BC+CE+DB＝3+6+3+5＝17米．
故選：B．
3．（2021?江干區(qū)模擬）如圖，直l1∥l2，點(diǎn)A、B固定在直線l2上，點(diǎn)C是直線l1上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)E、F分別為CA、CB中點(diǎn)，對(duì)于下列各值：①線段EF的長(zhǎng)；②△CEF的周長(zhǎng)；③△CEF的面積；④∠ECF的度數(shù)，其中不隨點(diǎn)C的移動(dòng)而改變的是（　?。?br />
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【分析】判斷出AB長(zhǎng)為定值，C到AB的距離為定值，再根據(jù)三角形的中位線與平行線的性質(zhì)即可判斷①③，根據(jù)運(yùn)動(dòng)得出CA+CB不斷發(fā)生變化、∠ACB的大小不斷發(fā)生變化，即可判斷②④．
【解析】∵A、B為定點(diǎn)，
∴AB長(zhǎng)為定值，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CA，CB的中點(diǎn)，
∴EF是△CAB的中位線，
∴EF=12AB為定值，故①正確；
∵點(diǎn)A，B為直線l2上定點(diǎn)，直線l1∥l2，
∴C到l2的距離為定值，
∵EF是△CAB的中位線，
∴EF∥l1∥l2，
∴C到EF的距離為定值，
又∵EF為定值，
∴△CEF的面積為定值，故③正確；
當(dāng)C點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，CA+CB的長(zhǎng)發(fā)生變化，
則CE+CF的長(zhǎng)發(fā)生變化，
∴△CEF的周長(zhǎng)發(fā)生變化，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)C點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，∠ACB發(fā)生變化，則∠ECF發(fā)生變化，故④錯(cuò)誤；
故選：B．
4．（2021春?溫州期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，若AB＝AC＝2，則四邊形ADEF的周長(zhǎng)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】根據(jù)三角形中位線定理、線段中點(diǎn)的概念計(jì)算，得到答案．
【解析】∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，
∴AD=12AB＝1，AF=12AC＝1，DE、FE是△ABC的中位線，
∴DE=12AC＝1，EF=12AB＝1，
∴四邊形ADEF的周長(zhǎng)＝AD+DE+EF+AF＝4，
故選：C．
5．（2019秋?寬城區(qū)期末）如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，E、F、G、H分別是邊AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)．若AD＝10，BD＝8，CD＝6，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（　?。?br />
A．24 B．20 C．12 D．10
【分析】利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH＝FG=12BC，EF＝GH=12AD，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【解析】∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，
∴BC=BD2+CD2=82+62=10，
∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，
∴EH＝FG=12BC，EF＝GH=12AD，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝10，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)＝10+10＝20，
故選：B．
6．（2021秋?遂寧期末）如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．若OE＝3cm，則AB的長(zhǎng)為（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)A＝OC；又因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E是△ABC的中位線，由OE＝3cm，即可求得AB＝6cm．
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC；
又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）
故選：B．
7．（2021?廣州）△ABC中，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，連接DE．若∠C＝68°，則∠AED＝（　　）
A．22° B．68° C．96° D．112°
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得到DE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠AED＝∠C＝68°．
【解析】∵點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠C＝68°，
∴∠AED＝∠C＝68°．
故選：B．

8．（2021春?靜寧縣校級(jí)期中）平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．若OE＝3cm，則AB的長(zhǎng)為（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)A＝OC；又因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E是△ABC的中位線，由OE＝3cm，即可求得AB＝6cm．
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC；
又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）．
故選：B．
9．（2019秋?乳山市期末）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊BC上的定點(diǎn)，連接AP，PQ，E，F(xiàn)分別是AP，PQ的中點(diǎn)，連接EF．點(diǎn)P在由C到D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度（　?。?br />
A．保持不變 B．逐漸變小
C．先變大，再變小 D．逐漸變大
【分析】連接AQ，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
【解析】連接AQ，
∵點(diǎn)Q是邊BC上的定點(diǎn)，
∴AQ的大小不變，
∵E，F(xiàn)分別是AP，PQ的中點(diǎn)，
∴EF=12AQ，
∴線段EF的長(zhǎng)度保持不變，
故選：A．

10．（2021春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝23，AD＝2，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為（　?。?br />
A．3 B．23 C．4 D．2
【分析】連接DN、DB，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EF=12DN，結(jié)合圖形解答即可．
【解析】連接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝23，AD＝2，
∴BD=AD2+AB2=4，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，
∴EF=12DN，
由題意得，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合是DN最大，最大值為4，
∴EF長(zhǎng)度的最大值為2，
故選：D．

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）
11．（2021?銅山區(qū)二模）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC＝6，則DE＝　3　．
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出DE=12BC，代入求出即可．
【解析】如圖，
∵在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE=12BC，
∵BC＝6，
∴DE＝3，
故答案為：3．

12．（2021?潮陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD＝BC，∠PEF＝35°，則∠PFE的度數(shù)是　35°?。?br />
【分析】根據(jù)中位線定理和已知，易證明△EPF是等腰三角形，進(jìn)而可求出∠PEF的度數(shù)．
【解析】∵在四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，
∴FP，PE分別是△CDB與△DAB的中位線，
∴PF=12BC，PE=12AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝35°，
∴∠PEF＝∠PFE＝35°，
故答案為：35°．
13．（2021春?開(kāi)封期末）如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，在池塘外選取點(diǎn)O，連接OA，OB，并分別取OA，OB的中點(diǎn)M，N，若測(cè)得MN＝50m，則A，B兩點(diǎn)間的距離是　100　m．

【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
【解析】∵點(diǎn)M，N分別為OA，OB的中點(diǎn)，
∴MN是△OAB的中位線，
∴AB＝2MN＝2×50＝100（m），
故答案為：100．
14．（2021春?牡丹區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，四邊形BEFD周長(zhǎng)為14，則AB+BC的長(zhǎng)為　14?。?br />
【分析】根據(jù)三角形的中位線可得DF=12BC，EF=12AB，判定四邊形BEFD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解．
【解析】∵D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，
∴DF∥BC，EF∥AB，DF=12BC，EF=12AB，
∴四邊形BEFD為平行四邊形，
∵四邊形BEFD周長(zhǎng)為14，
∴DF+EF＝7，
∴AB+BC＝14．
故答案為14．
15．（2019春?路橋區(qū)期末）如圖，為測(cè)量池塘邊A、B兩點(diǎn)間的距離，可在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，連接OA，OB，分別取OA，OB的中點(diǎn)D，E，測(cè)得DE＝35米，由此可知A、B之間的距離是　70　米．

【分析】連接AB，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出AB＝2DE，代入求出即可．
【解析】連接AB，
∵D、E分別為OA、OB的中點(diǎn)，
∴AB＝2DE，
∵DE＝35米，
∴AB＝70米，
故答案為：70．

16．（2021春?荔灣區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA上的中點(diǎn)，且AB＝10cm，AC＝16cm，則四邊形ADEF的周長(zhǎng)等于　26　cm．

【分析】根據(jù)三角形中位線定理，證明四邊形ADEF是平行四邊形，根據(jù)三角形中位線定理，求出DE、EF的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．
【解析】∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA上的中點(diǎn)，
∴DE，EF都是△ABC的中位線，
∴DE=12AC＝8cm，DE∥AC，EF=12AB＝5cm，EF∥AB，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
∴四邊形ADEF的周長(zhǎng)＝2（DE+EF）＝2×13＝26（cm）．
故答案為：26．
17．（2021春?西寧期末）如圖，在△MBN中，已知BM＝8，BN＝10，點(diǎn)A，C，D分別是MB，NB，MN的中點(diǎn)．則四邊形ABCD的周長(zhǎng)是　18　．

【分析】根據(jù)三角形中位線定理、線段中點(diǎn)的定義分別求出AD、DC、BC、AB，根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【解析】∵點(diǎn)A，D分別是MB，MN的中點(diǎn)，
∴AD=12BN=12×10＝5，AB=12BM=12×8＝4，
同理可得，DC=12BM=12×8＝4，BC=12BN=12×10＝5，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AD+DC+BC+AB＝5+4+5+4＝18，
故答案為：18．
18．（2021春?鼓樓區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝12cm，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，則EF＝　4　cm．

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，得到BD的長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE＝DE，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC=AB2-BC2=132-122=5，
∴AD＝AC＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝13﹣5＝8，
∵AC＝AD，AE⊥CD，
∴CE＝DE，
∵CE＝DE，CF＝BF，
∴EF是△CBD的中位線，
∴EF=12BD＝4，
故答案為：4．
三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟
19．（2021春?長(zhǎng)葛市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE是△ABC的中位線，AF是△ABC的中線．
求證DE＝AF．
證法1：∵DE是△ABC的中位線，
∴DE＝　12BC?。?br /> ∵AF是△ABC的中線，∠BAC＝90°，
∴AF＝　12BC　，
∴DE＝AF．
請(qǐng)把證法1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2．
證法2：

【分析】證法1：根據(jù)三角形中位線定理得到DE=12BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AF=12BC，等量代換證明結(jié)論；
證法2：連接DF、EF，根據(jù)三角形中位線定理得到DF∥AC，EF∥AB，證明四邊形ADFE是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等證明即可．
【解答】證法1：∵DE是△ABC的中位線，
∴DE=12BC，
∵AF是△ABC的中線，∠BAC＝90°，
∴AF=12BC，
∴DE＝AF，
證法2：連接DF、EF，
∵DE是△ABC的中位線，AF是△ABC的中線，
∴DF、EF是△ABC的中位線，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∵∠BAC＝90°，
∴四邊形ADFE是矩形，
∴DE＝AF．
故答案為：12BC；12BC．

20．已知在四邊形ABCD中，AB＝CD，E、F、G分別是BD、AC、BC的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)．求證：EF⊥GH．

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EG=12CD，F(xiàn)G=12AB，得到EG＝FG，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結(jié)論．
【解析】連接GE、GF，
∵E、G分別是BD、BC的中點(diǎn)，
∴EG=12CD，
同理，F(xiàn)G=12AB，
∵AB＝CD，
∴EG＝FG，
∵H是EF的中點(diǎn)，
∴EF⊥GH．

21．（2016?長(zhǎng)春模擬）如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=12BC，連結(jié)CD、EF．求證：CD＝EF．

【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC，DE=12BC，然后求出四邊形DEFC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等證明即可．
【解答】證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵CF=12BC，
∴DE＝CF，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∴CD＝EF．
22．（2021春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度數(shù)．

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到PE=12AD，PF=12BC，得到PE＝PF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答．
【解析】∵P是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，
∴PE是△ABD的中位線，
∴PE=12AD，
同理，PF=12BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝20°．
23．（2017秋?臨洮縣期末）如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分別是其角平分線和中線，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，求線段EF的長(zhǎng)．

【分析】首先證明△AGF≌△ACF，則AG＝AC＝4，GF＝CF，證明EF是△BCG的中位線，利用三角形的中位線定理即可求解．
【解析】在△AGF和△ACF中，
∠GAF=∠CAFAF=AF∠AFG=∠AFC，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝6，GF＝CF，
則BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位線，
∴EF=12BG＝1．
24．（2021春?建湖縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接BE，點(diǎn)F、G、H分別為BE、DE、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：FG＝FH；
（2）當(dāng)∠A為多少度時(shí)，F(xiàn)G⊥FH？并說(shuō)明理由．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，得到DB＝EC，根據(jù)三角形中位線定理證明結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)FG交AC于N，根據(jù)三角形中位線定理得到FH∥AC，F(xiàn)N∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC．
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴DB＝EC，
∵點(diǎn)F、G、H分別為BE、DE、BC的中點(diǎn)，
∴FG是△EDB的中位線，F(xiàn)H是△BCE的中位線，
∴FG=12BD，F(xiàn)H=12CE，
∴FG＝FH；
（2）解：延長(zhǎng)FG交AC于N，
∵FG是△EDB的中位線，F(xiàn)H是△BCE的中位線，
∴FH∥AC，F(xiàn)N∥AB，
∵FG⊥FH，
∴∠A＝90°，
∴當(dāng)∠A＝90°時(shí)，F(xiàn)G⊥FH．

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