?專題18.32 與四邊形有關(guān)幾何模型-構(gòu)造平行四邊形
（專項(xiàng)練習(xí)）
一、單選題
1．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為13，對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別是邊、的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，則（ ）

A．13 B．10 C．12 D．5
2．如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是邊及延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，，則下列能反映與之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（ ）

A． B． C． D．
3．如圖，中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，則長(zhǎng)（ ）．

A．7 B．8 C．9 D．10
4．在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AG//BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t為( )s時(shí)，以A，F(xiàn)，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？（ ）

A．2 B．3 C．6 D．2或6

二、填空題
5．如圖，在梯形中， ，對(duì)角線，且，則梯形的中位線的長(zhǎng)為_(kāi)________.

6．如圖，已知△ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BF=4CF，四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積是_____．


三、解答題
7．如圖，已知AD為△ABC的中線，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，且AE＝FE.
求證：BF＝AC．



8．如圖所示，，是的中點(diǎn)，，，求證．



9．如圖所示，中，，，分別為，上一點(diǎn)，，，求證：.





10．已知，菱形中，，、分別是邊和上的點(diǎn)，且．

（1）求證：
（2）如圖2，在延長(zhǎng)線上，且，求證：

（3）如圖3，在（2）的條件下，，，是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．

11．如圖，D為ABC的AB邊上一點(diǎn)，E為AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=BD．
（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，求證：DE>BC
（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，DE與BC有何大小關(guān)系？給出結(jié)論，畫(huà)出圖形，并證明．

12．如圖所示，中，，于，平分交于，交于，交于.求證：.




13．如圖．在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形．
（2）若連接DE，交AC于點(diǎn)F，試判斷四邊形ABDE的形狀（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要證明）．
（3）△ABC再添加一個(gè)什么條件時(shí)，可使四邊形ADCE是正方形．并證明你的結(jié)論．




14．如圖所示，四邊形中，，以，為邊作平行四邊形，的延長(zhǎng)線交于，求證：.




15．如圖所示，是的中線，，求證：.




16．如圖所示，在三角形中，是中線及角平分線，求證：.




17．如圖所示，中，是的中點(diǎn)，，，.求證：.



18．如圖所示，中，，于，平分交于，交于，交于.求證：.




19． 如圖，點(diǎn)是正方形中延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，對(duì)角線相交于點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，交線段于．
（1）若 ，求的大?。?br /> （2）求證：．
（3）若正方形的邊長(zhǎng)為1，，求的長(zhǎng)．



20．如圖，四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)P自點(diǎn)A向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)即停止；點(diǎn)Q自點(diǎn)C向B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)即停止，直線PQ分原四邊形為兩個(gè)新四邊形；則當(dāng)P，Q同時(shí)出發(fā)_____秒后其中一個(gè)新四邊形為平行四邊形．



21．如圖所示，四邊形中，，以，為邊作平行四邊形，的延長(zhǎng)線交于，求證：.

22．如圖1，在?ABCD中，BD＝6，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，動(dòng)點(diǎn)E在邊上，，動(dòng)點(diǎn)F在射線BD上，BF＝5x．
（1）若點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在x的值，使得以P，D，E，F(xiàn)頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)E作交DG的于點(diǎn)H連接FH，把△DHF沿FH翻折得到△D'HF，當(dāng)D'F與△DBG的一邊平行時(shí)，HG的長(zhǎng)　 ?。ㄖ苯訉?xiě)出答案）

23．如圖，在△ABC中，已知∠BDC＝∠EFD，∠AED＝∠ACB．
（1）試判斷∠DEF與∠B的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若D、E、F分別是AB、AC、CD邊上的中點(diǎn)，S△DEF＝4，S△ABC=







參考答案
1．B
【分析】
連接對(duì)角線BD，交AC于點(diǎn)O，求證四邊形BDEG是平行四邊形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，BD=2OD，即可求出EG．
【詳解】
連接BD，交AC于點(diǎn)O，
由題意知：菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn)，
∴AB=BC=CD=DA=13， EFBD，
∵AC、BD是菱形的對(duì)角線，AC=24，
∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，
又∵ABCD，EFBD
∴DEBG，BDEG
在四邊形BDEG中，
∵DEBG，BDEG
∴四邊形BDEG是平行四邊形
∴BD=EG
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD=13，CO=12
∴OD=OB=5
∴BD=EG=10
故選B．

【點(diǎn)撥】
本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握菱形、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．C
【分析】
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明與均為等腰直角三角形，得到， ，從而證明 ，得到，，根據(jù)，再利用中，，，求出，得到 ，故函數(shù)圖象是平行于軸的直線的一部分，即可判斷.
【詳解】
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，，
如解圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴其圖象是平行于軸的直線的一部分，
故選C.

【點(diǎn)撥】
此題主要考查函數(shù)圖像與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用.
3．C
【分析】
求BE的長(zhǎng)，可轉(zhuǎn)化為，EF已知，只需求出BF的長(zhǎng)即可，延長(zhǎng)AD，使，連接BG，CG，判定四邊形ABGC為平行四邊形，在DG上取一點(diǎn)H，使，判斷四邊形BECI為平行四邊形，求證即可求解．
【詳解】
延長(zhǎng)AD，使，連接BG，CG，
∵，，
∴四邊形ABGC為平行四邊形，
∴，
在DG上取一點(diǎn)H，使，連接并延長(zhǎng)交于，


∵，
∴四邊形BECI為平行四邊形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)撥】
本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)即定理，以及兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，學(xué)會(huì)運(yùn)用輔助線作圖以及熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)即定理，以及兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的定理是解答本題的關(guān)鍵．
4．D
【分析】
分別從當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)與當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)去分析，由當(dāng)AE=CF時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案．
【詳解】
①當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：AE=tcm，BF=2tcm，
則CF=BC-BF=6-2t（cm），
∵AG∥BC，
∴當(dāng)AE=CF時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，
即t=6-2t，
解得：t=2；
②當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：AE=tcm，BF=2tcm，
則CF=BF-BC=2t-6（cm），
∵AG∥BC，
∴當(dāng)AE=CF時(shí)，四邊形AEFC是平行四邊形，
即t=2t-6，
解得：t=6；
綜上可得：當(dāng)t=2或6s時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形．
故選D．
【點(diǎn)撥】
本題考查了平行四邊形的判定．此題難度適中，注意掌握分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
5．5
【詳解】
解：過(guò)C作CE∥BD交AB的延長(zhǎng)線于E，

∵AB∥CD，CE∥BD，
∴四邊形DBEC是平行四邊形，
∴CE=BD，BE=CD
∵等腰梯形ABCD中，AC=BD∴CE=AC
∵AC⊥BD，CE∥BD，
∴CE⊥AC
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵AC=，
∴AE =AC=10，
∴AB+CD =AB+BE=10，
∴梯形的中位線=AE=5，
故答案為5．
【點(diǎn)撥】
本題考查了梯形的中位線定理，牢記定理是解答本題的重點(diǎn)，難點(diǎn)是題目中的輔助線的做法．
6．8
【分析】
連接EC，過(guò)A作AM∥BC交FE的延長(zhǎng)線于M，求出平行四邊形ACFM，根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出△BDE的面積和△CDE的面積相等，△ADE的面積和△AME的面積相等，推出陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，求出CF×hCF的值即可．
【詳解】
連接DE、EC，過(guò)A作AM∥BC交FE的延長(zhǎng)線于M，

∵四邊形CDEF是平行四邊形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四邊形ACFM是平行四邊形，
∵△BDE邊DE上的高和△CDE的邊DE上的高相同，
∴△BDE的面積和△CDE的面積相等，
同理△ADE的面積和△AME的面積相等，
即陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，是×CF×hCF，
∵△ABC的面積是24，BC＝3CF
∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝24，
∴CF×hCF＝16，
∴陰影部分的面積是×16＝8，
故答案為：8．
【點(diǎn)撥】
此題考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，同底等高三角形面積的關(guān)系，解題中注意陰影部分面積的求法，根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇正確的求法是解題的關(guān)鍵．
7．證明見(jiàn)解析
【分析】
方法一：當(dāng)題中有三角形中線時(shí)，常加倍中線構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)證得結(jié)論．
方法二：向中線作垂線，證明，得到，再根據(jù)AE＝FE，得到角的關(guān)系，從而證明，最終得到結(jié)論.
【詳解】
方法一：延長(zhǎng)AD到G，使DG＝AD，連接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四邊形ABGC是平行四邊形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC

方法二：如圖，分別過(guò)點(diǎn)、作，，垂足為、，
則.
，，
，
.
，，
，，
又，
，
.

【點(diǎn)撥】
本題是較為典型的題型，至少可以用到兩種方法來(lái)解題，此題的特點(diǎn)就是必須有中線這個(gè)條件才能構(gòu)造平行四邊形或雙垂線.
8．見(jiàn)解析
【分析】
延長(zhǎng)AM到F，使MF＝AM，交CD于點(diǎn)N，構(gòu)造平行四邊形，利用條件證明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF＝∠ACD，再結(jié)合條件可得到∠ANC＝90°，可證得結(jié)論．
【詳解】
證明：延長(zhǎng)AM到F，使MF＝AM，交CD于點(diǎn)N，
∵BM＝EM，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴BF＝AE，∠ABF＋∠BAE＝180°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD＋∠BAE＝180°，
∴∠ABF＝∠CAD，
∵BF＝AE，AD＝AE，
∴BF＝AD，
在△ABF和△CAD中，，
∴△ABF≌△CAD（SAS），
∴∠BAF＝∠ACD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＋∠CAF＝90°，
∴∠ACD＋∠CAF＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴AM⊥CD．

【點(diǎn)撥】
本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)輔助線構(gòu)造平行四邊形證明三角形全等得到∠BAF＝∠ACD是解題的關(guān)鍵．
9．見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
過(guò)作，且，連，，則ADBG為平行四邊形．再證明，則GE=BE，得△ADF為等腰直角三角形即可證明結(jié)論
【詳解】
證明：過(guò)作，且，連，，則四邊形為平行四邊形，

∵∠C=90°，
∴∠GAE=∠C=90°，
在△AEG和△CBE中，
，
，
∴GE=BE，∠GEA=∠EBC，
∴∠GEB=90°.
為等腰直角三角形，
∴
【點(diǎn)撥】
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平角的性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．
10．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）7
【分析】
（1）連接AC，如圖1，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=BC，而∠B=60°，則可判定△ABC為等邊三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB，易得∠ACF=60°，∠BAE=∠CAF，然后利用ASA可證明△AEB≌△AFC，即可解答；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，利用平行線的性質(zhì)求得△FHC是等邊三角形，得到CF=CH=FH，然后利用AAS定理求得△HBF≌△CEF，從而問(wèn)題得解；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BK∥FC，交HF于點(diǎn)K，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行求得四邊形KBAF是平行四邊形，從而求得，F(xiàn)K=16，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥FH，然后利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求得MF=,，從而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可．
【詳解】
解：（1）連接AC，如圖1，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∴∠BAE+∠EAC=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACP=60°，
∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°，
∴∠BAE=∠CAP，
在△AEB和△APC中， ，
∴△AEB≌△APC，
∴BE=CF
∴；

（2）過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H

∵FH∥AB
∴∠H=∠CGH=60°
∴△FHC是等邊三角形
∴CF=CH=FH
又∵△ABC是等邊三角形
∴CA=CB
∴AF=BH
又∵FB=FE
∴∠FEB=∠FEB，即∠FBH=∠FEC
在△HBF和△CEF中
∴△HBF≌△CEF
∴BH=EC
∴AF=EC
（3）過(guò)點(diǎn)B作BK∥FC，交HF于點(diǎn)K，

∵BK∥FC，F(xiàn)H∥AB
∴四邊形KBAF是平行四邊形
∴KB=AF=EC=6，
∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥FH
由（2）可知，∠CFH=60°
∴在Rt△AMF中，∠MAF=30°
∴MF=,
∴KM=16-3=13
在Rt△AKM中，
∴AO=7．
【點(diǎn)撥】
本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，及平行四邊形的判定和性質(zhì)，題目有一定的綜合性，正確添加輔助線解題是關(guān)鍵的突破點(diǎn)．
11．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析
【解析】
試題分析：
（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，連接EF，從而可得DF=BC，這樣就把分散的線段集中到了△DEF中，只需證DE>DF即可；易證∠1=∠2，∠3=∠4，∠3>∠5，從而可得∠DFE>∠DEF，∴DE>DF，從而得到：DE>BC；

（2）當(dāng)ABAC時(shí)，我們要分AB>AC和ABAC，且AB=AE時(shí)，如圖2，結(jié)合已知條件此時(shí)我們易證△ABC≌△AED，從而得到BC=DE；

②當(dāng)AB>AC，且AB>AE時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)AE到F，使AF=AB，在AB上截取AN=AC，易證△ABC≌△AFN，得到∠F=∠B；再過(guò)D作DM∥BC，過(guò)C作CM∥BD，得到四邊形DBCM是平行四邊形，由此可得∠DMC=∠B=∠F，DM=BC；連接ME，則法通過(guò)在△DME中證∠DEM>∠DME得到DM>DE，從而得到BC>DE；

③當(dāng)AB>AC，且AB∠F得到∠ABC>∠AED；再作DM∥BC，CM∥AB，可得四邊形DBCM是平行四邊形，得到DM=BC，∠DMC=∠ABC，就可得∠DMC>∠AED；連接ME，在△DME中通過(guò)證∠DME>∠DEM，得到DE>DM，就可得到DE>BC；

④當(dāng)AB

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專題18.14 《平行四邊形》之幾何模型-將軍飲馬（專項(xiàng)練習(xí)）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）

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