?專題18.31 矩形、菱形、正方形-中考真題（專項練習）
一、單選題
1．（2020·湖北中考真題）已知中，下列條件：①；②；③；④平分，其中能說明是矩形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2020·貴州遵義市·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點D作DE⊥BA，交BA的延長線于點E，則線段DE的長為（　?。?br />
A． B． C．4 D．
3．（2016·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE，若AB的長為2，則FM的長為( )

A．2 B． C． D．1
4．（2018·黑龍江牡丹江市·中考真題）如圖，E為矩形ABCD的邊AB上一點，將矩形沿CE折疊，使點B恰好落在ED上的點F處，若BE=1，BC=3，則CD的長為（　?。?br />
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2013·河北中考真題）如已知：線段AB，BC，∠ABC =" 90°." 求作：矩形ABCD．
以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：

對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是
A．兩人都對 B．兩人都不對
C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對
6．（2020·內蒙古赤峰市·中考真題）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，點F是線段DE上的一點連接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，則EF的長是 （ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2020·浙江衢州市·中考真題）如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進行兩次折疊，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，則AB的長度為（　?。?br />
A． B． C． D．
8．（2020·山東日照市·中考真題）已知菱形的周長為8，兩鄰角的度數(shù)比為1：2，則菱形的面積為（　?。?br /> A．8 B．8 C．4 D．2
9．（2014·浙江舟山市·中考真題）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AD＝4cm，點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點．現(xiàn)將這張紙片折疊，使點B落在EF上的點G處，折痕為AH．若HG的延長線恰好經(jīng)過點D，則CD的長為（ ）

A．2cm B．cm C．4cm D．cm
10．（2018·重慶中考真題）下列命題正確的是（ ）
A．平行四邊形的對角線互相垂直平分 B．矩形的對角線互相垂直平分
C．菱形的對角線互相平分且相等 D．正方形的對角線互相垂直平分
11．（2020·浙江臺州市·中考真題）把一張寬為1cm的長方形紙片ABCD折疊成如圖所示的陰影圖案，頂點A，D互相重合，中間空白部分是以E為直角頂點，腰長為2cm的等腰直角三角形，則紙片的長AD（單位：cm）為（ ）

A． B． C． D．
12．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點在上且，為對角線上一動點，則周長的最小值為（ ）．

A．5 B．6 C．7 D．8

二、填空題
13．（2016·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，請你添加一個適當?shù)臈l件________使其成為菱形（只填一個即可）．　

14．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）如圖，點P是正方形ABCD內位于對角線AC下方的一點，∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為_____°．

15．（2020·山東淄博市·中考真題）如圖，矩形紙片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E為邊CD上一點．將△BCE沿BE所在的直線折疊，點C恰好落在AD邊上的點F處，過點F作FM⊥BE，垂足為點M，取AF的中點N，連接MN，則MN＝_____cm．

16．（2012·山東臨沂市·中考真題）如圖，CD與BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，則∠CAD= °．

17．（2020·廣西河池市·中考真題）如圖，菱形ABCD的周長為16，AC，BD交于點O，點E在BC上，OE∥AB，則OE的長是_____．

18．（2020·河南中考真題）如圖，在邊長為的正方形中，點分別是邊的中點，連接點分別是的中點，連接，則的長度為__________．


19．（2014·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，若菱形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（﹣3，0），（2，0），點D在y軸上，則點C的坐標是_______．

20．（2015·貴州安順市·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點，BE=1，F(xiàn)為AB上的一點，AF=2，P為AC上的一個動點，則PF＋PE 的最小值為______________

21．（2020·甘肅蘭州市·中考真題）如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足，連接AC交BN于點E，連接DE交AM于點F，連接CF，若正方形的邊長為6，則線段CF的最小值是______．

22．（2020·西藏中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點，P為BC邊上的任意一點，把沿PE折疊，得到，連接CF．若AB＝10，BC＝12，則CF的最小值為_____．

23．（2020·遼寧盤錦市·中考真題）如圖，菱形的邊長為4，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點，直線交于點，連接，則的長為____________．

24．（2020·湖南邵陽市·中考真題）如圖，在中，，斜邊，過點C作，以為邊作菱形，若，則的面積為________．


三、解答題
25．（2020·湖南婁底市·中考真題）如圖，中，，，分別在邊、上的點E與點F關于對稱，連接、、、．
（1）試判定四邊形的形狀，并說明理由；
（2）求證：

26．（2018·四川內江市·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的點，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．
求證：（1）△AED≌△CFD；
（2）四邊形ABCD是菱形．

27．（2020·山東日照市·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB為邊在AB上方作正方形ABDE，過點D作DF⊥CB，交CB的延長線于點F，連接BE．
（1）求證：△ABC≌△BDF；
（2）P，N分別為AC，BE上的動點，連接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．

28．（2020·黑龍江鶴崗市·中考真題）以的兩邊、為邊，向外作正方形和正方形，連接，過點作于，延長交于點．
　
（1）如圖1，若，，易證：；
（2）如圖2，；如圖3，，（1）中結論，是否成立，若成立，選擇一個圖形進行證明；若不成立，寫出你的結論，并說明理由．
29．（2020·湖北中考真題）如圖1，已知，，點D在上，連接并延長交于點F．
（1）猜想：線段與的數(shù)量關系為_____；
（2）探究：若將圖1的繞點B順時針方向旋轉，當小于時，得到圖2，連接并延長交于點F，則（1）中的結論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）拓展：圖1中，過點E作，垂足為點G．當?shù)拇笮“l(fā)生變化，其它條件不變時，若，，直接寫出的長．

30．（2020·山東臨沂市·中考真題）如圖，菱形的邊長為1，，點E是邊上任意一點（端點除外），線段的垂直平分線交，分別于點F，G，，的中點分別為M，N．
（1）求證：；
（2）求的最小值；
（3）當點E在上運動時，的大小是否變化？為什么？


參考答案
1．B
【分析】
根據(jù)矩形的判定進行分析即可．
【詳解】
A. ，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A錯誤；
B. ，對角線相等的平行四邊形是矩形，故B正確；
C. ，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C錯誤；
D. 平分，對角線平分其每一組對角的平行四邊形是菱形，故D錯誤．
故選：B．
【點撥】
本題考查了矩形的判定，熟知矩形從邊，角，對角線三個方向的判定是解題的關鍵．
2．D
【分析】
利用菱形的面積等于兩對角線之積的一半，求解菱形的面積，再利用等面積法求菱形的高即可．
【詳解】
解：記AC與BD的交點為，
菱形,



菱形的面積

菱形的面積


故選D．

【點撥】
本題考查的是菱形的性質，菱形的面積公式，勾股定理．理解菱形的對角線互相垂直平分和學會用等面積法是解題關鍵．
3．B
【詳解】
∵四邊形ABCD為正方形，AB=2，
過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，
∴FB=AB=2，BM=1，
則在Rt△BMF中，F(xiàn)M===，
故選B．
考點：翻折變換（折疊問題）．
4．B
【分析】
先根據(jù)翻折變換的性質得出EF=BE=1,BC=CF=AD=3,可證得△AED≌△FDC 進而求得CD的長.
【詳解】
解:由題意得：E為矩形ABCD的邊AB上一點，將矩形沿CE折疊，使點B恰好落在ED上的點F處，可得BE=EF=1,CF=BC=3,∠EFC=∠B=
ABCD為矩形，可得∠AED=∠CDF,
在△AED與△FDC中有: AD=CF,∠A=∠DFC=,∠AED=∠CDF
△AED≌△FDC, ED=CD,
設CD的長為x，在Rt△EAD中，
有,
即:,解得;x=5，
故答案為B.
【點撥】
本題主要考查矩形的性質和翻折變換后的性質，靈活證三角形全等是解題的關鍵.
5．A
【詳解】
對于甲：由兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形及∠B=90°，得四邊形ABCD是矩形，正確；
對于乙：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形及∠B=90°，得四邊形ABCD是矩形，，正確．
因此，對于兩人的作業(yè)，兩人都對．
故選A．
6．B
【分析】
根據(jù)直角三角形的性質得到DF=4，根據(jù)BC= 14，由三角形中位線定理得到DE=7，解答即可．
【詳解】
解：∵∠AFB=90°，點D是AB的中點，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分別是AB，AC的中點，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故選：B
【點撥】
本題考查了直角三角形的性質和中位線性質，掌握定理是解題的關鍵．
7．A
【分析】
先判斷出∠ADE=45°，進而判斷出AE=AD，利用勾股定理即可得出結論．
解：由折疊補全圖形如圖所示，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB，
由第一次折疊得：∠DAE=∠A=90°，∠ADE=∠ADC=45°，
∴∠AED=∠ADE=45°，
∴AE=AD=1，
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=AD=，
由第二次折疊可知，
∴
故選：A．

【點撥】
本題考查了圖形的折疊和勾股定理，搞清楚折疊中線段的數(shù)量關系是解決此類題的關鍵．
8．D
【分析】
根據(jù)菱形的性質和菱形面積公式即可求出結果．
解：如圖，∵兩鄰角度數(shù)之比為1：2，兩鄰角和為180°，
∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，
∵菱形的周長為8，
∴邊長AB＝2，
∴菱形的對角線AC＝2，BD＝2×2sin60°＝2，
∴菱形的面積＝AC?BD＝×2×2＝2．

故選：D．
【點撥】
本題考查菱形的性質，解題關鍵是掌握菱形的性質．
9．B
【分析】
先證明EG是△DCH的中位線，繼而得出DG=HG，然后證明△ADG≌△AHG，得出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°，在Rt△ABH中，可求出AB，也即是CD的長．
【詳解】
∵點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點，
∴EF⊥AB，
∴EF∥BC，
∴EG是△DCH的中位線，
∴DG=HG，
由折疊的性質可得：∠AGH=∠ABH=90°，
∴∠AGH=∠AGD=90°，
在△AGH和△AGD中，
，
∴△ADG≌△AHG（SAS），
∴AD=AH，∠DAG=∠HAG，
由折疊的性質可得：∠BAH=∠HAG，
∴∠BAH=∠HAG=∠DAG=∠BAD=30°，
在Rt△ABH中，AH=AD=4，∠BAH=30°，
∴HB=2，AB=2，
∴CD=AB=2．
故選B．
【點撥】
本題考查了翻折變換、三角形的中位線定理，解答本題的關鍵是判斷出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°，注意熟練掌握翻折變換的性質．
10．D
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質逐項進行判斷即可得.
【詳解】A、平行四邊形的對角線互相平分，故A選項錯誤；
B、矩形的對角線相等且互相平分，故B選項錯誤；
C、菱形的對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角，故C選項錯誤；
D、正方形的對角線互相垂直平分，故D選項正確，
故選D.
【點撥】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關對角線的性質，熟練掌握是解題的關鍵.
11．D
【分析】
如圖，過點M作MH⊥A'R于H，過點N作NJ⊥A'W于J．想辦法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解決問題．
【詳解】
解：如圖，過點M作MH⊥A'R于H，過點N作NJ⊥A'W于J．

由題意△EMN是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=
∵四邊形EMHK是矩形，
∴EK= A'K=MH=1，KH=EM=2，
∵△RMH是等腰直角三角形，
∴RH=MH=1，RM=，同法可證NW=，
題意AR=R A'= A'W=WD=4，
∴AD=AR+RM+MN+NW+DW=4++++4=.
故答案為：D.
【點撥】
本題考查翻折變換，等腰直角三角形的判定和性質，矩形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形或特殊四邊形解決問題．
12．B
【分析】
連接ED交AC于一點F，連接BF，根據(jù)正方形的對稱性得到此時的周長最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案.
【詳解】
連接ED交AC于一點F，連接BF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點B與點D關于AC對稱，
∴BF=DF，
∴的周長=BF+EF+BE=DE+BE，此時周長最小，
∵正方形的邊長為4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵點在上且，
∴AE=3，
∴DE=，
∴的周長=5+1=6，
故選：B.

【點撥】
此題考查正方形的性質：四條邊都相等，四個角都是直角以及正方形的對稱性質，還考查了勾股定理的計算，依據(jù)對稱性得到連接DE交AC于點F是的周長有最小值的思路是解題的關鍵.
13．AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC（填一個即可）．
【解析】
試題分析：根據(jù)菱形的判定定理，已知平行四邊形ABCD，添加一個適當?shù)臈l件為：AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC使其成為菱形．
考點：菱形的判定．
14．135
【分析】
由正方形的性質可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形內角和定理可求解．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案為：135．
【點撥】
本題考查了正方形的性質，三角形內角和定理，掌握正方形的性質是本題的關鍵．
15．5
【詳解】
連接AC，F(xiàn)C，求出AC，利用三角形的中位線定理解決問題即可．
【解答】解：連接AC，F(xiàn)C．

由翻折的性質可知，BE垂直平分線段CF，
∴FM⊥BE，∴F．M，C共線，F(xiàn)M＝MC，
∵AN＝FN，∴MN＝AC，
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），
故答案為5．
【點評】本題考查翻折變換，矩形的性質，三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造三角形中位線解決問題，屬于中考?？碱}型．
16．70．
【分析】
先證明四邊形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度數(shù)，再利用三角形內角和等于180°求出∠BAD的度數(shù)，然后根據(jù)軸對稱性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可．
【詳解】
∵CD與BE互相垂直平分，∴四邊形BDEC是菱形．∴DB=DE．
∵∠BDE=70°，∴∠ABD==55°．
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°．
根據(jù)軸對稱性，四邊形ACBD關于直線AB成軸對稱，
∴∠BAC=∠BAD=35°．∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
17．2
【分析】
由菱形的性質得出AB＝4，由三角形中位線定理即可得出OE的長．
解：∵菱形ABCD的周長為16，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，OA＝OC，
∵OE∥AB，且O點是AC的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE＝AB＝2，
故答案為：2．
【點撥】本題考察了菱形的性質、三角形中位線的應用過，解題的關鍵在于找出OE是△ABC的中位線．
18．1
【分析】
過E作，過G作，過H作，與相交于I，分別求出HI和GI的長，利用勾股定理即可求解．
【詳解】
過E作，過G作，過H作，垂足分別為P，R，R，與相交于I，如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴，
，
∴四邊形AEPD是矩形，
∴，
∵點E，F(xiàn)分別是AB，BC邊的中點，
∴，
，，

∵點G是EC的中點，
是的中位線，
，
同理可求：，
由作圖可知四邊形HIQP是矩形，
又HP=FC，HI=HR=PC，
而FC=PC，
∴ ，
∴四邊形HIQP是正方形，
∴，
∴
是等腰直角三角形，

故答案為：1．
【點撥】
此題主要考查了正方形的判定與性質，三角形的中位線與勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答此題的關鍵．
19．（5，4）．
【分析】
利用菱形的性質以及勾股定理得出DO的長，進而求出C點坐標．
解：∵菱形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（﹣3，0），（2，0），點D在y軸上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴點C的坐標是：（5，4）．
故答案為（5，4）．

20．
【詳解】
試題分析：∵正方形ABCD是軸對稱圖形，AC是一條對稱軸
∴點F關于AC的對稱點在線段AD上，設為點G，連結EG與AC交于點P，則PF+PE的最小值為EG的長
∵AB=4，AF=2，∴AG=AF=2
∴EG=

考點：軸對稱圖形
21．
【分析】
先判斷出≌，得出，進而判斷出≌，得出，即可判斷出，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，利用勾股定理列式求出OC，然后根據(jù)三角形的三邊關系可知當O、F、C三點共線時，CF的長度最?。?br /> 【詳解】
如圖，

在正方形ABCD中，，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
取AD的中點O，連接OF、OC，
則，
在中，，
根據(jù)三角形的三邊關系，，
當O、F、C三點共線時，CF的長度最小，
最小值，
故答案為．
【點撥】
本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形的三邊關系等，綜合性較強，有一定的難度，確定出CF最小時點F的位置是解題關鍵．
22．8
【分析】
點F在以E為圓心、EA為半徑的圓上運動，當E、F、C共線時時，此時FC的值最小，根據(jù)勾股定理求出CE，再根據(jù)折疊的性質得到BE＝EF＝5即可．
解：如圖所示，點F在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當E、F、C共線時時，此時CF的值最小，

根據(jù)折疊的性質，△EBP≌△EFP，
∴EF⊥PF，EB＝EF，
∵E是AB邊的中點，AB＝10，
∴AE＝EF＝5，
∵AD＝BC＝12，
∴CE＝＝＝13，
∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．
故答案為8．
【點撥】
本題考查了折疊的性質、全等三角形的判定與性質、兩點之間線段最短的綜合運用，靈活應用相關知識是解答本題的關鍵．
23．
【分析】
連接BE，由垂直平分線的性質和等腰直角三角形的性質，得BE=AE=， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的長度．
解：連接BE，如圖：

由題意可知，MN垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴，則∠AEB=90°，
在等腰直角三角形ABE中，AB=4，
∴BE=AE=，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理，則
；
故答案為：．
【點撥】
本題考查了菱形的性質，垂直平分線的性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確得到∠EBC=∠AEB=90°．
24．
【分析】
如下圖，先利用直角三角形中30°角的性質求出HE的長度，然后利用平行線間的距離處處相等，可得CG的長度，即可求出直角三角形ABC面積．
【詳解】

如圖，分別過點E、C作EH、CG垂直AB，垂足為點H、G，
∵根據(jù)題意四邊形ABEF為菱形，
∴AB=BE=，
又∵∠ABE=30°
∴在RT△BHE中，EH=，
根據(jù)題意，AB∥CF，
根據(jù)平行線間的距離處處相等，
∴HE=CG=，
∴的面積為．
【點撥】
本題的輔助線是解答本題的關鍵，通過輔助線，利用直角三角形中的30°角所對直角邊是斜邊一半的性質，求出HE，再利用平行線間的距離處處相等這一知識點得到HE=CG，最終求出直角三角形面積．
25．（1）四邊形為菱形，理由詳見解析；（2）詳見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意可證明，再由可得到四邊形是菱形；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質即可求解．
解：（1）四邊形為菱形，理由如下
由可得，從而
設與相交于點O
∵點E與點F關于對稱
∴且
在和中

∴
∴，又
∴四邊形為菱形，

（2）∵，據(jù)（1）C
∴
又∵∴

∴．
【點撥】
此題主要考查菱形的判定與性質，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定與性質、菱形的判定定理及直角三角形的性質．
26．（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【解析】
分析：（1）由全等三角形的判定定理ASA證得結論；
（2）由“鄰邊相等的平行四邊形為菱形”證得結論．
詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C．
在△AED與△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）由（1）知，△AED≌△CFD，則AD=CD．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．
點撥：考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質，解題的關鍵是掌握相關的性質與定理．
27．（1）見解析；（2）14
【分析】
（1）根據(jù)正方形的性質得出BD=AB，∠DBA=90°，進而得出∠DBF=∠CAB，因為∠C=∠DFB=90°．根據(jù)AAS即可證得結論；
（2）根據(jù)正方形的性質AN=DN，如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，根據(jù)垂線段最短，作DP1⊥AC，交BE于點N1，垂足為P1，則AN+PN的最小值等于DP1=FC=14．
【詳解】
（1）證明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，
∴∠C＝∠DFB＝90°．
∵四邊形ABDE是正方形，
∴BD＝AB，∠DBA＝90°，
∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠DBF＝∠CAB，
∴△ABC≌△BDF（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△BDF，
∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，
∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．
如圖，連接DN，
∵BE是正方形頂點A與頂點D的對稱軸，
∴AN＝DN．
如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，
由于點P、N分別是AC和BE上的動點，
作DP1⊥AC，交BE于點N1，垂足為P1，
所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．

【點撥】
本題考查正方形的性質，三角形全等的判定和性質，軸對稱-最短路線問題，熟練掌握正方形的性質是解題關鍵．
28．（1）見解析；（2）時，（1）中結論成立，證明見解析；時，（1）中結論成立，證明見解析．
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性質得出∠MAC=45°，證得∠EAN=∠NAG，由等腰三角形的性質得出結論；
（2）如圖1，2，證明方法相同，利用“AAS”證明△ABM和△EAP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EP=AM，同理可證GQ=AM，從而得到EP=GQ，再利用“AAS”證明△EPN和△GQN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EN=NG．
（1）證明：∵，，∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∵四邊形和四邊形為正方形，
∴，
∴.
（2）如圖1，時，（1）中結論成立.

理由：過點作交的延長線于，
過點作于，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
如圖2，時，（1）中結論成立.

理由：過點作交的延長線于，
過點作于，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
【點撥】
本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質等知識；正確作出輔助線，構造全等三角形，運用全等三角形的性質是解題的關鍵．
29．(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12
【分析】
(1) 延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；
(2)證明原理同(1)，延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；
(3)補充完整圖后證明四邊形AEGC為矩形，進而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．
【詳解】
解：(1)延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示

∵，
∴DE=AC，BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，
∴∠ADF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠ADF+∠FDE=90°，
∴∠ACD=∠FDE，
又延長DF使得FG=DC，
∴FG+DF=DC+DF，
∴DG=CF，
在△ACF和△EDG中，
，
∴△ACF△EDG(SAS)，
∴GE=AF，∠G=∠AFC，
又∠AFC=∠GFE，
∴∠G=∠GFE
∴GE=EF
∴AF=EF，
故AF與EF的數(shù)量關系為：AF=EF.
故答案為：AF=EF；
(2)仍舊成立，理由如下：
延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示
設BD延長線DM交AE于M點，

∵，
∴DE=AC，BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，
∴∠MDF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠MDF+∠FDE=90°，
∴∠ACD=∠FDE，
又延長DF使得FG=DC，
∴FG+DF=DC+DF，
∴DG=CF，
在△ACF和△EDG中，
，
∴△ACF△EDG(SAS)，
∴GE=AF，∠G=∠AFC，
又∠AFC=∠GFE，
∴∠G=∠GFE
∴GE=EF，
∴AF=EF，
故AF與EF的數(shù)量關系為：AF=EF.
故答案為：AF=EF；
(3)如下圖所示：

∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠BAE=∠EBG,
∴∠BEA=∠EBG，
∴AECG，
∴∠AEG+∠G=180°，
∴∠AEG=90°，
∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，
∴四邊形AEGC為矩形，
∴AC=EG，且AB=BE，
∴Rt△ACBRt△EGB(HL)，
∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，
又∵ED=AC=EG，且EB=EB，
∴Rt△EDBRt△EGB(HL)，
∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，
∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，
∴∠BAC=30°，
∴在Rt△ABC中由30°所對的直角邊等于斜邊的一半可知：
．
故答案為：．
【點撥】本題屬于四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質和判定，矩形的性質和判定，本題的關鍵是延長DF到G點并使FG=DC，進而構造全等，本題難度稍大，需要作出合適的輔助線．
30．（1）見解析；（2）；（3）不變，理由見解析.
【分析】
（1）連接CF，根據(jù)垂直平分線的性質和菱形的對稱性得到CF=EF和CF=AF即可得證；
（2）連接AC，根據(jù)菱形對稱性得到AF+CF最小值為AC，再根據(jù)中位線的性質得到MN+NG的最小值為AC的一半，即可求解；
（3）延長EF，交DC于H，利用外角的性質證明∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，再由AF=CF=EF，得到∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，從而推斷出∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，從而可求出∠ABF=∠CEF=30°，即可證明.
解：（1）連接CF，
∵FG垂直平分CE，
∴CF=EF，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴A和C關于對角線BD對稱，
∴CF=AF，
∴AF=EF；

（2）連接AC，
∵M和N分別是AE和EF的中點，點G為CE中點，
∴MN=AF，NG=CF，即MN+NG=（AF+CF），
當點F與菱形ABCD對角線交點O重合時，
AF+CF最小，即此時MN+NG最小，
∵菱形ABCD邊長為1，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，AC=AB=1，
即MN+NG的最小值為；

（3）不變，理由是：
延長EF，交DC于H，
∵∠CFH=∠FCE+∠FEC，∠AFH=∠FAE+∠FEA，
∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，
∵點F在菱形ABCD對角線BD上，根據(jù)菱形的對稱性可得：
∠AFD=∠CFD=∠AFC，
∵AF=CF=EF，
∴∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，
∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，
∴∠ABF=∠CEF，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABF=∠CEF=30°，為定值.

【點撥】本題考查了菱形的性質，最短路徑，等邊三角形的判定和性質，中位線定理，難度一般，題中線段較多，需要理清線段之間的關系．

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