目錄
一、熱點(diǎn)題型歸納 1
【題型一】 線性回歸 1
【題型二】 殘差 5
【題型三】 剔除數(shù)據(jù)重新計(jì)算 7
【題型四】 非線性回歸1：指數(shù)型 11
【題型五】 非線性回歸2：反比例型 15
【題型六】 非線性回歸3：對(duì)數(shù)型 20
【題型七】 非線性回歸4：其他類型 23
二、最新?？碱}組練 27





【題型一】 線性回歸
【典例分析】
如圖是某地2014年至2020年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：萬(wàn)噸）的折線圖.

注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2014～2020.
(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；
(2)建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2022年某地生活垃圾無(wú)害化處理量.
附注：
參考數(shù)據(jù)：，，，.
參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.
【答案】(1)存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，理由見(jiàn)解析
(2)，1.82萬(wàn)噸
【分析】
（1）、結(jié)合參考數(shù)據(jù)及參考公式求出相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而可以得出結(jié)論；
（2）、根據(jù)參考公式求出回歸直線方程，進(jìn)而可以根據(jù)回歸直線方程進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì).
(1)
由折線圖看出，與之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，理由如下：
，，，，
.
，故與之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.
(2)由（1）結(jié)合題中數(shù)據(jù)可得，
，
關(guān)于的回歸方程，2022年對(duì)應(yīng)的值為9，故，
預(yù)測(cè)2022年該地生活垃圾無(wú)害化處理量為1.82萬(wàn)噸.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.直線型回歸常規(guī)；2.相關(guān)系數(shù)應(yīng)用。

【變式演練】
1.2020年全面建成小康社會(huì)取得偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅(jiān)取得決定性勝利．某市積極探索區(qū)域特色經(jīng)濟(jì)，引導(dǎo)商家利用多媒體的優(yōu)勢(shì)，對(duì)本地特產(chǎn)進(jìn)行廣告宣傳，取得了社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益的雙豐收，某商家統(tǒng)計(jì)了7個(gè)月的月廣告投入（單位：萬(wàn)元）與月銷量（單位：萬(wàn)件）的數(shù)據(jù)如表所示：
月廣告投入/萬(wàn)元
1
2
3
4
5
6
7
月銷量/萬(wàn)件
28
32
35
45
49
52
60

（1）已知可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明，并求關(guān)于的線性回歸方程；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，預(yù)計(jì)月廣告投入大于多少萬(wàn)元時(shí)，月銷量能突破70萬(wàn)件．
參考數(shù)據(jù)：，，．
參考公式：相關(guān)系數(shù)；
回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．
【答案】（1）相關(guān)系數(shù)，線性回歸模型能夠很好地?cái)M合與的關(guān)系；；（2）9.04萬(wàn)元．
【分析】
（1）現(xiàn)根據(jù)題中數(shù)據(jù)求得相關(guān)系數(shù)，從而說(shuō)明線性回歸模型能夠很好地?cái)M合與的關(guān)系，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)求得和，進(jìn)而求得回歸方程；
（2）解不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】
（1）由題意，知，
∴
．
結(jié)合，可得，
相關(guān)系數(shù)，
顯然與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而線性回歸模型能夠很好地?cái)M合與的關(guān)系．
易知，
，
∴．
∴關(guān)于的線性回歸方程為．
（2）若月銷量突破70萬(wàn)件，則，
解得．
故當(dāng)月廣告投入大于9.04萬(wàn)元時(shí)，月銷量能突破70萬(wàn)件．

2.根據(jù)國(guó)際疫情形勢(shì)以及傳染病防控的經(jīng)驗(yàn)，加快新冠病毒疫苗接種是當(dāng)前有力的防控手段，我國(guó)正在安全、有序加快推進(jìn)疫苗接種工作，某鄉(xiāng)村采取通知公告、微信推送、廣播播放、條幅宣傳等形式，積極開(kāi)展疫苗接種社會(huì)宣傳工作，消除群眾疑慮，提高新冠疫苗接種率，讓群眾充分地認(rèn)識(shí)到了疫苗接種的重要作用，自宣傳開(kāi)始后村干部統(tǒng)計(jì)了本村200名居民（未接種）5天內(nèi)每天新接種疫苗的情況，得如下統(tǒng)計(jì)表：
第天
1
2
3
4
5
新接種人數(shù)
10
15
19
23
28

（1）建立關(guān)于的線性回歸方程；
（2）預(yù)測(cè)該村居民接種新冠疫苗需要幾天？
參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： ，．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）本題首先可以求出、，然后求出、，即可求出關(guān)于的線性回歸方程；
（2）本題可設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，然后根據(jù)等差數(shù)列求和公式得出，最后求出、，即可得出結(jié)果.
（1），，
則，，
故關(guān)于的線性回歸方程.
（2），
設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，易知數(shù)列是等差數(shù)列，
則，
因?yàn)?，?br /> 所以預(yù)測(cè)該村居民接種新冠疫苗需要天.

【題型二】 殘差
【典例分析】
2018年9月17日，世界公眾科學(xué)素質(zhì)促進(jìn)大會(huì)在北京召開(kāi)，國(guó)家主席習(xí)近平向大會(huì)致賀信中指出，科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力，創(chuàng)新是引領(lǐng)發(fā)展的第一動(dòng)力某企業(yè)積極響應(yīng)國(guó)家“科技創(chuàng)新”的號(hào)召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù){xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6），如表
試銷單價(jià)x（百元）
1
2
3
4
5
6
產(chǎn)品銷量y（件）
91
86
p
78
73
70

（1）求出p的值；
（2）已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量y（件）關(guān)于試銷單價(jià)：x（百元）的線性國(guó)歸方程（計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)位）；
（3）用表示用正確的線性回歸方程得到的與x對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷的估計(jì)值當(dāng)銷售數(shù)據(jù)（xi，yi）的殘差的絕對(duì)值|yi﹣y|＜1時(shí)，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“有效數(shù)據(jù)”現(xiàn)從這6組銷售數(shù)中任取2組，求抽取的2組銷售數(shù)據(jù)都是“有效數(shù)據(jù)”的概率．
參考公式及數(shù)據(jù)yi＝80，1606，91，，.
【答案】（1）p＝82；（2）；（3）
【分析】
（1）由題意可列方程，解方程即可得解；
（2）把數(shù)據(jù)代入公式，求得，后即可得解；
（3）由題意找出有效數(shù)據(jù)，把所有的情況列舉出來(lái)后，找到符合要求的個(gè)數(shù)即可得解.
（1）由yi＝80，得，求得p＝82；
（2），．
∴所求的線性回歸方程為；
（3）當(dāng)x1＝1時(shí)，y1＝90；當(dāng)x2＝2時(shí)，y2＝86；當(dāng)x3＝3時(shí)，y3＝82；當(dāng)x4＝4時(shí)，y4＝78；當(dāng)x5＝5時(shí)，y5＝74；當(dāng)x6＝6時(shí)，y6＝70．
與銷售數(shù)據(jù)對(duì)比可知滿足|yi﹣y|＜1（i＝1，2，…，6）的共有4個(gè)“有效數(shù)據(jù)”：（2，86）、（3，82）、（8，78）、（6，70）．
給6組銷售數(shù)據(jù)編號(hào)，則從6組銷售數(shù)中任取2組有：（1，2）、（1，3）、（1，4）、
（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、
（4，5）、（4，6）、（5，6）共15種情況，其中兩組都是有效數(shù)據(jù)的情況有6種.
∴抽取的2組銷售數(shù)據(jù)都是“有效數(shù)據(jù)”的概率為．

【提分秘籍】
基本規(guī)律
殘差計(jì)算：

【變式演練】
1.“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國(guó)人民發(fā)出的口號(hào).某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號(hào)召，大力研發(fā)新產(chǎn)品.為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如下表所示：

已知.
（1）求出的值；
（2）已知變量，具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量（件）關(guān)于試銷單價(jià)（元）的線性回歸方程；
（3）用表示用正確的線性回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)的殘差的絕對(duì)值時(shí)，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求抽取的2個(gè)銷售數(shù)據(jù)中至少有1個(gè)是“好數(shù)據(jù)”的概率.
【答案】（I）；（II）；（III）.
試題分析：（1）借助題設(shè)條件直接求解；（2）運(yùn)用相關(guān)系數(shù)公式求解；（3）依據(jù)題設(shè)條件及新定義的概念和概率公式求解：
試題解析：
解：（Ⅰ），可求得．
（Ⅱ），
，
所以所求的線性回歸方程為．
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
與銷售數(shù)據(jù)對(duì)比可知滿足（1,2，…，6）的共有3個(gè)“好數(shù)據(jù)”：、、．
從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任意抽取2個(gè)的所有可能結(jié)果有種，
其中2個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)是“好數(shù)據(jù)”的結(jié)果有種，
于是從抽得2個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)銷售數(shù)據(jù)中的產(chǎn)品銷量不超過(guò)80的概率為．
2.．醫(yī)學(xué)中判斷男生的體重是否超標(biāo)有一種簡(jiǎn)易方法，就是用一個(gè)人身高的厘米數(shù)減去105所得差值即為該人的標(biāo)準(zhǔn)體重．比如身高175cm的人，其標(biāo)準(zhǔn)體重為175-105=70公斤，一個(gè)人實(shí)際體重超過(guò)了標(biāo)準(zhǔn)體重，我們就說(shuō)該人體重超標(biāo)了．已知某班共有30名男生，從這30名男生中隨機(jī)選取6名，其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示：
編號(hào)
1
2
3
4
5
6
身高（cm）
165
171
160
173
178
167
體重（kg）
60
63
62
70
71
58

（1）從這6人中任選2人，求恰有1人體重超標(biāo)的概率；
（2）依據(jù)上述表格信息，用最小二乘法求出了體重y對(duì)身高x的線性回歸方程：，但在用回歸方程預(yù)報(bào)其他同學(xué)的體重時(shí)，預(yù)報(bào)值與實(shí)際值吻合不好，需要對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差分析．按經(jīng)驗(yàn)，對(duì)殘差在區(qū)間之外的同學(xué)要重新采集數(shù)據(jù)．問(wèn)上述隨機(jī)抽取的編號(hào)為3，4，5，6的四人中，有哪幾位同學(xué)要重新采集數(shù)據(jù)？
參考公式：殘差．
【答案】（1）；（2）3號(hào)和6號(hào)需要重新采集數(shù)據(jù).
【分析】
（1）求出6人中體重超標(biāo)的人數(shù)，再由古典概型概率計(jì)算公式即可求解；
（2）先根據(jù)回歸直線方程必過(guò)樣本中心求出，進(jìn)而求出殘差，即可判斷出哪些同學(xué)需要重新采集數(shù)據(jù).
（1）由表可知：
1號(hào)同學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)體重為；
2號(hào)同學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)體重為；
3號(hào)同學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)體重為；
4號(hào)同學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)體重為；
5號(hào)同學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)體重為；
6號(hào)同學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)體重為；
故3號(hào)、4號(hào)同學(xué)體重超標(biāo)，所以恰有1人體重超標(biāo)的概率；
（2）因?yàn)椋?br /> ，
回歸直線方程必過(guò)樣本中心，得，即，
所以回歸直線方程為，
殘差分析：
，
，
，
，
故3號(hào)和6號(hào)同學(xué)需要重新采集數(shù)據(jù).
【題型三】 剔除數(shù)據(jù)重新計(jì)算
【典例分析】
習(xí)近平總書(shū)記在黨的十九大報(bào)告中指出，要在“幼有所育、學(xué)有所教、勞有所得、病有所醫(yī)、老有所養(yǎng)、住有所居、弱有所扶”上不斷取得新進(jìn)展，保證全體人民在共建共享發(fā)展中有更多獲得感．現(xiàn)S市政府針對(duì)全市10所由市財(cái)政投資建設(shè)的敬老院進(jìn)行了滿意度測(cè)評(píng)，得到數(shù)據(jù)如下表：
敬老院
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
滿意度x（%）
20
34
25
19
26
20
19
24
19
13
投資原y（萬(wàn)元）
80
89
89
78
75
71
65
62
60
52

（1）求投資額關(guān)于滿意度的相關(guān)系數(shù)；
（2）我們約定：投資額關(guān)于滿意度的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值在0.75以上（含0.75）是線性相關(guān)性較強(qiáng)，否則，線性相關(guān)性較弱.如果沒(méi)有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)，則采取“末位淘汰”制（即滿意度最低的敬老院市財(cái)政不再繼續(xù)投資，改為區(qū)財(cái)政投資）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投資額關(guān)于滿意度的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.1）
參考數(shù)據(jù)：，，，，.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.線性相關(guān)系數(shù).
【答案】(1)0.72；(2)
【分析】
（1）由題意，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式，可得的值，即可求解；
（2）由（1）可知，得投資額關(guān)于滿意度沒(méi)有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)，利用公式求得的值，即可得出回歸直線的方程.
（1）由題意，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式，可得.
（2）由（1）可知，因?yàn)椋酝顿Y額關(guān)于滿意度沒(méi)有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)，
所以要“末位淘汰”掉K敬老院.
重新計(jì)算得，，
，
，
所以，
.
所以所求線性回歸方程為.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
剔除數(shù)據(jù)時(shí)，要注意平均值和公式數(shù)據(jù)的相關(guān)計(jì)算，參考典例分析

【變式演練】
1.BMI指數(shù)是用體重公斤數(shù)除以身高米數(shù)的平方得出的數(shù)值，是國(guó)際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).對(duì)于高中男體育特長(zhǎng)生而言，當(dāng)BMI數(shù)值大于或等于20.5時(shí)，我們說(shuō)體重較重，當(dāng)BMI數(shù)值小于20.5時(shí)，我們說(shuō)體重較輕，身高大于或等于170cm時(shí)，我們說(shuō)身高較高，身高小于170cm時(shí)，我們說(shuō)身高較矮.某中小學(xué)生成長(zhǎng)與發(fā)展機(jī)構(gòu)從某市的320名高中男體育特長(zhǎng)生中隨機(jī)選取8名，其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示：
編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
身高（cm）
166
167
160
173
178
169
158
173
體重（kg）
57
58
53
61
66
57
50
66

（1）根據(jù)最小二乘法的思想與公式求得線性回歸方程.利用已經(jīng)求得的線性回歸方程，請(qǐng)完善下列殘差表，并求解釋變量（身高）對(duì)于預(yù)報(bào)變量（體重）變化的貢獻(xiàn)值（保留兩位有效數(shù)字）；
編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
身高（cm）
166
167
160
173
178
169
158
173
體重（kg）
57
58
53
61
66
57
50
66
殘差
0.1
0.3
0.9
﹣1.5
﹣0.5




（2）通過(guò)殘差分析，對(duì)于殘差的最大（絕對(duì)值）的那組數(shù)據(jù)，需要確認(rèn)在樣本點(diǎn)的采集中是否有人為的錯(cuò)誤.已知通過(guò)重新采集發(fā)現(xiàn)，該組數(shù)據(jù)的體重應(yīng)該為58（kg）.請(qǐng)重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，求出男體育特長(zhǎng)生的身高與體重的線性回歸方程.
參考公式： ，..
參考數(shù)據(jù)：，，，，.
【答案】（1）填表見(jiàn)解析;;（2）.
（1）由表中的數(shù)據(jù)可求出線性回歸方程為，進(jìn)而可完善所給表格，求出所有殘差值.由即可求出貢獻(xiàn)值.
（2）計(jì)算修訂后以及，代入到，進(jìn)而可求出線性回歸方程.
解：（1）由題意知線性回歸方程為，計(jì)算，，.完善下列殘差表如下，
編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
身高（cm）xi
166
167
160
173
178
169
158
173
體重（kg）yi
57
58
53
61
66
57
50
66
殘差
0.1
0.3
0.9
﹣1.5
﹣0.5
﹣2.3
﹣0.5
3.5

計(jì)算 ，
所以解釋變量（身高）對(duì)于預(yù)報(bào)變量（體重）變化的貢獻(xiàn)值.
（2）通過(guò)殘差分析知，殘差的最大（絕對(duì)值）的那組數(shù)據(jù)為第8組，且
由，計(jì)算修訂后
又，，修訂后.
所以，
.
所以關(guān)于的線性回歸方程是.
2.某手機(jī)公司生產(chǎn)某款手機(jī)，如果年返修率不超過(guò)千分之一，則生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司2010-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）
3
4
5
6
7
7
9
10
12
產(chǎn)品年利潤(rùn)（千萬(wàn)元）
3.6
4.1
4.4
5.2
6.2
7.8
7.5
7.9
9.1
年返修量（臺(tái)）
47
42
48
50
92
83
72
87
90

（1）（理）從該公司2010-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(rùn)（千萬(wàn)元）關(guān)于年生產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）的線性回歸方程（精確到0.01）.部分計(jì)算結(jié)果：，，.
附：；線性回歸方程中，，.
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）
【分析】
（1）由題可得有五個(gè)年份考核優(yōu)秀，即可求出可能的取值以及對(duì)應(yīng)的概率，得出的分布列及其數(shù)學(xué)期望．
（2）計(jì)算出去掉2015年數(shù)據(jù)之后的，，將數(shù)據(jù)代入計(jì)算，再由計(jì)算出，即可得到線性回歸方程．
解：（1）由數(shù)據(jù)可知，2012，2013，2016，2017，2018五個(gè)年份考核優(yōu)秀，
所以的所有可能取值為0，1，2，3，
，，
，，???????????????????????????????????????????????
故的分布列為：

0
1
2
3






∴????
（2）因?yàn)?，?br /> 所以去掉2015年的數(shù)據(jù)后不影響的值，
所以，去掉2015年數(shù)據(jù)后，，，
所以，故回歸方程為：.

【題型四】 非線性回歸1：指數(shù)型
【典例分析】
從集市上買回來(lái)的蔬菜仍存有殘留農(nóng)藥，食用時(shí)需要清洗數(shù)次，統(tǒng)計(jì)表中的表示清洗的次數(shù)，表示清洗次后千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量（單位：微克）．
x
1
2
3
4
5
y
4.5
2.2
1.4
1.3
0.6

（1）在如圖的坐標(biāo)系中，描出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為清洗次后千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)判斷及下面表格中的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
表中，．







3
2
0.12
10
0.09
-8.7
0.9

（3）對(duì)所求的回歸方程進(jìn)行殘差分析．
附：①線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式分別為，；
②，說(shuō)明模擬效果非常好；
③，，，，．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）擬合效果非常好．
【分析】
（1）先根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，結(jié)合散點(diǎn)圖給出判斷；
（2）根據(jù)，，及相關(guān)公式可求關(guān)于的回歸方程；
（3）先求解估計(jì)值與真實(shí)數(shù)據(jù)間的差，根據(jù)公式求出，然后進(jìn)行判斷.
（1）散點(diǎn)圖如圖，

根據(jù)散點(diǎn)圖可知用作為清洗次后千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量的回歸方程類型．
（2）由題知，，
故所求的回歸方程為．
（3）列表如下：

0
0
0.1
0.3
-0.3

2.5
0.2
-0.6
-0.7
-1.4

所以，，，
所以回歸模擬的擬合效果非常好．


【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.直接設(shè)指數(shù)求解；
2.取對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)，再設(shè)對(duì)數(shù)求解
【變式演練】
1.為了研究一種昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x是否有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表中，并做出了散點(diǎn)圖，

發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量并不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)分別用模型①與模型；②作為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.
溫度x/℃
20
22
24
26
28
30
32
產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)
6
10
21
24
64
113
322

400
484
576
676
784
900
1024

1.79
2.30
3.04
3.18
4.16
4.73
5.77





26
692
80
3.57




1157.54
0.43
0.32
0.00012

其中，，，.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，模型①、②的相關(guān)指數(shù)計(jì)算分別為，，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)指數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好.
（2）根據(jù)（1）中的判斷，在擬合效果更好的模型下求y關(guān)于x的回歸方程；并估計(jì)溫度為30℃時(shí)的產(chǎn)卵數(shù).（，，，與估計(jì)值均精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）
（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】（1）模型②的擬合效果更好；（2），當(dāng)時(shí)，估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)為.
【分析】
（1）根據(jù)相關(guān)指數(shù)的大小，即可比較模型擬合效果的優(yōu)劣，相關(guān)指數(shù)越大，擬合效果越好；
（2）由（1）可知選模型②，兩邊取對(duì)數(shù)得，再令，則，所以先利用最小二乘法求的回歸系數(shù)，再代換回去即可.
解：（1）因?yàn)?，所以模型②的擬合效果更好.
（2）由（1）知模型②的擬合效果更好，
對(duì)于模型②：設(shè)，則，
其中，
.
所以y關(guān)于x的回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)為.
2.近年來(lái)，由于耕地面積的緊張，化肥的施用量呈增加趨勢(shì)．一方面，化肥的施用對(duì)糧食增產(chǎn)增收起到了關(guān)鍵作用，另一方面，也成為環(huán)境污染、空氣污染、土壤污染的重要來(lái)源之一如何合理地施用化肥，使其最大程度地促進(jìn)糧食增產(chǎn)，減少對(duì)周圍環(huán)境的污染成為需要解決的重要問(wèn)題研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量的關(guān)系，成為解決上述問(wèn)題的前提某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值化肥施用量為（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為（單位：百公斤）．

參考數(shù)據(jù)：








650
91.5
52.5
1478.6
30.5
15
15
46.5

表中．
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量關(guān)于化肥施用量的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
(3)根據(jù)（2）的回歸方程，并預(yù)測(cè)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量的值；
附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；②?。?br /> 【答案】(1)更適合作為關(guān)于的回歸方程類型；(2)；(3)810公斤.
【分析】
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖即可判斷，更適合作為關(guān)于的回歸方程類型；
（2）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出，再根據(jù)最小二乘法求出和的值，從而得出關(guān)于的回歸方程；
（3）由（2）得，當(dāng)時(shí)，即可預(yù)測(cè)糧食畝產(chǎn)量的值.
(1)
解：根據(jù)散點(diǎn)圖可判斷，更適合作為關(guān)于的回歸方程類型.
(2)
解：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，
由表中數(shù)據(jù)得：，，
，
，所以，
所以關(guān)于的回歸方程為.
(3)
解：由（2）得，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量約為810公斤.

【題型五】 非線性回歸2：反比例型
【典例分析】
為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測(cè)得了平均金屬含量（單位：）與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離（單位：）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值．（表中，）．








6
97.90
0.21
60
0.14
14.12
26.13
﹣1.40

（1）利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷與哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型？
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：
（i）建立關(guān)于的回歸方程；
（ii）樣本對(duì)原點(diǎn)的距離時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？
（iii）已知該金屬在距離原點(diǎn)時(shí)的平均開(kāi)采成本（單位：元）與，關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答，為何值時(shí)，開(kāi)采成本最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其線性相關(guān)系數(shù)，
其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．
【答案】（1）更適宜；（2）（i）；（ii）；（iii）為10時(shí)，開(kāi)采成本最大．
【分析】
（1）計(jì)算出的線性相關(guān)系數(shù)和的線性相關(guān)系數(shù)可得答案；
（2）（i）計(jì)算出和，可得關(guān)于的回歸方程；
（ii）代入可得答案；
（iii）求出，令，判斷的單調(diào)性可得答案．
（1）的線性相關(guān)系數(shù)，
的線性相關(guān)系數(shù)，
∵，
∴更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型．
（2）（i），，
∴，
∴關(guān)于的回歸方程為．
（ii）當(dāng)時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值為．
（iii），
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
∴在處取得極大值，也是最大值，此時(shí)取得最大值，
故為10時(shí)，開(kāi)采成本最大．

【提分秘籍】
基本規(guī)律
反比例型，一般可直接設(shè)


【變式演練】
1.近年來(lái)，政府相關(guān)部門引導(dǎo)鄉(xiāng)村發(fā)展旅游的同時(shí)，鼓勵(lì)農(nóng)戶建設(shè)溫室大棚種植高品質(zhì)農(nóng)作物.為了解某農(nóng)作物的大棚種植面積對(duì)種植管理成本的影響，甲，乙兩同學(xué)一起收集6家農(nóng)戶的數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，得到兩個(gè)回歸摸型：模型①：，模型②： ，對(duì)以上兩個(gè)回歸方程進(jìn)行殘差分析，得到下表：
種植面積(畝)
2
3
4
5
7
9
每畝種植管理成本(百元)
25
24
21
22
16
14
模型①
估計(jì)值
25.27
23.62
21.97

17.02
13.72
殘差
-0.27
0.38
-0.97

-1.02
0.28
模型②

26.84

20.17
18.83
17.31
16.46

-1.84

0.83
3.17
-1.31
-2.46

（1）將以上表格補(bǔ)充完整，并根據(jù)殘差平方和判斷哪個(gè)模型擬合效果更好；
（2）視殘差的絕對(duì)值超過(guò)1.5的數(shù)據(jù)視為異常數(shù)據(jù)，針對(duì)（1）中擬合效果較好的模型，剔除異常數(shù)據(jù)后，重新求回歸方程.
附：， ；
【答案】（1）表格答案見(jiàn)解析，模型①擬合效果比較好.（2）
【分析】
（1）令時(shí)，求得，，令時(shí)，求得，，填入表格即可.根據(jù)殘差平方和公式，分別求得模型①的殘差平方和，模型②的殘差平方和，再比較下結(jié)論.
（2）根據(jù)視殘差的絕對(duì)值超過(guò)1.5的數(shù)據(jù)視為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)剔除第四組數(shù)據(jù)，分別求得，，利用公式進(jìn)而求得，，寫(xiě)出回歸方程.
（1）當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
完成表格如下：
種植面積(畝)
2
3
4
5
7
9
每畝種植管理成本(百元)
25
24
21
22
16
14
模型①
估計(jì)值
25.27
23.62
21.97
20.32
17.02
13.72
殘差
-0.27
0.38
-0.97
1.68
-1.02
0.28
模型②

26.84
22.39
20.17
18.83
17.31
16.46

-1.84
1.61
0.83
3.17
-1.31
-2.46

模型①的殘差平方和為，
模型②的殘差平方和為，
所以模型①的殘差平方和比模型②的殘差平方和小，
所以模型①擬合效果比較好.
（2）由題意知，應(yīng)剔除第四組數(shù)據(jù)，
，，
，
，
∴所求回歸方程為.
2.我國(guó)為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金．現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額(單位：億元)對(duì)年盈利額(單位：億元)的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近年年研發(fā)資金投入額和年盈利額的數(shù)據(jù)．通過(guò)對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①；②，若對(duì)于任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與軸垂直的直線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，定義：，，若則用函數(shù)來(lái)擬合與之間的關(guān)系更合適，否則用函數(shù)來(lái)擬合與之間的關(guān)系．
（1）給定一組變量，對(duì)于函數(shù)與函數(shù)，試?yán)枚x求，的值，并判斷哪一個(gè)更適合作為點(diǎn)中的與之間的擬合函數(shù)；
（2）若一組變量的散點(diǎn)圖符合圖象，試?yán)孟卤碇械挠嘘P(guān)數(shù)據(jù)與公式求與的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，的值為多少．















表中的，
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，
【答案】（1）；；函數(shù)更適合；（2）；．
【分析】
（1）由分別取時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再根據(jù)變量，分別求得，比較下結(jié)論；
（2）在中，令，得到，然后利用最小二乘法求得，寫(xiě)出關(guān)于的線性回歸方程，進(jìn)而得到關(guān)于的回歸方程即可.
（1）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)分別取時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，
此時(shí)
對(duì)于函數(shù)，當(dāng)分別取時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，
此時(shí)
從而有，
因此由定義得選用函數(shù)更適合作為點(diǎn)中的與之間的擬合函數(shù)．
（2）在中，令，所以有，
于是可建立關(guān)于的線性回歸方程為，
所以，
，
所以關(guān)于的線性回歸方程為，
因此關(guān)于的回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，，即可預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，的值為．

【題型六】 非線性回歸3：對(duì)數(shù)型
【典例分析】
某投資公司2012年至2021年每年的投資金額（單位：萬(wàn)元）與年利潤(rùn)增量（單位：萬(wàn)元）的散點(diǎn)圖如圖：該投資公司為了預(yù)測(cè)2022年投資金額為20萬(wàn)元時(shí)的年利潤(rùn)增量，建立了關(guān)于的兩個(gè)回歸模型；模型①：由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程：；模型②：由圖中樣本點(diǎn)的分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在由線：的附近，對(duì)投資金額做換元，令，則，且有，

(1)根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中關(guān)于的回歸方程；
(2)分別利用這兩個(gè)回歸模型，預(yù)測(cè)投資金額為20萬(wàn)元時(shí)的年利潤(rùn)增量（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；
附：樣本的最小乘估計(jì)公式為；參考數(shù)據(jù)：.
【答案】(1)
(2)模型①的年利潤(rùn)增量的預(yù)測(cè)值為（萬(wàn)元），模型②的年利潤(rùn)增量的預(yù)測(cè)值為（萬(wàn)元）
【分析】
（1）結(jié)合已知數(shù)據(jù)和公式求出這兩個(gè)系數(shù)即可得回歸方程；
（2）把代入模型①、②的回歸方程，算出即可．
(1)由題意，知，可得，
又由，
則
所以，模型②中關(guān)于的回歸方程.
(2)當(dāng)時(shí)，模型①的年利潤(rùn)增量的預(yù)測(cè)值為（萬(wàn)元），
當(dāng)時(shí)，模型②的年利潤(rùn)增量的預(yù)測(cè)值為
萬(wàn)元

【提分秘籍】
基本規(guī)律
1，對(duì)指數(shù)型取對(duì)數(shù)；2.直接設(shè)對(duì)數(shù)。



【變式演練】
1.有一種速度叫中國(guó)速度，有一種驕傲叫中國(guó)高鐵.中國(guó)高鐵經(jīng)過(guò)十幾年的發(fā)展，取得了舉世矚目的成就，使我國(guó)完成了從較落后向先進(jìn)鐵路國(guó)的跨越式轉(zhuǎn)變.中國(guó)的高鐵技術(shù)不但越來(lái)越成熟，而且還走向國(guó)外，幫助不少國(guó)家修建了高鐵.高鐵可以說(shuō)是中國(guó)一張行走的名片.截至到2020年，中國(guó)高鐵運(yùn)營(yíng)里程已經(jīng)達(dá)到3.9萬(wàn)公里.下表是2013年至2020年中國(guó)高鐵每年的運(yùn)營(yíng)里程統(tǒng)計(jì)表，它反映了中國(guó)高鐵近幾年的飛速發(fā)展：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼
1
2
3
4
5
6
7
8
運(yùn)營(yíng)里程萬(wàn)公里
1.3
1.6
1.9
2.2
2.5
2.9
3.5
3.9

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下面問(wèn)題.
（1）甲同學(xué)用曲線y=bx+a來(lái)擬合，并算得相關(guān)系數(shù)r1=0.97，乙同學(xué)用曲線y=cedx來(lái)擬合，并算得轉(zhuǎn)化為線性回歸方程所對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)r2=0.99，試問(wèn)哪一個(gè)更適合作為y關(guān)于x的回歸方程類型，并說(shuō)明理由；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01).
參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式：；參考數(shù)據(jù)：令
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
(1)比較已知的相關(guān)系數(shù)大小關(guān)系即可得出正確答案;(2)由已知數(shù)據(jù)求出，結(jié)合回歸方程變形為，求出和，從而可求出回歸方程.
解：（1）∵，∴更適合作為y關(guān)于x的回歸方程類型.
（2），由得，
即，則，
，所以.
2.某電器企業(yè)統(tǒng)計(jì)了近年的年利潤(rùn)額（千萬(wàn)元）與投入的年廣告費(fèi)用（十萬(wàn)元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，散點(diǎn)圖如圖，對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：





15
15



（1）從①；②；③三個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)作為年廣告費(fèi)用和年利潤(rùn)額的回歸類型，判斷哪個(gè)類型符合，不必說(shuō)明理由；
（2）根據(jù)（1）中選擇的回歸類型，求出與的回歸方程；
（3）預(yù)計(jì)要使年利潤(rùn)額突破億，下一年應(yīng)至少投入多少?gòu)V告費(fèi)用？結(jié)果保留到萬(wàn)元
參考數(shù)據(jù)：
參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
湖北省荊州中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
【答案】（1）選擇回歸類型更好；（2）；（3）下一年應(yīng)至少投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用．
【分析】
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖形狀可確定回歸類型；
（2）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，利用最小二乘法可求得，由此可得回歸方程；
（3）令可解出的范圍，進(jìn)而確定結(jié)果.
（1）由散點(diǎn)圖知，年廣告費(fèi)用和年利潤(rùn)額的回歸類型并不是直線型的，而是曲線型的，
所以選擇回歸類型更好．
（1）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得：，即，
由表中數(shù)據(jù)得：，，，
年廣告費(fèi)用和年利潤(rùn)額的回歸方程為．
（3）由（2）知：，
令得：，解得：，
，（十萬(wàn)元），十萬(wàn)元萬(wàn)元
下一年應(yīng)至少投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用．
【題型七】 非線性回歸4：其他函數(shù)型
【典例分析】
光伏發(fā)電是利用太陽(yáng)能電池及相關(guān)設(shè)備將太陽(yáng)光能直接轉(zhuǎn)化為電能.近幾年在國(guó)內(nèi)出臺(tái)的光伏發(fā)電補(bǔ)貼政策的引導(dǎo)下，某地光伏發(fā)電裝機(jī)量急劇上漲，如下表：
年份
2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
年份代碼
1
2
3
4
5
6
7
8
新增光伏裝機(jī)量兆瓦
0.4
0.8
1.6
3.1
5.1
7.1
9.7
12.2

某位同學(xué)分別用兩種模型：①，②進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，殘差圖如下（注：殘差等于）：

經(jīng)過(guò)計(jì)算得，，，，其中，.
（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年新增光伏裝機(jī)量是多少.（在計(jì)算回歸系數(shù)時(shí)精確到0.01）
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.
【答案】（1）模型①的擬合效果相對(duì)較好；詳見(jiàn)解析（2）回歸方程為；預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年新增光伏裝機(jī)量為（兆瓦）
【分析】
（1）根據(jù)殘差圖的帶狀區(qū)域越窄，其模型的擬合效果越好即可判斷；
（2）利用換元的思想，令，把非線性的回歸方程轉(zhuǎn)化為線性的回歸方程，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)和公式求出，再由回歸直線經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，求出即可求出回歸方程；把代入回歸方程求出即為所求的預(yù)測(cè)值.
（1）選擇模型①.
理由如下：根據(jù)殘差圖可以看出，模型①的估計(jì)值和真實(shí)值相對(duì)比較接近，模型②的殘差相對(duì)較大一些，所以模型①的擬合效果相對(duì)較好.
（2）由（1），知關(guān)于的回歸方程為，令，則.
由所給數(shù)據(jù)可得，
，
所以，
由線性回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)可得，
.
所以關(guān)于的回歸方程為.
預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年新增光伏裝機(jī)量為（兆瓦）.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
冪函數(shù)型等其他類型，可類比前幾種


【變式演練】
1.年月日，第四屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海開(kāi)幕，共計(jì)多家參展商參展，多項(xiàng)新產(chǎn)品，新技術(shù)，新服務(wù)在本屆進(jìn)博會(huì)上亮相．某投資公司現(xiàn)從中選出種新產(chǎn)品進(jìn)行投資．為給下一年度投資提供決策依據(jù)，需了解年研發(fā)經(jīng)費(fèi)對(duì)年銷售額的影響，該公司甲、乙兩部門分別從這種新產(chǎn)品中隨機(jī)地選取種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品被甲、乙兩部門是否選中相互獨(dú)立．












(1)求種新產(chǎn)品中產(chǎn)品被甲部門或乙部門選中的概率；
(2)甲部門對(duì)選取的種產(chǎn)品的年研發(fā)經(jīng)費(fèi)（單位：萬(wàn)元）和年銷售額（單位：十萬(wàn)元）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．根據(jù)散點(diǎn)圖現(xiàn)擬定關(guān)于的回歸方程為.求、的值（結(jié)果精確到）；
(3)甲、乙兩部門同時(shí)選中了新產(chǎn)品，現(xiàn)用擲骰子的方式確定投資金額．若每次擲骰子點(diǎn)數(shù)大于，則甲部門增加投資萬(wàn)元，乙部門不增加投資；若點(diǎn)數(shù)小于，則乙部門增加投資萬(wàn)元，甲部門不增加投資，求兩部門投資資金總和恰好為萬(wàn)元的概率．
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，，.
【答案】(1)；(2)，；(3).
【分析】
（1）利用組合計(jì)數(shù)原理、古典概型的概率公式以及對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）令，計(jì)算出、的值，利用最小二乘法公式結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)可求得、的值；
（3）設(shè)投資資金總和恰好為萬(wàn)元的概率為，則投資資金總和恰好為萬(wàn)元的概率為，推導(dǎo)出數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，利用累加法可求得的值.,
(1)解：種新產(chǎn)品中產(chǎn)品沒(méi)有被甲部門和乙部門同時(shí)選中的概率，
所以產(chǎn)品被甲部門或乙部門選中的概率為．
(2)解：令，由題中數(shù)據(jù)得，，
，，
，．
(3)解：由題意知，擲骰子時(shí)甲部門增加投資萬(wàn)元發(fā)生的概率為，乙部門增加投資萬(wàn)元發(fā)生的概率為．
設(shè)投資資金總和恰好為萬(wàn)元的概率為，則投資資金總和恰好為萬(wàn)元的概率為．
所以，
因?yàn)椋?，?br /> 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，
所以
，
所以投資資金總和恰好為萬(wàn)元的概率是．
2.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)(單位：千元)對(duì)年銷售量(單位：噸)的影響，對(duì)近年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.







46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8


表中：，
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
（3）根據(jù)（2）中的回歸方程，求當(dāng)年宣傳費(fèi)千元時(shí)，年銷售預(yù)報(bào)值是多少？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.
【答案】（1）由散點(diǎn)圖可判斷適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型；（2）；（3）噸．
【分析】
（1）由散點(diǎn)圖可以知,關(guān)系是非線性的即可判斷；
（2）令，則，利用根據(jù)題中數(shù)據(jù)可計(jì)算，的值，即可得關(guān)于的線性回歸方程，再將代入即可求解；
（3）將代入關(guān)于的回歸方程即可求解.
（1）由散點(diǎn)圖可以判斷：適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型；
（2）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，
由于，
，
所以關(guān)于的線性回歸方程為，
所以關(guān)于的回歸方程為；
（3）由（2）知：當(dāng)時(shí)，年銷售量的預(yù)報(bào)值

故年宣傳費(fèi)千元時(shí)，年銷售預(yù)報(bào)值是噸．

1.某課外活動(dòng)興趣小組為了解某種植物的生長(zhǎng)情況，收集了該種植物月生長(zhǎng)量與月平均氣溫(℃)的6組數(shù)據(jù).
編號(hào)
1
2
3
4
5
6

14
15
17
18
20
21

3
5
6
8
10
12

（1）請(qǐng)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)求關(guān)于的線性回歸方程(結(jié)果保留1位小數(shù))；
（2）利用（1）中求出的線性回歸方程進(jìn)行殘差分析.若用中的估計(jì)回歸方程中的，由于隨機(jī)誤差，所以是的估計(jì)值，為相應(yīng)點(diǎn)的殘差.請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面的殘差表，并繪制殘差圖，根據(jù)得到的殘差圖，分析該回歸方程的擬合效果.
殘差表：
編號(hào)
1
2
3
4
5
6

14
15
17
18
20
21

3
5
6
8
10
12








殘差圖：

參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：線性回歸方程中，，.

【答案】（1）；（2）殘差表答案見(jiàn)解析，殘差圖答案見(jiàn)解析，擬合效果較好.
（1）直接代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)公式計(jì)算殘差，通過(guò)殘差圖判斷擬合效果情況.
（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，
有，則，
所以關(guān)于的線性回歸方程為.
（2）填寫(xiě)殘差表如表所示.
編號(hào)
1
2
3
4
5
6

14
15
17
18
20
21

3
5
6
8
10
12








畫(huà)出殘差圖如圖所示

根據(jù)殘差圖可知?dú)埐顚?duì)應(yīng)的點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度較窄，該回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)會(huì)較高，說(shuō)明擬合效果較好.
2.某新興環(huán)保公司為了確定新開(kāi)發(fā)的產(chǎn)品下一季度的營(yíng)銷計(jì)劃，需了解月宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)月銷售量y（單位：t）和月利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，收集了2019年12月至2020年5月共6個(gè)月的月宣傳費(fèi)和月銷售量（）的數(shù)據(jù)如下表：
月份
12
1
2
3
4
5
宣傳費(fèi)x
1
3
5
7
9
11
月銷售量y
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67

現(xiàn)分別用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值：（注殘差在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中是指實(shí)際觀察值與估計(jì)值（擬合值）之間的差.）




6
30
1284.24
286


（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由；
（2）殘差絕對(duì)值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除，剔除異常數(shù)據(jù)后求出（1）中所選模型的回歸方程；
（3）已知該產(chǎn)品的月利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：
（i）若月宣傳費(fèi)時(shí)，該模型下月銷售量y的預(yù)報(bào)值為多少？
（ii）當(dāng)月宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，月利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，

【答案】（1）選擇模型①，理由見(jiàn)解析；（2）；（3）（i）53.04（千元）；（ii）（千元）時(shí), 月利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值最大.
【分析】
（1）從兩個(gè)方面說(shuō)明應(yīng)該選擇模型①；
（2）利用最小二乘法原理求回歸方程；
（3）（i）把代入回歸方程即得解；
（ii）求出，再利用二次函數(shù)分析得解.
（1）應(yīng)該選擇模型①，一是因?yàn)槟Ｐ廷贇埐铧c(diǎn)整體上更接近，二是因?yàn)闅埐铧c(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明該模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.
（2）剔除異常數(shù)據(jù)，即2020年2月的數(shù)據(jù)后，
由題得；
，，
；
，
所以關(guān)于的線性回歸方程為.
（3）（i）把代入回歸方程得：，故預(yù)報(bào)值約為53.04（千元）
（ii）
所以當(dāng)（千元）時(shí)，月利潤(rùn)預(yù)報(bào)值最大.
3.（衡水金卷2021-2022學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)摸底測(cè)試卷數(shù)學(xué)（三））千百年來(lái)，人們一直在通過(guò)不同的方式傳遞信息.在古代，烽火狼煙、飛鴿傳書(shū)、快馬驛站等通信方式被人們廣泛應(yīng)用;第二次工業(yè)革命后，科技的進(jìn)步帶動(dòng)了電訊事業(yè)的發(fā)展，電報(bào)電話的發(fā)明讓通信領(lǐng)域發(fā)生了翻天覆地的變化;之后，計(jì)算機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)則使得“千里眼”“順風(fēng)耳”變?yōu)楝F(xiàn)實(shí).現(xiàn)在，的到來(lái)給人們的生活帶來(lái)顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公司在第月份至6月份的經(jīng)濟(jì)收入(單位:百萬(wàn)元)關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如表:
時(shí)間(月份)
1
2
3
4
5
6
收入(百萬(wàn)元)







根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，如圖.

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與均為常數(shù))哪一個(gè)適宜作為經(jīng)濟(jì)收入關(guān)于月份的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)
(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司8月份的經(jīng)濟(jì)收入；
(3)從前6個(gè)月的收入中抽取個(gè)﹐記月收入超過(guò)百萬(wàn)的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):













其中設(shè)
參考公式和數(shù)據(jù):對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:，
【答案】(1)；(2)，百萬(wàn)元；(3)分布列見(jiàn)解析，2.
【分析】
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的分布即可得到答案；
（2）根據(jù)題意，，然后根據(jù)參考數(shù)據(jù)求出方程，進(jìn)而得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸方程，最后將代入方程即可得到答案；
（3）根據(jù)超幾何分布求概率的方法求得概率，然后列出分布列，最后根據(jù)期望公式求出期望.
(1)
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，適宜作為經(jīng)濟(jì)收入關(guān)于月份的回歸方程類型.
(2)
因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)﹐得，
設(shè)，所以，又因?yàn)椋?br /> 所以，，
所以，即，
令，得，故預(yù)測(cè)該公司月份的經(jīng)濟(jì)收入為百萬(wàn)元.
(3)
前個(gè)月的收入中，月收入超過(guò)百萬(wàn)的有個(gè)，所以的取值為，
，，，
所以的分布列為









所以.
4.某保險(xiǎn)公司根據(jù)官方公布的歷年?duì)I業(yè)收入，制成表格如下：
表1
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份序號(hào)x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
營(yíng)業(yè)收入y（億元）
0.52
9.36
33.6
132
352
571
912
1207
1682
2135

由表1，得到下面的散點(diǎn)圖：

根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，某同學(xué)選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來(lái)擬合y和x的關(guān)系.這時(shí)，可以對(duì)年份序號(hào)做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見(jiàn)表2.
表2
T
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Y
0.52
9.36
33.6
132
352
571
912
1207
1682
2135

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到個(gè)位數(shù)）；
（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計(jì)2021年的營(yíng)業(yè)收入，以及營(yíng)業(yè)收入首次超過(guò)4000億元的年份.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
參考數(shù)據(jù)：.

【答案】（1）；（2）估計(jì)2021年的營(yíng)業(yè)收入約為2518億元，估計(jì)營(yíng)業(yè)收入首次超過(guò)4000億元的年份為2024年.
【分析】
（1）根據(jù)的公式，將題干中的數(shù)據(jù)代入，即得解；
（2）代入，可估計(jì)2021年的營(yíng)業(yè)收入；令，可求解的范圍，繼而得到的范圍，即得解
（1），
，
故回歸方程為.
（2）2021年對(duì)應(yīng)的t的值為121，營(yíng)業(yè)收入，
所以估計(jì)2021年的營(yíng)業(yè)收入約為2518億元.
依題意有，解得，故.
因?yàn)椋?br /> 所以估計(jì)營(yíng)業(yè)收入首次超過(guò)4000億元的年份序號(hào)為14，即2024年.
5.自從新型冠狀病毒爆發(fā)以來(lái)，美國(guó)疫情持續(xù)升級(jí)，以下是美國(guó)2020年4月9日-12月14日每隔25天統(tǒng)計(jì)1次共計(jì)11次累計(jì)確診人數(shù)（萬(wàn)）．
日期（月/日）
4/09
5/04
5/29
6/23
7/18
8/13
統(tǒng)計(jì)時(shí)間序號(hào)
1
2
3
4
5
6
累計(jì)確認(rèn)人數(shù)
43.3
118.8
179.4
238.8
377.0
536.0
日期（月/日）
9/06
10/01
10/26
11/19
12/14

統(tǒng)計(jì)時(shí)間序號(hào)
7
8
9
10
11

累計(jì)確認(rèn)人數(shù)
646.0
744.7
888.9
1187.4
1673.7


（1）將4月9日作為第1次統(tǒng)計(jì)，若將統(tǒng)計(jì)時(shí)間序號(hào)作為變量，每次累計(jì)確診人數(shù)作為變量，得到函數(shù)關(guān)系，對(duì)上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到部分?jǐn)?shù)據(jù)已作近似處理的一些統(tǒng)計(jì)量的值，，，，，，，，，，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，確定該函數(shù)關(guān)系式（參數(shù)，的取值精確到0.01）；
（2）為了了解患新冠肺炎與年齡的關(guān)系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人數(shù)分別為45人，30人，15人，按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查結(jié)果對(duì)比，求這2人中至少有一人是老年人的概率．
參考公式：線性回歸方程中，，；
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由已知函數(shù)，兩邊到自然對(duì)數(shù)可得，再計(jì)算，，可得函數(shù)方程．
（2）先由分層抽樣的方法求得老年、中年、青年分別抽取的人數(shù)，運(yùn)用列舉法和古典概率公式可求得答案.
（1）因?yàn)椋裕?br /> 由已知得，
，，
∴所求函數(shù)方程為．
（2）從90人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人，
老年、中年、青年分別抽取的人數(shù)為3人，2人，1人，
記3個(gè)老年人為，，，2個(gè)中年人為，，1個(gè)青年人為，
抽取的全部結(jié)果為，，，，，，，，，，，，B1,B2，B1,C1，B2,C1共15種．
至少1人是老年人的有，，，，，，，，，，，，共12種．
所以至少1人是老年人的概率為p=1215=45．
6.2020年新型冠狀病毒肺炎疫情席卷金球，我國(guó)在全力保障口罩、防護(hù)服等醫(yī)療物資供給基礎(chǔ)上，重點(diǎn)開(kāi)展醫(yī)療救治急需的呼吸機(jī)、心電監(jiān)護(hù)儀等醫(yī)療設(shè)備的組織生產(chǎn)和及時(shí)供應(yīng)，統(tǒng)籌協(xié)調(diào)醫(yī)用物資生產(chǎn)企業(yè)高速生產(chǎn)，支援世界各國(guó)抗擊肺炎疫情．我市某醫(yī)療器械公司轉(zhuǎn)型升級(jí)，從9月1日開(kāi)始投入呼吸機(jī)生產(chǎn)，該公司9月1目~9月9日連續(xù)9天的呼吸機(jī)日生產(chǎn)量為（單位：百臺(tái)，i=1,2,?,9），數(shù)據(jù)作了初步處理；得到如圖所示的散點(diǎn)圖．



i=19ti2
i=19tizi
2.73
19
5
285
1095


注：圖中日期代碼1~9分別對(duì)應(yīng)9月1日~9月9日；表中zi=eyi，z=19i=19zi
（1）從9個(gè)樣本點(diǎn)中任意選取2個(gè)，在2個(gè)樣本點(diǎn)的生產(chǎn)量都不高于300臺(tái)的條件下，求2個(gè)樣本點(diǎn)都高于200臺(tái)的概率；
（2）由散點(diǎn)圖分析，樣本點(diǎn)都集中在曲線y=ln(bt+a)的附近，求y關(guān)于t的方程y=ln(bt+a)，并估計(jì)該公司從生產(chǎn)之日起，需要多少天呼吸機(jī)日生產(chǎn)量可超過(guò)500臺(tái)．
參考公式：回歸直線方程是v=βμ+α；β=i=1n(μi-μ)(vi-v)i=1n(μi-μ)2=i=1nμivi-nμvi=1nμi2-n(μ)2， α=v-βμ，
參考數(shù)據(jù)：e5≈148.4．
【答案】（1）；（2）y=ln(4t-1)；38.
【分析】
（1）由散點(diǎn)圖讀出不高于300臺(tái)的點(diǎn)有5個(gè)，其中高于200臺(tái)的點(diǎn)有4個(gè)，從而計(jì)算出所求概率；
（2）將對(duì)數(shù)表達(dá)式變成z=ey=bt+a，根據(jù)回歸方程系數(shù)求解公式求得參數(shù)a，b，從而求得回歸方程，并估算y>5對(duì)應(yīng)的t值即可.
（1）由散點(diǎn)圖知，不高于300臺(tái)的點(diǎn)有5個(gè)，其中高于200臺(tái)的點(diǎn)有4個(gè)，
則在2個(gè)樣本點(diǎn)的生產(chǎn)量都不高于300臺(tái)的條件下，
2個(gè)樣本點(diǎn)都高于200臺(tái)的概率為P=C42C52=35.
（2）y=ln(bt+a)?z=ey=bt+a
則由回歸方程系數(shù)求解公式知，b=i=1ntizi-ntzi=1nti2-n(t)2=1095-9×5×19285-9×52=4，
a=z-bt=19-4×5=-1，
故y=ln(4t-1)，
y=ln(4t-1)>5?4t-1>e5≈148.5?t>37.375
需要38天呼吸機(jī)日生產(chǎn)量可超過(guò)500臺(tái)．
7.（四川省成都市郫都區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期階段性檢測(cè)（二）文科數(shù)學(xué)試題）某公司對(duì)某產(chǎn)品作市場(chǎng)調(diào)研，獲得了該產(chǎn)品的定價(jià)x（單位：萬(wàn)元/噸）和一天銷售量y（單位：噸）的一組數(shù)據(jù)，制作了如下的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，并作出了散點(diǎn)圖．


z

i=110zi2

i=110ziyi
0.33
10
3
0.164
100
68
350

表中z=1x，0.2≈0.45，4.8≈2.19．
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與y=c+k?x-1哪一個(gè)更適合作為y關(guān)于x的回歸方程；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，試建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）若生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品的成本為0.20萬(wàn)元，依據(jù)（2）的回歸方程，預(yù)計(jì)定價(jià)為多少時(shí)，該產(chǎn)品一天的利潤(rùn)最大，并求此時(shí)的月利潤(rùn)．（每月按30天計(jì)算，計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）
（參考公式：回歸方程，其中b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx）
【答案】（1）y=c+k?x-1；（2）y=-5+5x；（2）預(yù)計(jì)定價(jià)為0.45萬(wàn)元/噸吋，該產(chǎn)品一天的利潤(rùn)最大，此時(shí)的月利潤(rùn)為45.00萬(wàn)元．
【分析】
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖作出判斷；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，令z=1x，則y=c+k?z，計(jì)算系數(shù)即可得到方程；
（3）建立利潤(rùn)函數(shù)，利用均值不等式求最值即可.
解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖知y=c+k?x-1更適合作為y關(guān)于x的回歸方程．
（2）令z=1x，則y=c+k?z，
則k=i=110ziyi-10zyi=110zi2-10z2=350-10×10×3100-10×32=5，
c=y-k?z=-5，y=-5+5x，關(guān)于x的回歸方程為y=-5+5x．
（3）一天利潤(rùn)為T=y?(x-0.20)=5x-5(x-0.2)=6-5x+0.2x≤6-100.2≈1.5．
（當(dāng)且僅當(dāng)x=0.2x即x=0.45時(shí)取等號(hào)）
每月的利潤(rùn)為30×1.5=45.00（萬(wàn)元）
預(yù)計(jì)定價(jià)為0.45萬(wàn)元/噸吋，該產(chǎn)品一天的利潤(rùn)最大，此時(shí)的月利潤(rùn)為45.00萬(wàn)元．
8.我國(guó)為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額x(單位：億元)對(duì)年盈利額y(單位：億元)的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額和年盈利額的數(shù)據(jù)通過(guò)對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中α,β,λ,t均為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).令ui=xi2,?vi=lnyi(i=1,2,?,10)，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：


i=110xi-x2
i=110yi-y2

v
26
215
65
2
680
5.36
i=110ui-u2
i=110ui-uyi-y
i=110vi-v2
i=110xi-xvi-v
11250
130
2.6
12

（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？
（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(系數(shù)精確到0.01)
（ii）若希望2021年盈利額y為200億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)2021年的研發(fā)資金投入額x為多少億元？(結(jié)果精確到0.01)
附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2，回歸直線y=a+bx中：b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2，；②參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693,?ln5≈1.609.
【答案】（1）模型的擬合程度更好；（2）（i）y=e0.18x+0.56；（ii）2021年的研發(fā)資金投入量約為26.32億元.
【分析】
(1)通過(guò)換元對(duì)變量進(jìn)行變換，模型①令u=x2可變?yōu)閥=βu+α，②兩邊取自然對(duì)數(shù)可變?yōu)閘ny=λx+t，即，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)可求兩個(gè)方程的相關(guān)系數(shù)，再比較大小即可得哪一個(gè)模型擬合程度更好；
(2)（i）根據(jù)(1)可選擇函數(shù)模型②，通過(guò)變化得，求出λ和t，可得ν關(guān)于x的線性回歸方程，再將v用lny替換，即可得y關(guān)于x的回歸方程；（ii）根據(jù)回歸方程，令y=200，求出即可.
（1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為r1,xi和的相關(guān)系數(shù)為，由題意，
r1=i=110ui-uyi-yi=110ui-u2i=110yi-y2=13011250×2=1315≈0.87，
r2=i=110xi-xvi-vi=110xi-x2i=110vi-v2=1265×2.6=1213≈0.92，
則r1

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