專題18.17 直角三角形斜邊上的中線（專項練習(xí)）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題18.17 直角三角形斜邊上的中線（專項練習(xí)）
一、單選題
1．（2021·鹽城市初級中學(xué)九年級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，AD是斜邊BC上的中線，將△ACD沿AD對折，使點C落在點F處，線段DF與AB相交于點E，則∠FAE等于（）

A．105° B．75° C．40° D．20°
2．（2020·哈爾濱市第四十七中學(xué)八年級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D在BC上，過D作DF⊥BC交BA的延長線于F，連接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，則∠B的大小是（　?。?br />
A．32° B．64° C．77° D．87°
3．（2020·哈爾濱市第四十七中學(xué)八年級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AB＝5，則斜邊上的中線BO長是（　?。?br />
A．2.5 B．4 C．6 D．6.5
4．（2020·浙江杭州市·八年級期中）如圖，公路互相垂直，公路的中點M與點C被湖隔開，若測得，，則M，C兩點間的距離為（）

A． B． C． D．
5．（2020·浙江杭州市·學(xué)軍中學(xué)附屬文淵中學(xué)八年級期末）如圖，在中，，，直角的頂點是的中點，兩邊，分別交，于點，．現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．當(dāng)在內(nèi)繞頂點旋轉(zhuǎn)時（點不與點，重合），上述結(jié)論中始終正確的是（）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
6．（2021·上海浦東新區(qū)·七年級期末）下列命題中，真命題是（　?。?br /> A．在角平分線上的任意一點到這個角的兩邊的距離相等
B．在三角形中，如果一條邊等于另一條邊的一半，那么這條邊所對的角是30°
C．直角三角形斜邊上的中線等于直角邊的一半
D．到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上
7．（2020·鞍山市第五十一中學(xué)九年級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，M是BC的中點，N是A'B'的中點，連接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，則線段MN的最大值為（　?。?br />
A．4 B．8 C．4 D．6
8．（2020·石家莊市第四十一中學(xué)八年級期中）如圖，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足為G，EG與CD相交于點K，GD的延長線交EF于點H，連接DE，則下列結(jié)論：①BG=AB+HF；②DG=DE；③∠DHE=∠BAD；④∠B=∠DEF，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．（2021·武漢二中廣雅中學(xué)九年級期末）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG，點G在CD上，AB＝5，CE＝2，T為AF的中點，則CT的長是（　?。?br />
A． B．4 C． D．

二、填空題
10．（2020·江蘇揚州市·八年級月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為斜邊AB的中點，CD＝6cm，則AB的長為_____cm．

11．（2020·哈爾濱市第四十七中學(xué)八年級月考）在矩形ABCD中，點E、F分別在AB、AD上，CD＝9，CE＝20，∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE，則線段AF的長為_____．

12．（2019·云南玉溪市·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，且AD∥BC；AC的長為16，則DO的長為___．

13．（2021·河北廊坊市·八年級期末）如圖，在中，，，，都是的中線，點是的中點，若，則______．

14．（2018·蘇州市吳江區(qū)青云中學(xué)八年級月考）在中，CD是斜邊AB上的中線，若CD的長為4，則AB的長為_______．
15．（2020·江蘇蘇州市·八年級月考）如圖，在中，，，O是的中點，如果在和上分別有一個動點M?N在移動，且在移動時保持．若．則的最小值為_________．

16．（2020·江蘇蘇州市·八年級月考）如圖，在四邊形中，，點E是的中點．若，，則_________．

17．（2020·武岡市第二中學(xué)八年級開學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∠A＝20°，則∠BCD＝________．

三、解答題
18．（2020·廣東惠州市·八年級期末）如圖，在矩形中，點為對角線的中點，過點作交于點，交于點，連接，．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）連接，若，，求的長．

19．（2019·云南玉溪市·八年級期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，∠DHO=20°，求∠CAD的度數(shù)．

20．（2021·陜西西安市·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，請利用尺規(guī)在AB邊上求作一點D，使得CD＝AB．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）

21．（2018·蘇州市吳江區(qū)青云中學(xué)八年級月考）如圖（1），中，、分別是高，、分別是線段、的中點．
（1）求證：；
（2）若，求的度數(shù)（用含的式子表示）．
（3）如圖（2），若將銳角變?yōu)殁g角，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．

22．（2019·蘇州市吳江區(qū)青云中學(xué)八年級月考）如圖，在四邊形中，，、分別是、的中點．
（1）求證：；
（2）求證：．

23．（2021·上海浦東新區(qū)·七年級期末）已知：如圖，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分別為垂足，AB的垂直平分線EF交AB于點E，交CD于點F，BC＝DF．求證：
（1）∠DAF＝∠CFB；
（2）EF＝AB．

24．（2021·陜西九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點C也隨之在y軸上運動．在整個運動過程中，求點B到原點的最大距離．

25．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶南開中學(xué)八年級月考）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，點E為BC的中點．
求證：四邊形AECD是菱形．

26．（2021·武漢二中廣雅中學(xué)九年級期末）等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．
（1）如圖1，連接BE，探究線段AD與線段BE的關(guān)系并證明；
（2）如圖2，連接AE，CF⊥AE交AB于F，T為垂足，
①求證：FD＝FB；
②如圖3，若AE交BC于N，O為AB中點，連接OC，交AN于M，連FM、FN，當(dāng)S△FMN＝5，則OF2+BF2的最小值為　 ?。?br />

參考答案
1．D
【分析】
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C=90°-∠B=55°．由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AD=BD=CD，利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAD=∠B=35°，∠DAC=∠C=55°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠DAF=∠DAC=55°，然后計算∠FAE即可．
【詳解】
解：解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=35°，
∴∠C=90°-∠B=55°．
∵AD是斜邊BC上的中線，
∴AD=BD=CD，
∴∠BAD=∠B=35°，∠DAC=∠C=55°，
∵將△ACD沿AD對折，使點C落在點F處，
∴∠DAF=∠DAC=55°，
∴∠FAE=∠DAF-∠BAD=20°．
故選：D
【點撥】
本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理．
2．C
【分析】
取CF的中點T，連接DT，AT．證明∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，進而證明CT＝TF，得到∠AFC＝45°，∠BFD＝13°，最后求出∠B＝77°．
【詳解】
解：如圖，取CF的中點T，連接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，F(xiàn)D⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°．

故選：C
【點撥】
本題考查了直角三角形斜邊上的直線等于斜邊一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的角的計算等知識，根據(jù)題意添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題關(guān)鍵．
3．D
【分析】
先利用勾股定理求解的長，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而可得答案．
【詳解】
解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AB＝5，
∴
∴斜邊上的中線BO＝AC＝6.5．
故選：D．
【點撥】
本題考查的是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．C
【分析】
首先根據(jù)勾股定理求得AB的長度，然后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)即可求解．
【詳解】
解：如圖，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1.2km，BC＝1.6km，
由勾股定理得到：AB＝＝=2（km）．
∵點M是AB的中點，
∴MC＝AB＝1km．
故選：C．
【點撥】
本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
5．B
【分析】
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，證△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出SAPE=S△CPF，求出S四邊形AEPF=S△APC=S△ABC，EF不是△ABC的中位線，故EF≠AP，即可得出答案．
【詳解】
解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴①正確；②正確；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位線，
∴EF≠AP，故③錯誤；
∵△APE≌△CPF
∴SAPE=S△CPF，
∴S四邊形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC，
∴④正確；
∴正確的有①②④，
故選：B．
【點撥】
本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．
6．A
【分析】
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)進行判斷即可．
【詳解】
解：A、在角平分線上的任意一點到這個角的兩邊的距離相等，是真命題；
B、在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條邊所對的角是30°，原命題是假命題；
C、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，原命題是假命題；
D、在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上，原命題是假命題；
故選：A．
【點撥】
本題考查的是命題的真假判斷，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟悉相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
7．D
【分析】
連接CN，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．
【詳解】
連接CN，如圖所示：

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝4，
∵CM＝BM＝2，
∴MN≤CN+CM＝6，
∴MN的最大值為6，
故選：D．
【點撥】
本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、含30°角直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識；解題的關(guān)鍵是靈活運用三角形的三邊關(guān)系．
8．C
【分析】
首先證明△ADG≌△FDH，再利用菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可一一判斷．
【詳解】
解：∵菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，
∴AB∥CD∥EF，AD＝CD＝DF，
∴∠GAD＝∠F，
∵∠ADG＝∠FDH，
∴△ADG≌△FDH，
∴DG＝DH，AG＝FH，
∴BG =AB＋AG＝AB＋HF，故①正確，
∵EG⊥AB，
∴∠BGE＝∠GEF＝90°，
又∵DG＝DH，
∴DE＝DG＝DH，故②正確，
∴∠DHE＝∠DEH，
∵∠DEH＝∠CEF，∠CEF＝∠CDF＝∠BAD，
∴∠DHE＝∠BAD，故③正確，
∵∠B＝∠DCE，∠CED＝∠CDE＝∠DEF＝∠DHE，
∴∠DCE＝∠EDH，
∴∠B＝∠EDH，
若 ∠B=∠DEF，則∠EDH=∠DEF=∠DHE，那么? DHE是等邊三角形，
但題目中沒有明確? DHE是等邊三角形，故④錯誤．
故選：C．
【點撥】
本題考查菱形的性質(zhì)、平移變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
9．D
【分析】
據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=5，CG=CE=2，連接AC、CF，求出∠ACF=90°，得到CT=AF，根據(jù)勾股定理求出AF的長度即可得到答案．
【詳解】
解：連接AC、CF，如圖，
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，
AB=BC=5，CG=CE=2，
∴AC＝AB＝5 ，CF＝CE＝2 ，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF＝，
∵T為AF的中點，
∴CT＝ AF＝．
故選：D．

【點撥】
此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)，正確引出輔助線得到∠ACF=90°是解題的關(guān)鍵．
10．12
【分析】
根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．
【詳解】
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，
∴線段CD是斜邊AB上的中線；
又∵CD＝6cm，
∴AB＝2CD＝12cm．
故答案為：12
【點撥】
本題考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵．
11．
【分析】
設(shè)BF與CE的交點為G，取CE的中點H，連接BH，設(shè)∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE＝2a，由矩形的性質(zhì)及直角三角形的斜邊中線性質(zhì)得出BH＝CH＝EH＝10，∠HBC＝∠HCB＝a，再判定EF∥BH、△EFG和△BGH均為等腰三角形，最后由勾股定理求得AF即可．
【詳解】
解：設(shè)BF與CE的交點為G，取CE的中點H，連接BH，如圖所示：

設(shè)∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE＝2α，則∠AFB＝3α，
在矩形ABCD中有AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴△BCE為直角三角形，
∵點H為斜邊CE的中點，CE＝20，
∴BH＝CH＝EH＝10，
∴∠HBC＝∠HCB＝α，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC＝3α，
∴∠GHB＝3α﹣α＝2α＝∠EFB，
∴EF∥BH，
∴∠FEG＝∠GHB
＝∠HBC+∠HCB
＝2α＝∠EFB＝∠GBH，
∴△EFG和△BGH均為等腰三角形，
∴BF＝EH＝10，
在矩形ABCD中，AB＝CD＝9，
由勾股定理得：
AF＝，
＝，
＝．
故答案為：．
【點撥】
本題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識點，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
12．8
【分析】
由題意可以得到四邊形ABCD為矩形，再根據(jù)矩形和直角三角形的性質(zhì)求解．
【詳解】
解：∵∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴AB∥DC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD為矩形，
∴O為AC中點，
∵∠ADC=90°，
∴OD=，
故答案為8．
【點撥】
本題考查矩形與直角三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．1
【分析】
證明△BCE是等邊三角形，求出BE=CE=BC=2，由D是BC的中點可得結(jié)論．
【詳解】
解：在中，，
∵是的中線，
∴
∵，
∴是等邊三角形
∴
∵點是的中點，且，
∴
∵是邊上的中線，
∴
故答案為：1．
【點撥】
此題主要考查了等邊三角形的判定和三角形中線的性質(zhì)，證明是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．
14．8．
【分析】
根據(jù)斜邊中線等于斜邊的一半，直接計算即可．
【詳解】
解：在中，CD是斜邊AB上的中線， CD的長為4，
AB=2CD=8；
故答案為：8．
【點撥】
本題考查了直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記本知識點，準(zhǔn)確應(yīng)用．
15．
【分析】
連接OA，取MN的中點D，連接OD，AD，證明△OAN≌△OBM，可得MN=OD+AD，而OD+AD≥OA，即OA就是MN的最小值．
【詳解】
解：連接OA，取MN的中點D，連接OD，AD，
∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中點，
∴AO=BO=CO，∠B=∠C=45°；
在△OAN和OBM中，
，
∴△OAN≌△OBM（SAS），
∴ON=OM，∠AON=∠BOM；
又∵∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠NOM=∠AON+∠AOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴∠MON=∠NAM=90°，
∴OD=AD=MN，
∴MN=OD+AD，
∵OD+AD≥AO，
∴MN≥AO，
∴MN的最小值為AO，
∵BC=，
∴AO=，
∴MN的最小值為，
故答案為：．

【點撥】
本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、三角形三邊關(guān)系等知識點，難度適中．“中點”是本題的題眼，在初中階段，與“中點”的幾何知識并不多，同學(xué)們可自行總結(jié)一下“中點”有幾種用法，今后再遇到與“中點”有關(guān)的幾何題目，就會反應(yīng)迅速，作出輔助線也就很容易．
16．
【分析】
根據(jù)中點的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)求出DE=BE=，從而可得AC．
【詳解】
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，E是對角線AC的中點，
∴BE=DE=AE=EC=AC，
∴∠ABE=∠BAE，∠ADE=∠DAE，
∵∠BEC=∠ABE+∠BAE，∠DEC=∠ADE+∠DAE，∠BED=∠BEC+∠DEC，∠BAE+∠DAE=∠BAD=45°，
∴∠BED=2∠BAE+2∠DAE=2∠BAD，
∵∠BAD=45°，
∴∠BED=90°，
∵BD=2，
∴BE=DE==，
∴AC=2BE=，
故答案為：．
【點撥】
此題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)中點的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得出BE=DE=AE=EC=AC．
17．70°
【分析】
根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得∠B=70°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上中線定理得出CD=BD，求出∠BCD=∠B即可．
【詳解】
解：在Rt△ABC中，∵∠A=20°，
∴∠B=90°-∠A=70°，
∵CD是斜邊AB上的中線，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠B=70°，
故答案為70°．
【點撥】
本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點的理解和運用，能求出BD=CD=AD和∠B的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．
18．（1）證明見解析，（2）2．
【分析】
（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四邊形ABCD是矩形，易證得△AOF≌△COE，則可得AF＝CE，繼而證得結(jié)論；
（2）連接BO，由勾股定理可求BE，AC的長，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】
證明：（1）∵O是AC的中點，且EF⊥AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四邊形AECF是菱形；
（2）如圖，連接BO，

∵AB＝4，AF＝AE＝EC＝5，
∴BE＝，
∴BC＝8，
∴AC＝，
∵AO＝CO，∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝2．
【點撥】
本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，證得△AOF≌△COE是關(guān)鍵．
19．∠CAD=20°
【分析】
由四邊形ABCD是菱形，可得OB=OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO=20°，可求得∠OHB的度數(shù)，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證得△OBH是等腰三角形，繼而求得∠ABD的度數(shù)，然后求得∠CAD的度數(shù)．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴OH=OB=BD，
∵∠DHO=20°，
∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，
∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．
【點撥】
本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△OBH是等腰三角形是關(guān)鍵．
20．見詳解
【分析】
作線段AB的垂直平分線EF交AB于D，連接CD，線段CD即為所求作．
【詳解】
解：如圖，線段CD即為所求作．

【點撥】
本題考查作圖——復(fù)雜作圖，直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
21．（1）證明見解析；（2）∠DME =180°-2α；（3）∠DME=2∠BAC-180°．
【分析】
（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知DM=ME，再根據(jù)N為DE的中點，利用垂直平分線的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形兩底角相等可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A和∠BMD+∠CME，然后根據(jù)平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠BME+∠CMD，然后根據(jù)平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．
【詳解】
解：（1）如圖（1）∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點，
∴，
∴DM=ME
又∵N為DE中點，
∴DN=NE，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點，
∴DM=ME=BM=MC，
∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠MEC，
∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB），
=360°-2（∠ABC+∠ACB），
=360°-2（180°-∠A），
=2∠A，
∴∠DME=180°-2∠A=180°-2α；
（3）∠DME=2∠BAC-180°，
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
由（2）得DM=ME=BM=MC，
∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠MEC，
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°-∠BAC）=360°-2∠BAC，
∴∠DME=180°-（360°-2∠BAC）=2∠BAC-180°．
【點撥】
本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．
22．（1）見解析；（2）見解析．
【分析】
（1）連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．
【詳解】
證明：（1）如圖，連接BM、DM，

∵，M是AC的中點，
∴，，
∴；
（2）∵，點N是BD的中點，
∴．
【點撥】
本題考查了直角三角形與等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出相應(yīng)的輔助線是解題的關(guān)鍵．
23．（1）見解析；（2）見解析．
【分析】
（1）由垂直平分線的性質(zhì)得出AF＝BF，證明△ADF≌△FCB就可以得出∠DAF＝∠CFB；
（2）根據(jù)∠DAF+DFA＝90°可以得出∠AFB＝90°，就可以得出△AFB是等腰直角三角形，由AE＝BE就可以得出EF＝AB．
【詳解】
解：（1）EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，AE＝BE，
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠D＝∠C＝90°，
在Rt△ADF和Rt△FCB中，
∴△ADF≌△FCB（HL），
∴∠DAF＝∠CFB；
（2）∵∠D＝90°，
∴∠DAF+∠DFA＝90°，
∴∠CFB+∠DFA＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴△AFB是等腰直角三角形，
∵AE＝BE，
∴EF＝AB．
【點撥】
本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運用，垂直平分線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．
24．
【分析】
取AC的中點D，連接BD、OD，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和．
【詳解】
解：如圖7-2，取AC的中點D，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴OD＝ AC＝1，BD＝．
在△OBD中，總是有OB＜OD＋BD．
如圖7-3，當(dāng)點D落在OB上時，OB最大，最大值為．

【點撥】
本題考查了最短路徑問題和斜邊中線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線，構(gòu)造三角形，利用三邊關(guān)系解決問題．
25．見解析

【分析】
由BC=2AD，E為BC的中點，則，再由即知四邊形AECD是平行四邊形；又，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，得AE=EC，從而四邊形AECD是菱形．
【詳解】
∵E為BC的中點，
∴為的斜邊BC上的中線
∴AE=EC=BE=
∵BC=2AD
∴
∴
∵
∴四邊形AECD是平行四邊形
∵AE=EC
∴四邊形AECD是菱形
【點撥】
本題考查了菱形的判定、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)．本題也可以用菱形的定義來證明，為此只要證即可．
26．（1）AD⊥BE，AD＝BE，證明見解析；（2）①證明見解析，②20
【分析】
（1）利用SAS證明△ACD≌△BCE，從而利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）①過點D作DH⊥CF于H，過點B作BG⊥CF，交CF的延長線于G，首先證明△ACT≌△BCG及△DCH≌△ECT，得到CT＝BG，CT＝DH，通過等量代換得出DH＝BG，再證明△DHF≌△BGF，則可證明結(jié)論；
②首先利用等腰三角形的性質(zhì)和ASA證明△AOM≌△COF，則有OM＝OF，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出FK＝BF，然后利用三角形的面積得出OF×BF＝10，最后利用平方的非負(fù)性和完全平方公式求解即可．
【詳解】
證明：（1）AD⊥BE，AD＝BE，
理由如下：∵CD⊥CE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠A＝∠CBE＝45°，AD＝BE，
∴∠CBE+∠ABC＝90°＝∠ABE，
∴AD⊥BE；
（2）①如圖2，過點D作DH⊥CF于H，過點B作BG⊥CF，交CF的延長線于G，

∵CF⊥AE，
∴∠ACT+∠CAT＝90°，
又∵∠ACT+∠BCG＝90°，
∴∠CAT＝∠BCG，
在△ACT和△BCG中，
，
∴△ACT≌△BCG（ASA），
∴CT＝BG，
同理可證△DCH≌△ECT，
∴CT＝DH，
∴DH＝BG，
在△DHF和△BGF中，
，
∴△DHF≌△BGF（AAS），
∴DF＝BF；
②如圖3，過點F作FK⊥BC于K，

∵等腰Rt△ABC，CA＝CB，點O是AB的中點，
∴AO＝CO＝BO，CO⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠OCF+∠OFC＝90°，
∵AT⊥CF，
∴∠OFC+∠FAT＝90°，
∴∠FAT＝∠OCF，
在△AOM和△COF中，
，
∴△AOM≌△COF（ASA），
∴OM＝OF，
又∵CO⊥AO，
∴MF＝OF，∠OFM＝∠OMF＝45°，
∴∠OFM＝∠ABC，
∴MFBC，
∵∠ABC＝45°，F(xiàn)K⊥BC，
∴∠ABC＝∠BFK＝45°，
∴FK＝BK，
∴FK＝BF，
∵S△FMN＝5，
∴×MF×FK＝5，
∴OF×BF＝10，
∴OF×BF＝10，
∵（BF﹣OF）2≥0，
∴BF2+OF2﹣2BF×OF≥0，
∴BF2+OF2≥2×10＝20，
∴BF2+OF2的最小值為20，
故答案為：20．
【點撥】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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