?第13章軸對稱13.3等腰三角形（簡答題專練）
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
1．按語句畫圖：任取一點O，以O為端點畫射線OA和OB，使∠AOB＝40°；分別在OA和OB上截取OC和OD，使OC＝OD＝3 cm，畫出OC和OD的中點M，N，連接CD和MN.
(1)測量∠OCD，∠OMN，∠ODC，∠ONM的度數(shù)；
(2)你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？試著表述一下．
【答案】（1）四個角的度數(shù)都相等，均為70°.（2）頂角相等(同)的等腰三角形的底角也相等．
【解析】
分析：通過作圖可得△OMN和△OCD均為等腰三角形，通過測量可得∠OCD，∠OMN，∠ODC，∠ONM的度數(shù)，進而得出規(guī)律.
詳解：如圖．

(1)四個角的度數(shù)都相等，均為70°.
(2)頂角相等(同)的等腰三角形的底角也相等．
點評：本題考查通過作圖、測量得出等腰三角形的性質.
2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，
求證：DE=2AB．

【答案】詳見解析.
【解析】
【分析】
取ED的中點O，連接AO，可證得∠AOE=2∠D，∠EBC=∠D，∠AOE=2∠EBC，
可得∠ABD=∠AOB，AB=OA，可證得結論.
【詳解】
證明：取ED的中點O，連接AO，

∵∠CAD=90°，
∴OD=AO=OE，
∴∠AOE=2∠D，
∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠D，
∴∠AOE=2∠EBC，
∵∠ABD=2∠EBC，
∴∠ABD=∠AOB，
∴AB=OA，
∴DE=2AB=2OA．
【點評】
本題主要考查平行線的性質、直角三角形斜邊上的中線的性質、等腰三角形的判定和性質, 解題的關鍵在于作出斜邊DE上的中線, 求證OA=AB即可.
3．已知等腰三角形△ABC 的一邊長為 5，周長為 22.求△ABC 另兩邊的長.
【答案】△ABC 另兩邊長分別為 8.5，8.5．
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形的三邊關系和等腰三角形的性質解題.
【詳解】
∵△ABC是等腰三角形，
∴不妨設AB=AC，
又∵一邊長為5，
①設 AB=AC=5，
∵△ABC 的周長為 22，
∴BC=22-5-5=12，
∵5+58.5，符合題意，
∴△ABC 另兩邊長分別為 8.5，8.5．
【點評】
本題考查了三角形的三邊關系和等腰三角形的性質.
4．如圖，中，，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上的點，且，．
（1）求證：≌；
（2）若，求的度數(shù)．

【答案】（1）證明見解析；（2）55°．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)三角形外角的性質可得到∠CEF=∠BDE，可證△BDE≌△CEF；
（2）由（1）可得DE=FE，即△DEF是等腰三角形，由等腰三角形的性質可求出∠B=70°，即∠DEF=∠B=70°，從而求出∠EDF的度數(shù)．
【詳解】
（1）∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠CEF+∠DEF，∠DEF=∠B，∴∠CEF=∠BDE．
∵AB=AC，∴∠C=∠B．
又∵CE=BD，∴△BDE≌△CEF．
（2）∵△BDE≌△CEF，∴DE=FE．
∴△DEF是等腰三角形，∴∠EDF=∠EFD．
∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=70°．
∵∠DEF=∠B，∴∠DEF=70°，∴∠EDF=∠EFD=×（180°﹣70°）=55°．
【點評】
本題考查了等腰三角形的性質和判定、三角形的外角與內(nèi)角的關系及全等三角形的判定及性質；證得三角形全等是正確解答本題的關鍵．
5．如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF與DE交于點O．

(1)求證：AB＝DC；
(2)試判斷△OEF的形狀，并說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）等腰三角形，理由見解析
【解析】
【詳解】
證明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF為等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF為等腰三角形．
6．如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC邊的中點，求證△DEM是等腰三角形．

【答案】詳見解析
【解析】
【分析】
根據(jù)AB=BC，AM=MC，得出BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=∠ABC=45°，進而得出△ADM≌△BEM，即可得出DM=EM．
【詳解】
證明：連接BM，

∵AB＝BC，AM＝MC，
∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝45°，
∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝＝45°，
∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，
∵BD＝CE，AB＝BC，
∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，
在△ADM和△BEM中，
∴△ADM≌△BEM（SAS），
∴DM＝EM，
∴△DEM是等腰三角形．
【點評】
此題考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質，解題關鍵在于得出BM⊥AC.
7．已知，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，點 D 為 BC 的中點．
(1)點 E、F 分別為 AB、AC 上的中點，請按要求作出滿足條件的△ABC 圖形并證明：DE＝DF；
(2)如圖①，若點 E、F 分別為 AB、AC 上的點，且 DE⊥DF，求證：BE＝AF；
(3)若點 E、F 分別為 AB、CA 延長線上的點，且 DE⊥DF，那么 BE＝AF 嗎？請利用圖②說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） BE＝AF，見解析．
【解析】
【分析】
（1）畫圖并證明△AED≌△AFD，可得DE＝DF；
（2）如圖①，證明△BDE≌△ADF，可得BE＝AF；
（3）如圖②，證明△EDB≌△FDA，可得BE＝AF．
【詳解】
（1）如圖，連接AD．

∵∠A＝90°，AB＝AC，點D為BC的中點，∴∠EAD＝∠FAD．
∵點E、F分別為AB、AC上的中點，∴AEAB，AFAC．
在△AED和△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF；
（2）連接AD，如圖①所示．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∠B＝45°．
∵點D為BC的中點，∴ADBC＝BD，∠FAD＝45°．
∵∠BDE+∠EDA＝90°，∠EDA+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF．
在△BDE和△ADF中，∵，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（3）BE＝AF．證明如下：
連接AD，如圖②所示．
∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°．
∵∠EDB+∠BDF＝90°，∠BDF+∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA．
在△EDB和△FDA中，∵，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE＝AF．

【點評】
本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線、構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
8．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù)．

【答案】77° 38.5°
【解析】
【分析】
由題意,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°根據(jù)等腰三角形的性質可以求出底角,再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關系即可求出內(nèi)角∠C.
【詳解】
解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，
在三角形ADC中，
∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．
【點評】
本題考查等腰三角形的性質及應用等腰三角形兩底角相等,還考查了三角形的內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關系.利用三角形的內(nèi)角求角的度數(shù)是一種常用的方法,要熟練掌握.
9．已知與是兩個大小不同的等腰直角三角形．
如圖①所示，連接，，試判斷線段和的數(shù)量和位置關系，并說明理由；
如圖②所示，連接，將線段繞點順時針旋轉到，連接，試判斷線段和的數(shù)量和位置關系，并說明理由．

【答案】（1），，證明見解析；（2），，證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定定理證明RtBCD≌Rt△ACE，根據(jù)全等三角形的性質進行解答即可；
（2）證明△EBD≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質證明即可.
【詳解】
（1），，理由如下：
如圖①，延長DB交AE于點H，
∵與是等腰直角三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；

（2），，理由如下：
如圖②，設與交于，
由題意得，，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即．

【點評】
本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質定理是解題的關鍵.
10．已知等腰三角形的周長為28cm，其中的一邊長是另一邊長的倍，求這個等腰三角形各邊的長．
【答案】：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm
【解析】
【分析】
本題給出了等腰三角形的兩邊間的比例關系，但是沒有明確這兩邊哪邊是底，哪邊是腰，因此要分兩種情況討論．
【詳解】
解：設等腰三角形的一邊長為xcm，則另一邊長為xcm，
則等腰三角形的三邊有兩種情況：xcm，xcm，xcm或xcm，xcm，xcm，
則有：①x+x+x=28，得x=8cm，
所以三邊為：8cm、8cm、12cm；
②x+x+x=28，得x=7cm，
所以三邊為7cm、10.5cm、10.5cm．
因此等腰三角形的三邊的長為：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm．
【點評】
本題主要考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，本題從邊的方面考查三角形，利用分情況討論的思想方法是解決本題的關鍵．
11．如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，點E在BC上．過點D作DF∥BC，連接DB．

求證：（1）△ABD≌△ACE；
（2）DF=CE．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
分析：（1）求出∠BAD=∠BAC，根據(jù)SAS證出△BAD≌△CAE即可；
（2）根據(jù)全等推出∠DBA=∠C，根據(jù)等腰三角形性質得出∠C=∠ABC，根據(jù)平行線性質得出∠ABC=∠DFB，推出∠DFB=∠DBF，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可．
詳解：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠EAC．在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△BAD≌△CAE，∴∠DBA=∠C．
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC．
∵DF∥BC，∴∠DFB=∠ABC=∠C=∠DBA，即∠DFB=∠DBF，∴DF=CE．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質，等腰三角形的性質和判定等知識點，主要考查學生運用性質進行推理的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．
12．等邊△ABD和等邊△BCE如圖所示，連接AE與CD．

證明：（1）AE＝DC；
（2）AE與DC的夾角為60°；
（3）AE延長線與DC的交點設為H，求證：BH平分∠AHC．
【答案】（1）詳見解析；（2）60°；（3）詳見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)△ABD和△BCE都是等邊三角形，即可得到△ABE≌△DBC（SAS），進而得出AE＝DC；
（2）根據(jù)全等三角形的性質以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到△ADH中，∠AHD＝60°，進而得到AE與DC的夾角為60°；
（3）過B作BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，根據(jù)全等三角形的面積相等，即可得到BG＝BF，再根據(jù)BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，可得BH平分∠AHC．
【詳解】
證明：（1）∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，
∴AB＝DB，EB＝CB，∠ABD＝∠EBC
∴∠ABE＝∠DBC
∴在△ABE和△DBC中

∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴AE＝DC；
（2）∵△ABE≌△DBC
∴∠BAE＝∠BDC
又∵∠BAE+∠HAD+∠ADB＝120°
∴∠BDC+∠HAD+∠ADB＝120°
∴△ADH中，∠AHD＝180°﹣120°＝60°
即AE與DC的夾角為60°；
（3）過B作BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，如圖：

∵△ABE≌△DBC
∴S△ABE＝S△DBC，即AE×BGDC×BF
∵AE＝DC
∴BG＝BF
∵BF⊥DC于F，BG⊥AH于G
∴BH平分∠AHC．
【點評】
本題考查了等邊三角形性質、全等三角形的性質和判定、三角形的內(nèi)角和定理、等式性質、角平分線的判定等知識點的綜合運用，證明是解決問題的關鍵．
13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P為BC上的任意一點，過P點分別作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）若P為BC邊中點，則PE，PF，CD三條線段有何數(shù)量關系（寫出推理過程）？
（2）若P為線段BC上任意一點，則（1）中關系還成立嗎？
（3）若P為直線BC上任意一點，則PE，PF，CD三條線段間有何數(shù)量關系（請直接寫出）．

【答案】（1）CD＝PE+PF，理由詳見解析；（2）成立，理由詳見解析；（3）PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD．
【解析】
【分析】
（1）如圖1，連接PA，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結論；
（2）連接PA，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論；
（3）如圖2和圖3，連接PA，根據(jù)三角形的面積列方程即可得到結論．
【詳解】
（1）CD＝PE+PF．理由如下：
如圖1，連接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．
∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF．
（2）成立，理由如下：
連接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．
∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF．
（3）結論：PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD．理由如下：
如圖2，連接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB，∴AB×CDAC×PFAB×PE．
∵AB＝AC，∴CD＝PF﹣PE．
如圖3，連接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAB﹣S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．
∵AB＝AC，∴CD＝PE﹣PF．

【點評】
本題考查了等腰三角形的性質；在解決一題多變的時候，基本思路是相同的；注意通過不同的方法計算同一個圖形的面積，來進行證明結論的方法，是非常獨特的，也是一種很好的方法，注意掌握應用．
14．如果兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD．

證明：（1）AE與DC的夾角為60°；
（2）AE與DC的交點設為H，BH平分∠AHC．
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)等邊三角形性質得出，，，求出．根據(jù)證，則，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出；
（2）過點分別作，，垂足為點、，再（1）結論的基礎上根據(jù)全等三角形的性質以及三角形的面積公式求得，然后根據(jù)角平分線的判定即可得證結論．
【詳解】
證明：（1）∵和是等邊三角形
∴，，
∴
在和中，

∴
∴，
∵
∴在中，


；
（2）過點分別作，，垂足為點、，如圖：

∵由（1）知：
∴，
∴
∴
∵，
∴點在的平分線上，
∴平分．
【點評】
本題考查了等邊三角形性質、三角形的面積、全等三角形的性質和判定、三角形的內(nèi)角和定理、等式性質、角平分線的判定等知識點的綜合運用，證明是解決問題的關鍵．
15．已知：如圖，∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC，

①求證：△ADE為等腰三角形．
②若∠B＝60°，求證：△ADE為等邊三角形．
【答案】①見解析；②見解析.
【解析】
【分析】
①先根據(jù)∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC，判定△ABD≌DCE，得出DA＝DE，進而得到△ADE為等腰三角形；
②根據(jù)△ABD≌△DCE，得出∠BAD＝∠CDE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義，得到∠ADE＝60°，最后可判定等腰△ADE為等邊三角形．
【詳解】
①在△ABD和△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴DA＝DE，
即△ADE為等腰三角形
②∵△ABD≌△DCE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°，
∴∠CDE+∠ADB＝120°，
∴∠ADE＝60°，
又∵△ADE為等腰三角形，
∴△ADE為等邊三角形．
【點評】
本題主要考查了等腰三角形和等邊三角形的判定以及全等三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法．解題時注意第②問中三角形內(nèi)角和定理及平角定義的綜合運用．

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