專題19.11  一次函數(shù)與一元一次不等式（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．能用函數(shù)的觀點認識一次函數(shù)、一次方程（組）與一元一次不等式之間的聯(lián)系，能直觀地用圖形（在平面直角坐標(biāo)系中）來表示方程（或方程組）的解及不等式的解，建立數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化的思想．2．能運用一次函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的不等式問題及實際問題．3.設(shè)參求值解決一次函數(shù)與不等式中的動點問題。【要點梳理】 要點一、一次函數(shù)與一元一次不等式　　由于任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應(yīng)的自變量的取值范圍.     要點詮釋：求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標(biāo)的范圍.要點二、一元一次方程與一元一次不等式我們已經(jīng)學(xué)過，利用不等式的性質(zhì)可以解得一個一元一次不等式的解集，這個不等式的解集的端點值就是我們把不等式中的不等號變?yōu)榈忍枙r對應(yīng)方程的解.要點三、如何確定兩個不等式的大小關(guān)系（≠，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時的自變量取值范圍直線在直線的上方對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)范圍．【典型例題】類型一、一次函數(shù)與一元一次不等式 1、（2021·江蘇南京市·八年級期末）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點．（1）求該函數(shù)的表達式；（2）取何值時，？【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出b的值，即可得出結(jié)果；（2）求得直線與x軸的交點，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．解：（1）一次函數(shù)y＝x＋b的圖象經(jīng)過點A（?1，3）．∴3＝?1＋b，∴b＝4，∴該一次函數(shù)的解析式為y＝x＋4；（2）令y＝0，則x＋4＝0，解得x＝?4，∵k＝1，∴y隨x的增大而增大，∴x＞?4時，y＞0．【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2020·廣西八年級月考）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，則關(guān)于的不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出 y 隨 x 的增大而減小，當(dāng) x >-1時，y <0，即可求出答案．解： 直線 與 x 軸交于點(-1，0)，與軸交于點 根據(jù)圖形可得 k <0，y 隨 x 的增大而減小，當(dāng) x >-1時，y <0，即．故答案為： A【點撥】本題主要考查對一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練地運用性質(zhì)進行說理是解此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2021·江蘇南京市·八年級期末）已知直線過和，則關(guān)于的不等式的解集是______．【答案】【分析】由題意可以求得k和b的值，代入不等式即可得到正確答案 ．　解：由題意可得：∴ k=2，b=-2，∴原不等式即為2x-2<0，解之可得：x<1，故答案為x<1 ．【點撥】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式的綜合應(yīng)用，利用直線與坐標(biāo)軸的交點求出不等式的系數(shù)是解題關(guān)鍵．2.（2021·北京西城區(qū)·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A，直線與x軸交于點B，且與直線交于點．（1）求m和b的值；（2）求的面積；（3）若將直線向下平移個單位長度后，所得到的直線與直線的交點在第一象限，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）m=2，b=4；（2）4；（3）<t<8【分析】（1）先把代入，求出m的值，再把點C的坐標(biāo)代入即可求出b的值；（2）先求出點A和點B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（3）設(shè)出平移后的解析式，然后分別把點D和點A的坐標(biāo)代入即可解答．解：（1）把代入，得，把代入，得，∴b=4；（2）當(dāng)時，解得x=2，∴A(2，0)；當(dāng)時，解得x=-2，∴B(-2，0)；∴AB=4，∴的面積=；（3）設(shè)平移后的解析式為，當(dāng)x=0時，，∴D(0，)，把D(0，)代入，得，∴t=；把A(2，0)代入，得，∴t=8；∴t的取值范圍<t<8．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的交點，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，一次函數(shù)的平移，利用函數(shù)圖象解不等式，以及三角形的面積公式等知識，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2020·全國八年級課時練習(xí)）已知一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，且）的圖像如圖（a）所示，（1）方程的解為              ，不等式的解集是________．（2）如圖（b）所示，正比例函數(shù)（m為常數(shù)，且）與一次函數(shù)相交于點P，則不等式組的解集為________．（3）在（2）的條件下，比較mx與的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）．【答案】（1），；（2）；（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．【分析】（1）由圖象可知：當(dāng)時，y=0，即可求出方程的解，然后根據(jù)圖象可知當(dāng)x=0時，y=4，y隨x增大而減小，從而求出不等式的解集；（2）根據(jù)圖象分別求出mx＞0的解集和＞0的解集即可得出結(jié)論；（3）由圖象可知：在交點P左側(cè)時，正比例函數(shù)的函數(shù)值比一次函數(shù)函數(shù)值?。辉诮稽cP處，正比例函數(shù)的函數(shù)值和一次函數(shù)函數(shù)值相等；在交點P右側(cè)時，正比例函數(shù)的函數(shù)值比一次函數(shù)函數(shù)值大，即可得出結(jié)論．解：（1）由圖象可知：當(dāng)時，y=0∴方程的解為     由圖象可知：當(dāng)x=0時，y=4，y隨x增大而減小∴當(dāng)時，∴不等式的解集是    故答案為：；；（2）由圖象可知：正比例函數(shù)中，當(dāng)x=0時，y=0，y隨x的增大而增大∴當(dāng)x＞0時，＞0∴mx＞0的解集為x＞0一次函數(shù)中，當(dāng)x=2時，y=0，y隨x增大而減小∴當(dāng)x＜2時，＞0，∴＞0的解集為x＜2∴不等式組的解集為．故答案為：．（3）由圖象可知：在交點P左側(cè)時，正比例函數(shù)的函數(shù)值比一次函數(shù)函數(shù)值小；在交點P處，正比例函數(shù)的函數(shù)值和一次函數(shù)函數(shù)值相等；在交點P右側(cè)時，正比例函數(shù)的函數(shù)值比一次函數(shù)函數(shù)值大．∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．【點撥】此題考查的是根據(jù)交點坐標(biāo)求不等式或不等式組的解集，掌握一次函數(shù)和一元一次不等式或不等式組的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．3、（2020·河北邯鄲市·育華中學(xué)八年級期末）如圖，直線與軸交于點，直線與軸交于點，兩條直線交于點．（1）方程組的解是_____；（2）當(dāng)與同時成立時，的取值范圍是_________；（3）求的面積；（4）在直線的圖象上存在異于點的另一點，使得與的面積相等，請求出點的坐標(biāo)．【答案】（1） ；（2） ；（3）8 ；（4）P（－2，－6）【分析】（1）利用兩直線交點坐標(biāo)得出方程組的解；（2）利用函數(shù)圖象得出在x軸上方時，對應(yīng)x的取值范圍；（3）利用已知圖象結(jié)合三角形面積求法得出答案；（4）利用三角形面積求法得出P點橫坐標(biāo)，進而代入函數(shù)解析式得出P點坐標(biāo)．解：（1）如圖所示：方程組的解為：；故答案為：；（2）如圖所示：當(dāng)y1＞0與y2＞0同時成立時，x取何值范圍是：1＜x＜3；故答案為：1＜x＜3；
 （3）∵令x＝0，則y1＝－2，y2＝6，∴A（0，－2），B（0，6）．∴AB＝8．∴S△ABC＝×8×2＝8；（4）令P（x0，2x0－2），則S△ABP＝×8×|x0|＝8，∴x0＝±2．∵點P異于點C，∴x0＝－2，2x0－2＝－6．∴P（－2，－6）．【點撥】此題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組以及一次函數(shù)與一元一次不等式和三角形面積求法等知識，正確利用數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2019·百色市·八年級期中）如圖，函數(shù)y=2x與y=ax+5的圖象相交于點A(m，4)．（1）求A點坐標(biāo)及一次函數(shù)y=ax+5的解析式；（2）設(shè)直線y=ax+5與x軸交于點B，求的面積；（3）不等式2x＜ax+5的解集為　     　．【答案】（1）(2，4)，y=﹣x+5；（2）20；（3）x＜2【分析】（1）將點A（m，4）代入y=2x，即可求得A點坐標(biāo)，將A點坐標(biāo)代入y=ax+5，即可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）求得B點的坐標(biāo)后利用三角形面積公式列式計算即可；
（3）根據(jù)圖象，找出直線y=2x落在y=ax+5下方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍即可．解：（1）∵函數(shù)y=2x的圖象過點A（m，4），∴4=2m，解得m=2，∴A點坐標(biāo)為（2，4）． ∵y=ax+5的圖象過點A，∴2a+5=4，解得a=﹣，∴一次函數(shù)y=ax+5的解析式為y=﹣x+5； （2）∵y=﹣x+5，∴y=0時，﹣x+5=0．  解得x=10，∴B（10，0），  OB=10，∴△AOB的面積=×10×4=20； （3）由圖形可知，不等式2x＜ax+5的解集為x＜2．故答案為：x＜2．【點撥】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，利用了數(shù)形結(jié)合的思想． 類型二、用一次函數(shù)的性質(zhì)“設(shè)參求值”解決動點問題4、（2020·湖北黃岡市·思源實驗學(xué)校八年級期末）如圖，直線與軸，軸分別交于點，點，與函數(shù)的圖象交于點．（1）直接寫出k，b的值和不等式的解集；（2）在軸上有一點，過點作軸的垂線，分別交函數(shù)和的圖象于點，點．若，求點的坐標(biāo)．【答案】（1）不等式的解集為；（2）點的坐標(biāo)為 ，或，．【分析】（1）把M點的坐標(biāo)分別代入y=kx和可求出k、b的值，再確定A點坐標(biāo)，然后利用函數(shù)圖象寫出不等式的解集；（2）先確定B點坐標(biāo)得到OB的長，設(shè)P（m，0），則，D（m，2m），利用2CD=OB得到，然后解絕對值方程求出m，從而得到點P的坐標(biāo)．解：（1）把代入得；把代入得，解得；當(dāng)0時，，解得，則，所以不等式的解集為；（2）當(dāng)時，，則，，設(shè)，則，，，，解得或，點的坐標(biāo)為 ，或，．【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與一元一次不等式，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與一元一次不等式是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】（2020·沈陽市第一二六中學(xué)八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點是直線上一點，直線交x軸于點C，直線與x軸交點，與y軸交于點B，直線、相交于點Q．（1）________，的解析式為________，點Q坐標(biāo)為________；（2）連接OP、OQ，直接寫出的面積________；（3）在x軸上找一點M，使，則點M的坐標(biāo)為________．【答案】（1）-2；；（4，4）；（2）12；（3）（2，0）或（-10，0）．【分析】（1）把點代入直線中即可求出m的值，把點代入中求出b即可，把和聯(lián)立組成方程組求解即可；（2）分別過點p，Q作x軸的垂線，從而分別先求出三角形OPC的面積和△OCQ的面積，再把它們相加即可；（3）分兩種情況進行討論即可．解：（1）∵點是直線上一點，∴．∵直線與x軸交點，∴-8+b=0解得：b=8．∴的解析式為．∵ 解得： ∴點Q坐標(biāo)為（4，4）．故答案為：-2；；（4，4）．（2）令，則解得：x=-4．∴OC=4．如圖，過點P作PE⊥AC于點E，過點Q作QF⊥AC于F，∵點，點Q坐標(biāo)為（4，4），∴PE=2，QF=4．的面積=的面積+的面積==12．故答案為：12．（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，0），由（2）可知OC=4，∴點C的坐標(biāo)為（-4，0），∴MC= 令x=0，則，∴OB=8．∵∴解得：a=2或-10．∴點M的坐標(biāo)為（2，0）或（-10，0）．故答案為：（2，0）或（-10，0）．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的綜合，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2021·廣東深圳市·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點C（0，6）的直線AC與直線OA相交于點A（4，2）．（1）求直線AC的表達式；（2）求△OAC的面積；（3）動點M在線段OA和射線AC上運動，是否存在點M，使△OMC的面積是△OAC的面積的？若存在，求出此時點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）12；（3）存在，或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）利用三角形的面積公式即可求解；（3）當(dāng)△OMC的面積是△OAC的面積的時，根據(jù)面積公式即可求得M的橫坐標(biāo)，然后代入解析式即可求得M的坐標(biāo)．解：（1）設(shè)直線AC的解析式是，根據(jù)題意得：，解得：，則直線AC的解析式是：；（2）；（3）存在這樣的M點，理由如下：設(shè)OA的解析式是，則，解得：，則直線OA的解析式是：，當(dāng)△OMC的面積是△OAC的面積的時，M的橫坐標(biāo)是×4＝2，在中，當(dāng)時，，則M的坐標(biāo)是（2，1）；在中，當(dāng)時，，則M的坐標(biāo)是（2，4）；則M的坐標(biāo)是：或；當(dāng)M點在y軸左側(cè)時，在中，當(dāng)時，，則M的坐標(biāo)是（?2，8）；綜上所述，M的坐標(biāo)是：或或．【點撥】本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，熟記三角形面積公式及利用M點橫坐標(biāo)為±2分別求出是解題關(guān)鍵．

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