第十二講角、相交線與平行線考點(diǎn)一、角的概念1．  角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB． （2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．【微點(diǎn)撥】（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：【微點(diǎn)撥】用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．考點(diǎn)二、角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．   1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．【微點(diǎn)撥】在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．考點(diǎn)三、角的比較與運(yùn)算1.角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小．方法2：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。?如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．【微點(diǎn)撥】(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．【微點(diǎn)撥】由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．考點(diǎn)四、方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．【微點(diǎn)撥】（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°” ．（3）在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點(diǎn)O是觀測點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．考點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．考點(diǎn)六、線段、射線、直線的概念及表示方法1.概念：繃緊的琴弦、黑板的邊沿都可以近似地看作線段，如果把“線段”作為最簡單、最基本原始概念，則用“線段”定義射線和直線如下：（1）將線段向一個(gè)方向無限延長就形成了射線.（2）將線段向兩個(gè)方向無限延長就形成了直線．【微點(diǎn)撥】（1）線段有兩個(gè)端點(diǎn)，可以度量，可以比較長短．（2）射線只向一方無限延伸，有一個(gè)端點(diǎn)，不能度量，不能比較大小.（3）直線是向兩方無限延伸的，無端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小.（4）線段、射線、直線都沒有粗細(xì)．2.表示方法：如圖1、圖2、圖3，線段、射線、直線的表示方法都有兩種：它們都可以用兩個(gè)大寫字母表示，也可以一個(gè)小寫字母表示.【微點(diǎn)撥】（1）從表示方法上看，雖然它們都可以用一個(gè)小寫字母表示，也可以用兩個(gè)大寫字母表示，但直線取得是直線上任意兩點(diǎn)的字母，線段用的是兩個(gè)端點(diǎn)的字母，射線用的是一個(gè)端點(diǎn)和任意一點(diǎn)的字母，而直線和線段的兩個(gè)大寫字母沒有順序之分，但射線的兩個(gè)大寫字母有順序之分，第一個(gè)大寫字母必須是表示端點(diǎn).即端點(diǎn)相同，而延伸方向不同，表示不同的射線．如下圖4中射線OA，射線OB是不同的射線； 端點(diǎn)相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線．如下圖5中射線OA、射線OB、射線OC都表示同一條射線．（2）表示直線、射線與線段時(shí)，勿忘在字母的前面寫上“直線”“射線”“線段”字樣．3.線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系 線段射線直線圖示表示方法線段AB或線段a射線OA或射線a直線AB或直線a端點(diǎn)兩個(gè)一個(gè)無長度可度量不可度量不可度量延伸性不向兩方延伸　向一方無限延伸向兩方無限延伸考點(diǎn)七、基本性質(zhì)1. 直線的性質(zhì)：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．簡單說成：兩點(diǎn)確定一條直線．【微點(diǎn)撥】（1）點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有兩種：①點(diǎn)在直線上，或者說直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn).如圖6中，點(diǎn)O在直線l上，也可以說成是直線l經(jīng)過點(diǎn)O；②點(diǎn)在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個(gè)點(diǎn).如圖6中，點(diǎn)P在直線l外，也可以說直線l不經(jīng)過點(diǎn)P.（2）兩條不同的直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).2.線段的基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短．如圖7所示，在A，B兩點(diǎn)所連的線中，線段AB的長度是最短的． 【微點(diǎn)撥】（1）連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離．（2）兩條線段可能無公共點(diǎn)，可能有一個(gè)公共點(diǎn)，也可能有無窮多個(gè)公共點(diǎn).考點(diǎn)八、比較線段的長短1. “作一條線段等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a．  法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個(gè)長度的線段．【微點(diǎn)撥】幾何中連結(jié)兩點(diǎn)，即畫出以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段.2.線段的比較：（1）度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短．（2）疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè)端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短．如下圖：3.線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則，或AB＝2AC＝2BC．【微點(diǎn)撥】若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C一定在線段AB上．命題點(diǎn)1直線和線段1.如圖所示，指出圖中的直線、射線和線段．命題點(diǎn)2角與角平分線
2.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD．下列說法錯誤的是（   ）A．∠AOD=∠BOC   B．∠AOE＋∠BOD=90°C．∠AOC=∠AOE   D．∠AOD＋∠BOD=180°3.如圖，已知兩直線與被第三條直線所截，下列等式一定成立的是　　A． B． C． D．4.如圖，直線，直線與，分別交于點(diǎn)A,C，BC⊥交于點(diǎn)B，若∠1=70°，則∠2的度數(shù)為A. 10°     B.20°     C.30°    D.40°5.如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于__________°．6.如圖，若AB∥CD，∠1＝40度，則∠2＝    度.7..如圖，OC是∠AOB的角平分線，l∥OB，若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)為（　?。?/span>A．52° B．54° C．64° D．69°8.3.如圖，已知l1∥AB，AC為角平分線，下列說法錯誤的是（    ）A．∠1=∠4    B．∠1=∠5        C．∠2=∠3     D．∠1=∠39..在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，若BD＝3，則DE的長為（　?。?/span>A．3 B． C．2 D．610..如圖，點(diǎn)是的角平分線上一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，且，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，則的最小值為________．11.如圖，CD∥AB，點(diǎn)O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，則∠AOF的度數(shù)是(     )A．20°            B．25°              C．30°             D．35°                         命題點(diǎn)3相交線
12.如圖，在RT△ABC中，∠B=90°，以頂點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC,BC于點(diǎn)E,F，再分別以點(diǎn)E,F為圓心，大于 的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)D，若BD=3,AC=10，則△ACD的面積是     。   13.如圖，在中，用直尺和圓規(guī)作、的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、，連接.若，則          ．14.如圖,在△ABC中,AC＝10,BC＝6,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,則△BCE的周長是________.[來源:15.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，DE//BC，與邊AC交于點(diǎn)E，連接BE，記△ADE，△BCE的面積分別為S1，S2,（    ） 若2AD>AB，則3S1>2S2            B. 若2AD>AB，則3S1<2S2        C. 若2AD<AB，則3S1>2S2            D. 若2AD<AB，則3S1<2S2 16.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點(diǎn)D和E，∠B=60°，∠C=25°，則∠BAD為A.50°    B.70°    C.75°    D.80°17.如圖，∠AOB=60°，以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑作弧交OA，OB于點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP，在射線OP上截取線段OM=6，則M點(diǎn)到OB的距離為（     ）A.6            B.2             C.3              D. 18.已知，如圖，點(diǎn)P在線段AB外，且PA＝PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．在證明該結(jié)論時(shí)，需添加輔助線，則作法不正確的是（      ）    A．作∠APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C    B．過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C且AC＝BCC．取AB中點(diǎn)C，連接PCD．過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C19.如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于24cm長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN分別交BC、AC于點(diǎn)D、E.若AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為(▲)   A.16cm   B.19cm   C.22cm   D.25cm命題點(diǎn)4平行線的判定20.如圖，直線、被直線所截，下列條件中，不能判定∥的是（       ）A．∠2=∠4     B. ∠1+∠4=180°     C. ∠5=∠4       D. ∠1=∠3命題點(diǎn)5平行線性質(zhì)求角度或證明 
類型一直接應(yīng)用平行線性質(zhì)求角度或證明21.如圖，直線l1∥l2，直角三角板直角頂點(diǎn)C在直線l1上，一銳角頂點(diǎn)B在直線l2上，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（    ）A．65°B．55°C．45°D．35°22.如圖，l1∥l2，點(diǎn)O在直線l1上，若∠AOB＝90°，∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為（　　）A．65° B．55° C．45° D．35°23.如圖，將一塊含有的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若，那么的度數(shù)是　　A． B． C． D．24.一把直尺和一塊三角板ABC（含30°、60°角）如圖所示擺放，直尺一邊與三角板的兩直角邊分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)A，且∠CED＝50°，那么∠BFA的大小為（　　）A．145° B．140° C．135° D．130°25.如圖，一塊直角三角尺的一個(gè)頂點(diǎn)落在直尺的一邊上，若∠2＝35°，則∠1的度數(shù)為（　　）A．45° B．55° C．65° D．75°26.如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)分別放在直尺的兩條平行對邊上，若∠α＝135°，則∠β等于（　?。?/span>A．45° B．60° C．75° D．85°27.如圖，a∥b，若∠1＝100°，則∠2的度數(shù)是（　　）A．110° B．80° C．70° D．60°28.如圖，AB∥CD，∠ABD的平分線與∠BDC的平分線交于點(diǎn)E，則∠1+∠2＝　　．29.結(jié)合圖，用符號語言表達(dá)定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的推理形式：∵_______________ ，∴a∥b．  類型二平行線性質(zhì)與判定結(jié)合30.如圖，若AB∥CD，則在圖中所標(biāo)注的角中，一定相等的角是___________．31.如圖，AB=DE,BF=EC,∠B=∠E，求證：AC∥DF.類型三與直角三角板結(jié)合32.將一副三角板（∠A=30°，∠E=45°） 按如圖所示方式擺放，使得BA∥EF，則∠AOF等于（     ）A．75°         B．90°     C．105°      D．115°33.如圖，三角板的直角頂點(diǎn)落在矩形紙片的一邊上，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)是（   ）A．35° B．45° C．55° D．65°   命題點(diǎn)6命題34.證明：對頂角相等.         35.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，則BE與DF有何位置關(guān)系？試說明理由．        36.已知，如圖，BE平分?ABD，DE平分?CDB，且?1與?2互余，試判斷直線AB、CD的位置關(guān)系，請說明理由．      37.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F．（1）若∠ABC=60°，則∠ADC=　  　°，∠AFD=　  　°；（2）求證：BE∥DF．
 

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