?專題18.33 正方形與45°的有關(guān)模型（鞏固篇）
（專項(xiàng)練習(xí)）
一、單選題
1．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，BE=EC，將正方形邊CD沿DE折疊到DF，延長(zhǎng)EF交AB于G，連接DG，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：①AG+EC=GE；②；③的周長(zhǎng)是一個(gè)定值；④連結(jié)FC，的面積等于．在以上4個(gè)結(jié)論中，正確的是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6，6)，點(diǎn)E、F分別在邊BC、BA上，OE=3．若∠EOF=45°，則F點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 ( 　 )

A．2 B． C． D．－1
3．如圖，正方形和正方形的頂點(diǎn)在同一直線上，且，給出下列結(jié)論：，，的面積，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
4．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BD上，且，延長(zhǎng)CE交AD于F，則為(　　)

A． B． C． D．


二、填空題
5．正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，則∠EAF的度數(shù)是_______．

6．如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，將正方形邊AB沿AE折疊到AF，延長(zhǎng)EF交DC于G，連接AG，則∠EAG＝_____度．

7．如圖，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，正方形ABCD，BEFG的邊長(zhǎng)分別為2，3，H為線段DF的中點(diǎn)，則BH＝_____．

8．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若，則的長(zhǎng)為__________．

9．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，連接AE、EF、AF，且∠EAF＝45°，下列結(jié)論：
①△ABE≌△ADF；
②∠AEB＝∠AEF；
③正方形ABCD的周長(zhǎng)＝2△CEF的周長(zhǎng)；
④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正確的是_____．（只填寫序號(hào)）

10．如圖，在正方形中，、分別是邊、上的點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為6，則正方形的邊長(zhǎng)為__________.

11．如圖，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至，使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上．已知，則___________度；如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為分別是邊上的點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．若，則的長(zhǎng)為_________ ．

12．如圖，正方形被與邊平行的線段、分割成4個(gè)小矩形，是與的交點(diǎn)，若矩形的面積恰好是矩形面積的2倍，則的大小為__________．


三、解答題
13．如圖，在四邊形紙片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊 BC，CD 上，將 AB，AD 分別沿 AE，AF 折疊，點(diǎn) B，D 恰好都和點(diǎn) G 重合，∠EAF＝45°．

（1）求證：四邊形 ABCD 是正方形；
（2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的長(zhǎng)度．


14．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°
（1）求證：BE+DF=EF
（2）當(dāng)BE=1時(shí)，求EF的長(zhǎng)




15．如圖，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，過(guò)點(diǎn)作，且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上．

（1）與全等嗎？為什么？
（2）若，，求的長(zhǎng)．




16．如圖，在矩形中，的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

（1）求證：四邊形是正方形；
（2）若，求證：；
（3）在（2）的條件下，已知，求的長(zhǎng)．


17．分層探究
（1）問(wèn)題提出：如圖1，點(diǎn)E、F別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF，解題思路：把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)　 　度至△ADG，可使AB與AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，則知F、D、G三點(diǎn)共線，從而可證△AFG≌　 　（　 ?。瑥亩肊F＝BE+DF，閱讀以上內(nèi)容并填空．
（2）類比引申：如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，當(dāng)∠B、∠D滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有EF＝BE+DF？
（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的數(shù)量關(guān)系，并給出理由．



18．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．
（1）求證：EF＝CF+AE；
（2）當(dāng)AE＝2時(shí)，求EF的長(zhǎng)．



19．（1）如圖1所示，已知正方形中，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．求證：；
（2）如圖2所示，在正方形中，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，如果，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論證明：．









20．（1）如圖，在正方形 ABCD 中，∠FAG=45°，請(qǐng)直接寫出 DG，BF 與FG 的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．

（2）如圖，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F(xiàn) 分別是 BC 上兩點(diǎn)，∠EAF=45°，
①寫出 BE，CF，EF 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

②若將（2）中的△AEF 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，上述結(jié)論是否仍然成立？ 若不成立，直接寫出新的結(jié)論 ，無(wú)需證明．

（3）如圖，△AEF 中∠EAF=45°，AG⊥EF 于 G，且GF=2，GE=3，則 = ．





21．正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，，求的度數(shù)．




22．如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，連接EF，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．例如圖中△ADF與△ABG可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系．這可以證明結(jié)論“EF＝BE＋DF”，請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的作法，并寫出證明過(guò)程．

（1）延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG＝ ，連接AG；
（2）證明：EF＝BE＋DF










23．如圖，過(guò)線段AB的端點(diǎn)B作射線BG⊥AB，P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APCD，且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點(diǎn)E，使∠EAP＝∠BAP，直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合）．
（1）求證：≌；
（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）試探究AE+EF+AF與2AB是否相等，并說(shuō)明理由．







參考答案
1．D
【分析】
根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根據(jù)“HL”判定，再由，從而判斷①，由對(duì)折可得： 由，可得：從而可判斷②， 設(shè) 則利用三角形的周長(zhǎng)公式可判斷③，如圖，連接 證明是直角三角形，從而可判斷④，從而可得本題的結(jié)論．
【詳解】
解：由正方形與折疊可知，
DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，

∴，


故①正確；
由對(duì)折可得：
，



故②正確；
設(shè)
則

所以：的周長(zhǎng)是一個(gè)定值，
故③正確，
如圖，連接
由對(duì)折可得：






故④正確．

綜上：①②③④都正確．
故選
【點(diǎn)撥】
本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．A
【分析】
如圖，連接EF，延長(zhǎng)BA使得AM=CE，則△OCE≌△OAM．先證明△OFE≌△FOM，推出EF=FM=AF+AM=AF+CE，設(shè)AF=x，在Rt△EFB中利用勾股定理列出方程即可解決問(wèn)題．
【詳解】
如圖，連接EF，延長(zhǎng)BA，使得AM=CE，
∵OA=OC，∠OCE=∠AOM，
∴△OCE≌△OAM（SAS）．

∴OE=OM，∠COE=∠MOA，
∵∠EOF=45°，
∴∠COE+∠AOF=45°，
∴∠MOA+∠AOF=45°，
∴∠EOF=∠MOF，
在△OFE和△OFM中，
，
∴△OFE≌△FOM（SAS），
∴EF=FM=AF+AM=AF+CE，
設(shè)AF=，
∵CE=，
∴EF=，EB=3，，
∴()2=32+()2，
∴，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為，
故選：A
【點(diǎn)撥】
本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型．
3．B
【分析】
①根據(jù)正方形的性質(zhì)和平角的定義可求∠COD；
②根據(jù)正方形的性質(zhì)可求OE，再根據(jù)線段的和差關(guān)系可求AE的長(zhǎng)；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)含45°的直角三角形的性質(zhì)可求FG，根據(jù)勾股定理可求CF，BD，即可求解；
④根據(jù)三角形面積公式即可求解．
【詳解】
解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°，
∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，
故正確；
②∵EF=，
∴OE=2．
∵AO=AB=3，
∴AE=AO+OE=2+3=5，
故正確；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延長(zhǎng)線于G，
則FG=1，
CF=＝＝，
BH=3-1=2，
DH=3+1=4，
BD=，故錯(cuò)誤；
④△COF的面積S△COF=×3×1=，
故錯(cuò)誤；

故選：B．
【點(diǎn)撥】
本題考查了正方形的性質(zhì)，含45°的直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，勾股定理，平角的定義，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．B
【分析】
先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．
【詳解】
四邊形ABCD是正方形





，即
解得
故選：B．
【點(diǎn)撥】
本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．45°
【分析】
延長(zhǎng)EB使得BG=DF，易證△ABG≌△ADF（SAS），可得AF=AG，進(jìn)而求證△AEG≌△AEF，可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=即可解題．
【詳解】
解：如圖，延長(zhǎng)EB到點(diǎn)G，使得 BG=DF ，連接AG，

在正方形ABCD中，
∠D=∠ABC=， AB=AD，
∴∠ABG=∠ADF=，
在△ABG 和 △ADF 中，
，
∴△ABG≌△ADF(SAS) ，
∴∠DAF=∠BAG ， AF=AG，
又 ∵EF=DF+BE=BG+BE=EG，
∴ 在 △AEG 和 △AEF 中，
，
∴△AEG≌△AEF(SSS) ，
∴∠EAG=∠EAF，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=，
∴∠BAG+∠EAF+∠BAE=，
∴∠EAG+∠EAF=，
∴∠EAF=．
故答案為：．
【點(diǎn)撥】
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解決此題的關(guān)鍵．
6．45．
【分析】
根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可以證明△ADG≌△AFG，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠DAG=∠FAG，由折疊可得∠BAE=∠FAE，進(jìn)而可得∠EAG的度數(shù)．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝90°，
由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，∠BAE＝∠EAF，
∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∠GAF＝∠GAD，
∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°．
故答案為：45．
【點(diǎn)撥】
本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、折疊，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．
7．
【分析】
根據(jù)題意，利用勾股定理可以求得DF的長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到△DBF的形狀，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到BH的長(zhǎng)．
【詳解】
解：延長(zhǎng)DC交FE于點(diǎn)M，連接BD、BF，

∵正方形ABCD，BEFG的邊長(zhǎng)分別為2，3，
∴DM＝5，MF＝1，∠DMF＝90°，
∴DF＝＝，
∵BD、BF分別是正方形ABCD，BEFG的對(duì)角線，
∴∠DBC=∠GBF=90，
∴∠DBF＝90°，
∴△DBF是直角三角形，
∵點(diǎn)H為DF的中點(diǎn)，
∴BH＝DF＝，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】
本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
8．2
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和等量代換可得∠GAE=∠FAE，進(jìn)而可根據(jù)SAS證明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，設(shè)BE=x，則CE與EF可用含x的代數(shù)式表示，然后在Rt△CEF中，由勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即得答案．
【詳解】
解：∵將△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，
∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，
∵，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°，
∴∠GAE=∠FAE，
又AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
設(shè)BE=x，則CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x，
∵DF=3，∴CF=3，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得：，
解得：x=2，即BE=2．
故答案為：2．
【點(diǎn)撥】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，屬于常考題型，熟練掌握上述基本知識(shí)、靈活應(yīng)用方程思想是解題的關(guān)鍵．
9．②③
【分析】
當(dāng)E、F不是BC和CD的中點(diǎn)時(shí)，BE≠DF，則△ABE和△ADF的邊對(duì)應(yīng)不相等，由此判斷①；延長(zhǎng)CD至G，使得DG＝BE，證明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，即可判斷②；通過(guò)周長(zhǎng)公式計(jì)算，再由BE+DF＝EF，即可判斷③；證明S△ABE+S△ADF＝S△AGF，再由三角形的底與高的數(shù)量關(guān)系得S△AGF＞S△CEF，進(jìn)而判斷④．
【詳解】
解：①當(dāng)E、F不是BC和CD的中點(diǎn)時(shí)，BE≠DF，則△ABE≌△ADF不成立，故①錯(cuò)誤；
②延長(zhǎng)CD至G，使得DG＝BE，連接AG，如圖1，

∵四邊形ABCD為正方形
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，∠AEB＝∠G，AE＝AG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AEF＝∠G，
∴∠AEB＝∠AEF，故②正確；
③∵△AEF≌△AGF，
∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，
∴△CEF的周長(zhǎng)＝CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2BC，
∵正方形ABCD的周長(zhǎng)＝4BC，
∴正方形ABCD的周長(zhǎng)＝2△CEF的周長(zhǎng)，故③正確；
④∵△ABE≌△ADG，
∴S△ABE＝S△ADG，
∴S△ABE+S△ADF＝S△AGF，
∵GF＝EF＞CF，AD≥CE，
∴，即S△AGF＞S△CEF，
∴S△ABE+S△ADF≠S△CEF，故④錯(cuò)誤；
故答案為：②③．
【點(diǎn)撥】
此題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和三角形的面積關(guān)系，掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．
10．3.
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠EAF′=45°，進(jìn)而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=6，得出正方形邊長(zhǎng)即可．
【詳解】
解：將△DAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到△BAF′位置，

由題意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周長(zhǎng)為6，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=6，
∴2BC=6，
∴BC=3．
故答案為：3．
【點(diǎn)撥】
此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△FAE≌△EAF′是解題關(guān)鍵．
11．46 2.5
【分析】
先利用三角形外角性質(zhì)得∠ACA′=∠A+∠B=67°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCB′=∠ACA′=67°，然后利用平角的定義計(jì)算∠ACB′的度數(shù)；由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出EF=MF；則可得到AE=CM=1，正方形的邊長(zhǎng)為3，用AB-AE求出EB的長(zhǎng)，再由BC+CM求出BM的長(zhǎng)，設(shè)EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為FM的長(zhǎng)．．
【詳解】
解：∵∠A=27°，∠B=40°，
∴∠ACA′=∠A+∠B=67°，
∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至△A′B′C，
∴∠BCB′=∠ACA′=67°，
∴∠ACB′=180°-67°-67°=46°．

∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三點(diǎn)共線，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
設(shè)EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=4，
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，
∵EB=AB-AE=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+（4-x）2=x2，
解得：x=2.5，
∴FM=2.5．

故答案為：46；2.5．
【點(diǎn)撥】
本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
12．45°
【分析】
首先添加輔助線、、，再證，然后根據(jù)勾股定理和“矩形的面積恰好是矩形面積的2倍”證得，進(jìn)一步可得證，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得的度數(shù).
【詳解】
解：如圖，連接，延長(zhǎng)至，使得，連接，

在與中

∴
∴，
∴
設(shè)，，正方形邊長(zhǎng)為．
則，，，
∴．
又∵矩形的面積恰好是矩形面積的2倍
∴，即
∴
∴
在與中

∴
∴
故答案是：
【點(diǎn)撥】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，屬中檔題目，注意輔助線的添加，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
13．（1）見解析；（2）AB=．
【分析】
(1)由題意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四邊形ABCD是矩形，根據(jù)正方形的判定定理即可得到結(jié)論；
(2)根據(jù)EC=FC=1，得到BE=DF，根據(jù)勾股定理得到EF的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】
(1)由折疊性質(zhì)知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，
∵∠EAF=45°,
∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
由折疊性質(zhì)知：AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是正方形；
(2)∵EC=FC=1，
∴BE=DF，EF=，
∵EF=EG+GF=BE+DF，
∴BE=DF=EF=，
∴AB=BC=BE+EC=．
【點(diǎn)撥】
本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正方形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)：翻折前后對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等．
14．（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）如圖（見解析），先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得點(diǎn)在同一條直線上、，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)線段的和差、等量代換即可得證；
（2）設(shè)，先根據(jù)（1）的結(jié)論可得，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理即可得．
【詳解】
（1）如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
四邊形ABCD是正方形，
，
點(diǎn)B是點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)G是點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，
點(diǎn)在同一條直線上，
又，
，
在和中，，
，
，
又，
；

（2）設(shè)，
由（1）已證：，
，
，
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，
，
，，
在中，，即，
解得，
故EF的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)撥】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（1），利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
15．（1）△GAB≌△FAD，理由見解析；（2）EF=5
【分析】
（1）由題意可得∠ABG=∠D=90°，進(jìn)一步即可根據(jù)ASA證得△GAB≌△FAD；
（2）由（1）的結(jié)論可得AG=AF，GB=DF，易得∠BAE+∠DAF=45°，進(jìn)而可推出∠GAE=∠EAF，然后利用SAS即可證明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，進(jìn)一步即可求出結(jié)果．
【詳解】
解：（1）∵，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，
∴∠ABG=∠D=90°，
在△GAB和△FAD中，
∵，AB=AD，∠ABG=∠D，
∴△GAB≌△FAD（ASA）；
（2）∵△GAB≌△FAD，
∴AG=AF，GB=DF，
∵，，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠GAB=45°，即∠GAE=45°，
∴∠GAE=∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
∵AG=AF，∠GAE=∠EAF，AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
∵GE=GB+BE=DF+BE=2+3=5，
∴EF=5．

【點(diǎn)撥】
本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于?？碱}型，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（1）見解析；（2）見解析；（3）
【分析】
（1）首先證明是矩形，然后找到一組鄰邊相等即可證明四邊形是正方形；
（2）主要證明，從而得出，由（1）知，四邊形是正方形，，等量代換即可證明；
（3）已知，可知，又因?yàn)椋蟪鯝D的長(zhǎng)度，DF=AD-AF，根據(jù)等式關(guān)系求出DF的長(zhǎng)，最后證明為等腰直角三角形，OD=DF即可求解．
【詳解】
（1）在矩形中，，
，
，
，
四邊形是矩形，
又AE平分，
，
，
為等腰直角三角形，
=，
四邊形是正方形（鄰邊相等的矩形為正方形）；
（2），
，
又，AD=AE，
（AAS），
，
由（1）知，四邊形是正方形，
，
；
（3）在正方形中，，，，
由（2）知：，
AD=AE=，，
DF=AD-AF=-1，
又，，
為等腰直角三角形，
OD=DF=2-．
【點(diǎn)撥】
本題主要考查了矩形與正方形的判定與性質(zhì)、證明三角形全等等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（1）90，△AFE，SAS；（2）∠B+∠D＝180°；（3）EF2＝BE2+FD2，理由見解析
【分析】
（1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AFE進(jìn)而得到EF＝FG，即可得EF＝BE+DF；
（2）∠B+∠D＝180°時(shí)，EF＝BE+DF，與（1）的證法類同；
（3）把△AFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，連接EE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△AFD≌△ABE′得到BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，在Rt△ABD中的，AB＝AD，可求得∠E′BD＝90°，所以E′B2+BE2＝E′E2，證△AE′E≌△AE′F，利用FE＝EE′得到EF2＝BE2+FD2．
【詳解】
解：（1）∵AB＝AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，
∴點(diǎn)F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝FG，
即EF＝BE+DF，
故答案為：90，△AFE，SAS；
（2）當(dāng)∠B+∠D＝180°時(shí)，EF＝BE+DF，如圖2

∵AB＝AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，
∴點(diǎn)F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即EF＝BE+DF，
故答案為：∠B+∠D＝180°；
（3）猜想：EF2＝BE2+FD2，
證明：把△AFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，連接EE′，如圖3，

∴△AFD≌△ABE′，
∴BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠ABD+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，
∴E′B2+BE2＝E′E2，
又∵∠FAE＝45°，
∴∠BAE+∠EAD＝45°，
∴∠E′AB+∠BAE＝45°，即∠E′AE＝45°，
在△AEE′和△AEF中，
，
∴△AEE′≌△AEF（SAS），
∴EE′＝FE，
∴EF2＝BE2+DF2．
【點(diǎn)撥】
本題主要考查了幾何變換綜合，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)與判定計(jì)算是關(guān)鍵．
18．（1）見解析；（2）5，詳見解析．
【分析】
（1）由旋轉(zhuǎn)可得DE＝DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出EF＝CF+AE；
（2）由（1）的全等得到AE＝CM＝2，正方形的邊長(zhǎng)為6，用AB﹣AE求出EB的長(zhǎng)，再由BC+CM求出BM的長(zhǎng)，設(shè)EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長(zhǎng)．
【詳解】
（1）證明：
∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三點(diǎn)共線，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：設(shè)EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
即，
解得：x＝5，
則EF＝5．
【點(diǎn)撥】
本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等及勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)半角旋轉(zhuǎn)得到三角形的全等，然后利用勾股定理求得線段的長(zhǎng)．
19．（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【分析】
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可直接證明△CBE≌△CDF，從而得出CE=CF；
（2）延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，根據(jù)（1）知∠BCE=∠DCF，即可證明∠ECF=∠BCD=90°，根據(jù)∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD．
【詳解】
解：（1）證明：如圖1，在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD．

【點(diǎn)撥】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定方法正確證明三角形全等是關(guān)鍵．
20．（1）FG=BF+DG；（2）①EF2=BE2+FC2，理由見解析；②仍然成立；（3）15
【分析】
（1）把△AGD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABP，可使AD與AB重合，再證明△AFG≌△AFP進(jìn)而得到PF=FG，即可得FG=BF+DG；
（2）①根據(jù)△AFC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AGB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△ACF≌△ABG得到BG=FC，AG=AF，∠C=∠ABG，∠FAC=∠GAB，根據(jù)Rt△ABC中的AB=AC得到∠GBE=90°，所以GB2+BE2=GE2，證△AGE≌△AFE，利用EF=EG得到EF2=BE2+FC2；
②將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得AB與AD重合，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是G，同上的方法證得GC2+CF2=FG2，再設(shè)法利用SAS證得△AFG≌△AFE即可求解；
（3）將△AEG沿AE對(duì)折成△AEB，將△AFG沿AF對(duì)折成△AFD，延長(zhǎng)BE、DF相交于C，構(gòu)成正方形ABCD，在Rt△EFC中，利用勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)，即可求得AG的長(zhǎng)，從而求得答案．
【詳解】
（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ADC=∠ABC=90°，
∴把△AGD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABP，使AD與AB重合，

∴∠BAP=∠DAG，AP= AG，
∵∠BAD=90°，∠FAG=45°，
∴∠BAF+∠DAG=45°，
∴∠PAF=∠FAG=45°，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠FBP=180°，點(diǎn)F、B、P共線，
在△AFG和△AFP中，
，
∴△AFG≌△AFP（SAS），
∴PF=FG，
即：FG=BF+DG；
（2）①FC2+BE2=EF2，證明如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABC=45°，
將△AFC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AGB，

∴△ACF≌△ABG，
∴BG=FC，AG=AF，∠C=∠ABG=45°，∠FAC=∠GAB，
∴∠GBE=∠ABG +∠ABC =90°，
∴GB2+BE2=GE2，
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=45°，
∴∠GAB+∠BAE=45°，
即∠GAE=45°，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE=EF，
∴FC2+BE2=EF2；
②仍然成立，理由如下：
如圖，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得AB與AD重合，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，

∴△ACG≌△ABE，
∴CG=BE，AG=AE，∠ACG=∠ABE=45°，∠BAE=∠CAG，
∴∠GCB=∠ACB +∠ACG =90°，即∠GCF=90°，
∴GC2+CF2=FG2，
∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=90°，
∴∠CAG+∠EAC=90°，
又∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
在△AFG和△AFE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴GF=EF，
∴FC2+BE2=EF2；

（3）將△AEG沿AE對(duì)折成△AEB，將△AFG沿AF對(duì)折成△AFD，延長(zhǎng)BE、DF相交于C，

∴△AEG△AEB，△AFG△AFD，
∴AB=AG=AD，BE=EG=3，DF=FG=2，∠EAG=∠EAB，∠FAG=∠FAD，∠B=∠D=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAB+∠FAD=∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，
∴∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD為正方形，
設(shè)AG =，則AB=BC=CD=，
在Rt△EFC中，EF=3+2=5，EC=BC-BE=，F(xiàn)C=CD-DF=，
∴，
故，
解得：（舍去），，
∴AG=6，
∴．
故答案為：15．
【點(diǎn)撥】
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生的閱讀理解能力與知識(shí)的遷移能力，綜合性較強(qiáng)，難度適中．
21．45°
【分析】
延長(zhǎng)EB使得BG=DF，易證△ABG≌△ADF（SAS）可得AF=AG，進(jìn)而求證△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解題．
【詳解】
解：如圖，延長(zhǎng)EB到點(diǎn)G，使得，連接AG．
在正方形ABCD中，，，
．
在和中，
，
，
，．
又，
在和中，
，
，
．
，
，
，
．

【點(diǎn)撥】
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解決此題的關(guān)鍵．
22．（1）DF；（2）見解析
【分析】
（1）由于△ADF與△ABG可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF，從而得到輔助線的做法；
（2）先證明△ADF≌△ABG，得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，結(jié)合∠EAF＝45°，易知∠GAE=45°，再證明△AGE≌△AFE即可得到EF＝GE=BE+GB=BE＋DF
【詳解】
解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF，從而得到輔助線的做法：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG=DF，連接AG；
（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在△ADF和△ABG中

∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF=AG，∠DAF=∠GAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠GAB+∠EAB=45°，
∴∠GAE=∠EAF =45°，
在△AGE和△AFE中0

∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴GE=EF，
∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF
【點(diǎn)撥】
本題屬于四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)方法提示構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．
23．（1）見解析；（2）CF⊥AB，見解析；（3）AE+EF+AF＝2AB，見解析
【分析】
（1）四邊形APCD正方形，則DP平分∠APC，PC＝PA，∠APD＝∠CPD＝45°，即可求解；
（2）△AEP≌△CEP，則∠EAP＝∠ECP，而∠EAP＝∠BAP，則∠BAP＝∠FCP，令CF與線段AP交于點(diǎn)M，則∠FCP+∠CMP＝90°，則∠AMF+∠PAB＝90°即可求解；
（3）證明△PCN≌△APB（AAS），則CN＝PB＝BF，PN＝AB，即可求解．
【詳解】
解：（1）證明：∵四邊形APCD正方形，
∴DP平分∠APC，PC＝PA，
∴∠APD＝∠CPD＝45°，
∵PE＝PE，
∴△AEP≌△CEP（SAS）；
（2）CF⊥AB，理由如下：
∵△AEP≌△CEP，
∴∠EAP＝∠ECP，
∵∠EAP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠FCP，
令CF與線段AP交于點(diǎn)M，
∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，
∴∠AMF+∠PAB＝90°，
∴∠AFM＝90°，
∴CF⊥AB；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CN⊥PB．

∵CF⊥AB，BG⊥AB，
∴FC∥BN，
∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，
又AP＝CP，
∴△PCN≌△APB（AAS），
∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，
∵△AEP≌△CEP，
∴AE＝CE，
∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF
＝BN+AF
＝PN+PB+AF
＝AB+CN+AF
＝AB+BF+AF
＝2AB，
即AE+EF+AF＝2AB．
【點(diǎn)撥】
本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等量代換等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的判定方法及其性質(zhì)．

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專題6.22 正方形與45°的有關(guān)模型（提高篇）（專項(xiàng)練習(xí)）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（北師大版）

專題6.22 正方形與45°的有關(guān)模型（提高篇）（專項(xiàng)練習(xí)）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（北師大版）
專題18.35 正方形與三垂直（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）

專題18.35 正方形與三垂直（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）
人教版八年級(jí)下冊(cè)18.2.3 正方形綜合訓(xùn)練題

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