2020屆高考數(shù)學(xué)二輪教師用書：第三章第6節(jié)　正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

3．在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsin Absin A< a<ba≥ba>ba≤b解的個數(shù)　一解　　兩解　　一解　　一解　　無解　4.解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用(1)常見的幾種題型測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等．(2)實(shí)際應(yīng)用中的常用術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線　上方　的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線　下方　的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的正北方向線起按　順時針　方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角，方位角的范圍是(　0°，360°　)方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)××度坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為α，坡度為i，則i＝＝tan α坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比　在△ABC中，常有以下結(jié)論(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大邊對大角，大角對大邊．(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.(6)∠A>∠B?a>b?sin A>sin B?cos A<cos B.[思考辨析]判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“√”，錯誤的打“×”．(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比．(　　 )(2)在△ABC中，若sin A>sin B，則A>B.(　　 )(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素．(　　 )(4)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.(　　 )(5)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．(　　 )(6)方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是.(　　 )答案：(1)×　(2)√　(3)×　 (4)×　(5)√　(6)√[小題查驗(yàn)]1．(2019·全國Ⅱ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，則△ABC的面積為　____________　.解析：由余弦定理得：36＝c2＋4c2－2·c·2ccos，解得c＝2，∴△ABC的面積S＝·c·2csin＝×2×12×＝6.答案：62．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，則△ABC是(　　 )A．鈍角三角形　　　　　 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形解析：A　[∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝＝－<0，即90°<C<180°.∴△ABC是鈍角三角形．故選A.]3．(2018·全國Ⅲ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C＝(　　 )A. B.C. D.解析：C　[由題可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C.由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C∵C∈(0，π)，∴C＝.]4．(教材改編)在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝20，則a＝　________　.答案：10(3－)5．某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)1 000 m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?/span>60°，則山的高度BC為　________　 m.解析：過點(diǎn)D作DE∥AC交BC于E，因?yàn)?/span>∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝＝＝500(＋)(m)．所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m)．答案：500(＋1)考點(diǎn)一　正、余弦定理的應(yīng)用(自主練透) [題組集訓(xùn)]1．(2018·全國Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　 )A．4　　　　　　　　 B.C. D．2解析：A　[因?yàn)?/span>cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋25－2×1×5×＝32，∴c＝4，選A.]2．(2020·重慶市模擬)在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若(a－b)(sin A＋sin B)＝c(sin C＋sin B)，則角A等于(　　 )A.　　　 B.　　　C.　　　 D.解析：D　[∵(a－b)(sin A＋sin B)＝c(sin C＋sin B)，∴(a－b)(a＋b)＝c(c＋b)，∴a2－c2－b2＝bc，由余弦定理可得cos A＝＝－∵A是三角形內(nèi)角，∴A＝.故選D.]3．(2019·全國Ⅰ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，則＝(　　)A．6 B．5C．4 D．3解析：A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，∴a2－b2＝4c2，∵cos A＝－，∴＝－，即＝－，∴＝4×＝6.](1)在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．(2)解題中注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍限制．考點(diǎn)二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀(子母變式) [母題]　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　 )A．銳角三角形　　　　 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定[解析]　B　[∵bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.又sin A>0，∴sin A＝1，∴A＝，故△ABC為直角三角形．][子題1]　本例條件不變，若＝，判斷△ABC的形狀．解：由＝，得＝，∴sin Acos A＝cos Bsin B，∴sin 2A＝sin 2B.∵A、B為△ABC的內(nèi)角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．[子題2]　本例條件不變，若a＝2bcos C，判斷△ABC的形狀．解：法一：因?yàn)?/span>a＝2bcos C，所以由余弦定理得a＝2b·，整理得b2＝c2，則此三角形一定是等腰三角形．法二：∵sin A＝2sin Bcos C，∴sin (B＋C)＝2sin Bcos C，∴sin(B－C)＝0.∵－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，則此三角形定是等腰三角形．判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．提醒：在判斷三角形形狀時一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件．另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響．考點(diǎn)三　與三角形面積有關(guān)的問題(師生共研)數(shù)學(xué)運(yùn)算——解三角形中的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程．主要包括：理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等．解三角形中的數(shù)學(xué)運(yùn)算主要是指利用正、余弦定理和已知條件求三角形中未知的邊和角，以加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．[典例]　(2017·全國Ⅲ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．[思維導(dǎo)引]　(1)由已知條件sin A＋cos A＝0，先求角A，再由余弦定理求邊c；先求△ABC的面積，再利用△ABD面積與△ACD面積的比值求△ABD的面積．[解]　(1)由已知得tan A＝－，所以∠BAC＝在△ABC中，由余弦定理得，28＝4＋c2－4c cos，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由題設(shè)可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，故△ABD面積與△ACD面積的比值為＝1，又△ABC的面積為×4×2sin ∠BAC＝2，所以△ABD的面積為.三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．[跟蹤訓(xùn)練](2019·全國Ⅲ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin＝bsin A.(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．解析：這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，和正弦定理或者余弦定理的使用(此題也可以用余弦定理求解)，最后考查ΔABC是銳角三角形這個條件的利用．考查的很全面，是一道很好的考題．(1)根據(jù)題意asin＝bsin A，由正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A，因?yàn)?/span>0＜A＜π，故sin A＞0，消去sin A得sin＝sin????????????? B.0＜B＜π，0＜＜，因?yàn)楣?/span>＝B或者＋B＝π，而根據(jù)題意A＋B＋C＝π，故＋B＝π不成立，所以＝B，又因?yàn)?/span>A＋B＋C＝π，代入得3B＝π，所以B＝.(2)因?yàn)?/span>ΔABC是銳角三角形，又由前問B＝，＜A，C＜，A＋B＋C＝π得到A＋C＝π，故＜C＜，又應(yīng)用正弦定理＝，由三角形面積公式有S△ABC＝ac·sin B＝c2·sin B＝c2·sin B＝·＝·＝·＝cot C＋.又因＜C＜，故＝cot＋＜S△ABC＜cot＋＝，故＜S△ABC＜.故S△ABC的取值范圍是.考點(diǎn)四　解三角形的實(shí)際應(yīng)用[典例]　如圖所示，有兩座建筑物AB和CD都在河的對岸(不知道它們的高度，且不能到達(dá)對岸)，某人想測量兩座建筑物尖頂A、C之間的距離，但只有卷尺和測量儀兩種工具．若此人在地面上選一條基線EF，用卷尺測得EF的長度為a，并用測角儀測量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.請你用文字和公式寫出計(jì)算A、C之間距離的步驟和結(jié)果．[解析]　第一步：在△AEF中，利用正弦定理，得＝，解得AE＝；第二步：在△CEF中，同理可得CE＝；第三步：在△ACE中，利用余弦定理，得AC＝＝.解三角形應(yīng)用題的常見情況及方法(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解條件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．(3)解三角形應(yīng)用題的一般步驟[跟蹤訓(xùn)練]如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)．從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，則山高MN＝　________　m.解析：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，所以AC＝100 m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，從而∠AMC＝45°，由正弦定理得，＝，因此AM＝100 m.在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60°，由＝sin 60°得MN＝100×＝150 m，故填150.答案：1501．(2020·莆田市二模)在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝－，則AC的值為(　　 )A．2　　　　　　　　　　 B．3C．4 D．5解析：B　[△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cos C＝－，∴c2＝a2＋b2－2abcos C，即16＝4＋b2－4b×，化簡得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合題意，舍去)，∴b＝AC＝3.故選B.]2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形有(　　 )A．無解 B．兩解C．一解 D．解的個數(shù)不確定解析：B　[∵＝，∴sin B＝sin A＝sin 45°，∴sin B＝.又∵a＜b，∴B有兩個．]3．在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則sin A＝(　　)A. B.C. D.解析：D　[∵在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，∴AB＝BC.由余弦定理得AC＝＝＝BC，所以BC·BC＝AB·AC·sin A＝·BC·BC·sin A，∴sin A＝，故選D.]4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝2ccos A，c＝2bcos A，則△ABC的形狀為(　　)A．直角三角形 B．銳角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形解析：C　[由正弦定理，得sin B＝2sin Ccos A，sin C＝2sin Bcos A，即sin(A＋C)＝2sin Ccos A＝sin Acos C＋cos Asin C，即sin Acos C－cos Asin C＝0，所以sin (A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形為等邊三角形．故選C.]5．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，則b的值為(　　)A．6 B．3C．2 D．2或3解析：D　[因?yàn)?/span>S△ABC＝2＝bcsin A，所以bc＝6，又因?yàn)?/span>sin A＝，所以cos A＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.]6．有一解三角形的題目因紙張破損有一個條件不清，具體如下：在△ABC中，已知a＝，2cos2＝(－1)cos B，c＝　________　，求角A.(答案提示：A＝60°，請將條件補(bǔ)充完整)解析：由題知1＋cos(A＋C)＝(－1)cos B，所以1－cos B＝(－1)cos B，解得cos B＝，所以B＝45°.又A＝60°，所以C＝75°.根據(jù)正弦定理，得＝，解得c＝.故應(yīng)填.答案：7．(2020·合肥市模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若A＝45°，2bsin B－csin C＝2asin A，且△ABC的面積等于3，則b＝　________　.解析：∵A＝45°，2bsin B－csin C＝2asin A，∴由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，①由正弦定理可得：2b2－c2＝2a2，②又S△ABC＝bcsin A＝3，即bc＝6，③由①②③聯(lián)立解得b＝3.答案：38．(2018·全國Ⅰ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為　________　.解析：根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，即sin A＝，結(jié)合余弦定理可得2bccos A＝8，所以A為銳角，且cos A＝，從而求得bc＝，所以△ABC的面積為S＝bcsin A＝··＝.答案：9．(2020·渭南市模擬)已知f(x)＝sin －cos x.(1)寫出f(x)的最小正周期，并求f(x)的最小值；(2)已知 a、b、c 分別為△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊，b＝5，cos A＝且 f(B)＝1，求邊a的長．解：f(x)＝sin －cos x＝sin xcos ＋cos xsin －cos x＝sin x＋cos x＝sin ；(1)f(x)的最小正周期T＝＝2π，當(dāng)x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋2kπ，k∈Z時，f(x)取得最小值－1；(2)△ABC中，b＝5，cos A＝，∴sin A＝＝；又 f(B)＝1，∴sin ＝1，∴B＋＝，解得B＝，∴＝，＝，解得a＝8.10．(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c＝2，C＝.(1)當(dāng)2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C時，求△ABC的面積；(2)求△ABC周長的最大值．解：(1)由2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C得4sin Acos A－sin(B－A)＝sin(A＋B)，得2sin Acos A＝sin Bcos A，當(dāng)cos A＝0時，A＝，B＝，a＝，b＝，當(dāng)cos A≠0時，sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，聯(lián)立，解得a＝，b＝.故△ABC的面積為S△ABC＝absin C＝.(2)由余弦定理及已知條件可得：a2＋b2－ab＝4，由(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3×得a＋b≤4，故△ABC周長的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時，等號成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　