專題12 直線與圓的位置關(guān)系核心素養(yǎng)練習(xí) -【新教材精創(chuàng)】2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材知識(shí)講學(xué)（人教A版選擇性必修第一冊(cè)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)一數(shù)學(xué)運(yùn)算-求直線與圓的方程
例題5、已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)，B(1，－eq \r(3))，且圓心C在直線y＝x上．
(1)求圓C的方程；
(2)過點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))的直線l截圓所得弦長(zhǎng)為2eq \r(3)，求直線l的方程．
【解析】 (1)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(\r(3),2)))，AB的斜率為eq \r(3).可得AB垂直平分線方程為2eq \r(3)x＋6y＝0，與x―y＝0的交點(diǎn)為(0,0)，圓心坐標(biāo)(0,0)，半徑為2，
所以圓C的方程為x2＋y2＝4.
(2)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為k，又直線l過eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
∴直線l的方程為y－eq \f(\r(3),3)＝k(x－1)，
即y＝kx＋eq \f(\r(3),3)－k，
則圓心(0,0)到直線的距離d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)－k)),\r(1＋k2))，又圓的半徑r＝2，截得的弦長(zhǎng)為2eq \r(3)，
則有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)－k)),\r(1＋k2))))eq \s\up12(2)＋(eq \r(3))2＝4，解得：k＝－eq \f(\r(3),3)，
則直線l的方程為y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3).
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝1，滿足題意．
∴直線l的方程為x＝1或y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3).
考點(diǎn)二數(shù)學(xué)建模-直線與圓位置關(guān)系的綜合
例題6.一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑為30 km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？
【解析】以臺(tái)風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以東西方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示)，其中取10 km為單位長(zhǎng)度，則受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域?yàn)閳Ax2＋y2＝9及其內(nèi)部，港口所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4)，輪船的初始位置所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,0)，則輪船航線所在直線l的方程為eq \f(x,7)＋eq \f(y,4)＝1，即4x＋7y－28＝0.圓心(0,0)到直線4x＋7y－28＝0的距離d＝eq \f(|28|,\r(42＋72))＝eq \f(28,\r(65))，而半徑r＝3，
因?yàn)閐＞r，所以直線與圓相離，所以輪船不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響．
二、學(xué)業(yè)質(zhì)量測(cè)評(píng)
一、選擇題
1．1．經(jīng)過點(diǎn)的圓的切線方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】
，
在圓上，且，
過的切線斜率為.
過的切線方程為：，即.
故選:D.
2．過點(diǎn)作圓的切線，若切點(diǎn)為A、，則直線的方程是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
根據(jù)題意，設(shè)，圓的圓心為，半徑，
有，
則，
則以為圓心，為半徑為圓為，即，
公共弦所在的直線即直線，
則，變形可得；
即直線的方程是；
故選：B.
3．直線和圓的位置關(guān)系是（）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
【答案】A
【詳解】
圓心到直線的距離
即直線和圓相交
故選：A
4．圓x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x軸所得弦的長(zhǎng)度等于（）
A．2B．2C．2D．4
【答案】B
【詳解】
令y＝0，可得x2+4x+1＝0，
所以，，
所以.
故選：B
5．設(shè)直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【詳解】
如圖，
直線的傾斜角為，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，直線在軸上的截距為.
要使直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，.
故選：D.
6．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【詳解】
根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長(zhǎng)線必過點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
設(shè)反射光線所在直線的斜率為，
則反射光線所在直線方程為，即，
又由反射光線與圓相切，可得，
整理得，解得或.
故選：D.
7．(多選題)直線l與圓C有公共點(diǎn)，則直線l與圓C的位置關(guān)系可能是（）
A．相交B．相切
C．相離D．不能確定
【答案】AB
【詳解】
根據(jù)直線與圓位置關(guān)系的確定，有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)相切，有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)相交．相離時(shí)無(wú)公共點(diǎn)．
故選：AB．
8．(多選題)已知圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0與直線x－y＝1，則（）
A．圓心坐標(biāo)為(1，－2)
B．圓心到直線的距離為
C．直線與圓相交
D．圓的半徑為
【答案】AD
【詳解】
把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圓心坐標(biāo)為(1，－2)，半徑為，所以圓心到直線x－y＝1的距離為d＝＝，直線與圓相切．
故選：AD
二、填空題
9．已知直線：12x－5y＝3與圓x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.
【答案】4
【詳解】
把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝9，所以圓心坐標(biāo)為(3，4)，半徑r＝3，所以圓心到直線12x－5y＝3的距離d＝＝1，則|AB|＝2＝4.
故答案為：
10．過點(diǎn)P(2，1)作圓x2＋(y－2)2＝1的切線，則切線長(zhǎng)為________．
【答案】2
【詳解】
點(diǎn)P(2，1)到圓心(0，2)的距離為,
所以切線長(zhǎng)為.
故答案為：2．
11．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為________．
【答案】相交
【詳解】
直線2tx－y－2－2t＝0恒過點(diǎn)(1，－2)．
因?yàn)?2＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5

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