?第二講整式及其運算

考點一、代數(shù)式
1.代數(shù)式的定義：諸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它們都是用運算符號把數(shù)和字母連接而成的，像這樣的式子叫做代數(shù)式，單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.
【微點撥】
帶等號或不等號的式子不是代數(shù)式，如，，等都不是代數(shù)式.
2.列代數(shù)式：
在解決實際問題時，常常先把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語用代數(shù)式表示出來，即列出代數(shù)式，使問題變得簡潔，更具一般性．
【微點撥】代數(shù)式的書寫規(guī)范：
（1）字母與數(shù)字或字母與字母相乘時，通常把乘號寫成“· ”或省略不寫；
（2）除法運算一般以分?jǐn)?shù)的形式表示；
（3）字母與數(shù)字相乘時，通常把數(shù)字寫在字母的前面；
（4）字母前面的數(shù)字是分?jǐn)?shù)的，如果既能寫成帶分?jǐn)?shù)又能寫成假分?jǐn)?shù)，一般寫成假分?jǐn)?shù)的形式；
（5）如果字母前面的數(shù)字是1，通常省略不寫.
3.代數(shù)式的值：一般地，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式中的運算關(guān)系計算得出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值.
考點二、整式
1. 單項式
定義：數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項式．
單項式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點是對字母來說只含有乘法的運算，不含有加減運算．在含有除法運算時，除數(shù)(分母)只能是一個具體的數(shù)，可以看成分?jǐn)?shù)因數(shù)．
【微點撥】
單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式．
【微點撥】
（1）單項式的系數(shù)是指單項式中的數(shù)字因數(shù)．
【微點撥】
①確定單項式的系數(shù)時，最好先將單項式寫成數(shù)與字母的乘積的形式，再確定其系數(shù)．
②圓周率π是常數(shù)，單項式中出現(xiàn)π時，應(yīng)看作系數(shù)．
③當(dāng)一個單項式的系數(shù)是1或-1時，“1”通常省略不寫．
④單項式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，通常寫成假分?jǐn)?shù)，如：寫成．
（2）單項式的次數(shù)是指單項式中所有字母的指數(shù)和．
【微點撥】
沒有寫指數(shù)的字母，實際上其指數(shù)是1，計算時不能將其遺漏．
2.多項式
幾個單項式的代數(shù)和叫做多項式．也就是說，多項式是由單項式相加或相減組成的．
【微點撥】
（1）在多項式中，不含字母的項叫做常數(shù)項．
（2）多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)．
（3）多項式的次數(shù)是n次，有m個單項式，我們就把這個多項式稱為n次m項式．
（4）把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列．另外，把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母升冪排列．
3.整式
單項式和多項式統(tǒng)稱整式．
4.同類項
所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類項．
5.整式的加減
整式的加減其實是去括號法則與合并同類項法則的綜合運用．
把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母部分不變.
如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反.
整式加減的運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.
考點三、冪的運算
1.同底數(shù)冪的乘法：(為正整數(shù))；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.
2.冪的乘方： (為正整數(shù))；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
3.積的乘方： (為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.
4.同底數(shù)冪的除法：(≠0, 為正整數(shù)，并且).
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
5.零指數(shù)冪：即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.
6.負指數(shù)冪：（≠0，是正整數(shù)）.
【微點撥】
是的倒數(shù)，可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如（），（）.
7.單項式相乘：兩個單項式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．
8.單項式與多項式相乘：單項式與多項式相乘，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表達：
9.多項式與多項式相乘：一般地，多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表達：
平方差公式：
完全平方公式：；
在運用乘法公式計算時，有時要在式子中添括號，添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.
10.單項式相除：兩個單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．
11.多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．即：
【微點撥】
（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項式、多項式.
（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，
即（都是正整數(shù)）.
（3）公式的推廣： (，均為正整數(shù))
（4）公式的推廣： (為正整數(shù)).
考點四、因式分解
1. 因式分解
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解．
2.因式分解常用的方法
（1）提取公因式法：
（2）運用公式法：
平方差公式：；完全平方公式：
（3）十字相乘法：
【微點撥】
利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.
對于二次三項式，若存在 ，則
3.因式分解的一般步驟
（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；
（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；
（3）對二次三項式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；
（4）最后考慮用分組分解法及添、拆項法.
【微點撥】
（1）因式分解的對象是多項式；
（2）最終把多項式化成乘積形式；
（3）結(jié)果要徹底，即分解到每個因式都不能再分解為止．
（4）十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負號添上.



命題點1列代數(shù)式及代數(shù)式求值
1.若x+y=2，z—y＝—3，則x+z的值等于（ ）
A．5 B．1 C．—1 D．—5
【答案】 C
【解析】此題主要考查了代數(shù)式求值，運用整體思想，把x+z看成是（x+y）與（z—y）的和，正確應(yīng)用已知是解題關(guān)鍵．∵x+y=2，z—y=—3，
∴x+y＋（z—y）＝x+z＝2－3＝－1．因此本題選C．
2.若m2－2m＝l，則代數(shù)式2m2－4m＋3的值為________
【答案】5
【解析】本題考查了求代數(shù)式的值．∵m2－2m＝l，∴2m2－4m＋3＝2（m2－2m）+3＝2+3=5．
3.已知，，計算的值為 .
【答案】7【解析】本題考查了代數(shù)式求值、等式的性質(zhì)，等式的兩邊同時乘同一個數(shù)，等式不變，先通過移項得到，再通過等式的性質(zhì)，兩邊同時乘以3，得到，即，把兩邊同時乘以4，得：，所以，因此本題答案是7．
4.當(dāng)x＝1, y＝－時，代數(shù)式x 2＋2xy＋y 2的值是 ．
【答案】
【解析】當(dāng),時，x 2＋2xy＋y 2＝（x＋y）2＝（）2＝．
5.已知x－3=2，則代數(shù)式(x－3)2－2(x－3) ＋1的值為 ．
【答案】1
【解析】把“x－3=2”代入，可得22－2×2＋1=1．
命題點2整式的有關(guān)概念及運算
6.下列計算正確的是
A．a(chǎn)3·a2＝a6 B．(a3)2＝a5 C．a(chǎn)6÷a3＝a3 D．a(chǎn)2＋a3＝a5
【答案】C
【解析】本題考查了整式的相關(guān)運算，選項A為同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加，a3·a2＝a5，所以該選項錯誤；選項B為冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，(a3)2＝a2×3＝a6，所以該選項錯誤；選項C為同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減a6÷a3＝a6－3＝a3，所以該選項正確；選項D為整式的加減，兩項不是同類項，不能合并，所以該選項錯誤.因此本題選C．
7.下列運算正確的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．3a2＋a＝3a3 C．a(chǎn)5÷a2＝a3（a≠0） D．a(chǎn)（a＋1）＝a2＋1
【答案】C
【解析】根據(jù)冪的乘方法則，得（a2）3＝a6，故A錯誤；
根據(jù)同類項的定義及合并同類項法則，知3a2與a不是同類項，不能合并， 故B錯誤；
根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，得a5÷a2＝a3（a≠0），故C正確；
根據(jù)單項式乘多項式法則，得a（a＋1）＝a2＋a，故D錯誤．
8.下列計算正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運算、冪的乘方運算以及整式的加減運算，直接利用同底數(shù)冪的乘除運算法則、冪的乘方運算法則以及合并同類項法則進行計算．x2·x3＝x2＋3＝x5，選項A不正確；x6÷x3＝x6－3＝x3，選項B正確；x3＋x3＝(1＋1)x3＝2x3，選項C不正確；(－2x)3＝(－2)3·x3＝－8x3，選項D不正確，因此本題選B．
9.下列計算正確的是（ ）
A．x2＋x＝x3 B．(－3x) 2＝6x2 C．8x4÷2x2＝4x2 D．(x－2y) (x＋2 y)＝x2－2y2
【答案】C
【解析】本題考查合并同類項，積的乘方，單項式除以單項式，平方差公式，掌握相關(guān)公式和法則是解題的關(guān)鍵．x2與x不是同類項不能合并，故選項A錯誤；由積的乘方，得 (－3x) 2＝9x2，故選項B錯誤；由單項式的除法法則，得8x4÷2x2＝4x2，故選項C正確；由平方差公式，得(x－2y) (x＋2 y)＝x2－4y2，故選項D錯誤；故選C.
10.下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D【解析】A、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
B、與不是同類項不能合并，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
C、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
D、，原計算正確，故此選項符合題意；因此本題選D．
11.下列各式中，計算結(jié)果為m6的是 （ ）
A.m2.? m3 B.?m3+m3 C.?m12÷m2 D.(m2)3
【答案】D
【解析】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法以及合并同類項，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．因為m2?m3=m5，所以A選項不合題意；因為 m3+m3=2m3， 所以B選項不合題意；因為m12÷m2=m10，所以C選項不合題意；因為(m2?)3=m6，所以D選項符合題意．因此本題選D．
12.下列計算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)+2a＝3a B．（a+b）2＝a2+ab+b2
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a(chǎn)?2a2＝2a2
【答案】 A
【解析】分別根據(jù)合并同類項法則、完全平方公式、單項式的乘方及單項式乘單項式法則逐一計算可得．A．a(chǎn)+2a＝（1+2）a＝3a，此選項計算正確；B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，此選項計算錯誤；C．（﹣2a）2＝4a2，此選項計算錯誤；D．a(chǎn)?2a2＝2a3，此選項計算錯誤；故選：A．
13.下列運算正確的是（　?。?br /> A．2 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C． D．（﹣3a）2＝9a2
【答案】D
【解析】本題考查了二次根式的加減法、冪的乘方與積的乘方、完全平方公式、二次根式的性質(zhì)與化簡，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．因為2，所以A選項錯誤；因為（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，所以B選項錯誤；因為，所以C選項錯誤；因為(﹣3a)2＝9a2．所以D選項正確．因此本題選D．
14.已知與是同類項，則的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】本題考查了同類項，解決本題的關(guān)鍵是判斷兩個項是不是同類項，只要兩看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指數(shù)是否相同．
∵與是同類項，
∴n+1=4，
解得，n=3，
故選：B.
15.下列運算中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)冪的乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪以及同底數(shù)冪的乘法法則即可逐一判斷．
A、，故A錯誤；
B、，故B錯誤；
C、，正確；
D、，故D錯誤；
故選：C．
16.下列運算正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】本題考查了二次根式的運算和整式的乘法， A選項考查了二次根式的加法，只有同類二次根式（化簡后，所含被開方數(shù)相同的根式）才可以相加合并為一項，與不是同類二次根式，不能合并；B選項考查了二次根式的乘法，正確的計算過程應(yīng)是：；選項C考查了同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加，正確的結(jié)果應(yīng)是；D選項考查了冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，所以計算結(jié)果正確．因此本題選D．
17.下列運算正確的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 A．表示4的算術(shù)平方根，故此選項錯誤，
B． 故此選項錯誤，
C． 不是同類項，不能合并，故此選項錯誤，
D．故此選項正確.
18.若7axb2與－a3by的和為單項式，則yx＝________．
【答案】8
【解析】本題考查了整式的加減法法則，同類項的意義（所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項）．因為7axb2與－a3by的和為單項式，所以7axb2與－a3by是同類項，所以x＝3，y＝2，所以yx＝23＝8，因此本題答案為8．
19.如圖，是一個運算程序的示意圖，若開始輸入x的值為625，則第2020次輸出的結(jié)果為________．
【答案】1
【解析】本題考查了求代數(shù)式的值以及規(guī)律探究．當(dāng)x＝625時，x＝125；當(dāng)x＝125時，x＝25；當(dāng)x＝25時，x＝5；當(dāng)x＝5時，x＝1；當(dāng)x＝1時，x＋4＝5；當(dāng)x＝5時，x＝1，…，于是可知，從第3次輸入開始，輸出結(jié)果以5，1為循環(huán)節(jié)循環(huán)出現(xiàn)．因為(2 020－2)÷2＝1 010，所以輸出的結(jié)果是1，因此本題的答案為1．
20.已知，，計算的值為 .
【答案】7【解析】本題考查了代數(shù)式求值、等式的性質(zhì)，等式的兩邊同時乘同一個數(shù)，等式不變，先通過移項得到，再通過等式的性質(zhì)，兩邊同時乘以3，得到，即，把兩邊同時乘以4，得：，所以，因此本題答案是7．
21. 已知，則代數(shù)式的值是_______________.
【答案】21
【解析】本題考查代數(shù)式的整體求值，因為，所以x-2y=3. 所以=4(x-2y)+9=4×3+9=21
【知識點】代數(shù)式求值 整體思想
22.先化簡，再求值：(2a+1)2-4a(a-1)，其中
解：原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1，
當(dāng)時，原式=8a+1=2．
【知識點】整式的混合運算—化簡求值．
23.先化簡，再求值：（a-1)2+a(a+2),其中a=
解：原式=a2-2a+1+a2+2a=2a2+1,
當(dāng)a=時，
原式=
【知識點】整式的運算
24.化簡: (x－1)2－x(x＋7)
【答案】解：(2)原式＝x2－2x＋1－x2－7x＝－9x＋1.
【解析】本題考查了整式的乘法——完全平方公式和單項式乘以多項式，即，單項式乘以多項式是用單項式乘以多項式的每一項.
命題點3因式分解及其應(yīng)用
25.下列各選項中因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】選項A是平方差公式應(yīng)該是（x+1)(x-1)，所以錯誤；選項B公因式應(yīng)該是a，所以錯誤；選項C提取公因式-2y后，括號內(nèi)各項都要變號，所以錯誤；只有選項D是正確的。
26.下列多項式中，能運用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a(chǎn)2+b2 B．2a﹣b2 C．a(chǎn)2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
【答案】C
【解析】能運用平方差公式因式分解的兩項都是平方的形式或能化成平方的形式且兩項必須是符號相反，只有a2﹣b2同時滿足這兩個條件，所以本題選C．
27.對于①x-3xy=x（1-3y），② （x+3）(x-1)=x2+2x-3，從左到右的變形，表述正確的是
A.都是因式分解 B.都是乘法運算
C.①是因式分解，②是乘法運算 D.①是乘法運算，②是因式分解
【答案】C
【解析】對于x-3xy=x（1-3y）,左邊是一個多項式，右邊是兩個整式的乘積，故①是因式分解；對于（x+3）(x-1)=x2+2x-3，左邊是兩個整式的乘積，右邊是一個多項式，故②是整式乘法.
28.因式分解：ax－ay= ．
【答案】a(x－y)
【解析】提公因式a可得：ax－ay=a(x－y)
29.分解因式：3a3-6a2+3a= ．
【答案】3a（a-1）2
【解析】原式=3a（a2-2a+1）=3a（a-1）2.故答案為：3a（a-1）2.
30.分解因式：a2b－b＝ .
【答案】b（a＋1）（a－1）.
【解析】a2b－b＝b（a＋1）（a－1）.
31.分解因式：2x2-2y2= .
【答案】2(x+y)(x-y)
【解析】原式=2(x2-y2)=2(x+y)(x-y).
32分解因式：x2－9＝ ．
【答案】(x＋3)(x－3)．
【解析】因為原式＝x2－32＝(x＋3)(x－3)，所以答案為(x＋3)(x－3)．
33.分解因式:x2+xy＝________.
【答案】x(x+y)
【解析】利用提公因式法分解因式,可得x2+xy＝x(x+y).
34.分解因式：ax2－ay2＝________.
【答案】a(x+y)(x－y)
【解析】因式分解的方法有提公因式法,公式法,ax2－ay2＝a(x2－y2)再用平方差公式繼續(xù)進行因式分解ax2－ay2＝a(x2－y2)＝a(x－y)(x+y).
35.分解因式：x2y+2xy+y＝　 ?。?br /> 【答案】y（x+1）2
【解析】解：原式＝y(tǒng)（x2+2x+1）＝y(tǒng)（x+1）2，故答案為：y（x+1）2．
【知識點】提公因式法與公式法的綜合運用
36.分解因式2a2－18＝.
【答案】2(a＋3)(a－3)
【解析】本題考查了因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式與完全平方公式，若能用公式法分解必須有平方項，如果是平方差就用平方差公式來分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數(shù)乘積的2倍，如果沒有兩數(shù)乘積的2倍就不能分解，因式分解必須進行到不能再分解為止．2a2－18＝2(a2－9)＝2(a＋3)(a－3)．
37.比較與2x的大?。?br /> （1）嘗試（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①當(dāng)x＝1時， 2x；②當(dāng)x＝0時， 2x；
③當(dāng)x＝–2時， 2x；
（2）歸納：若x任意實數(shù)，與2x有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由。
【解析】本題考查了代數(shù)式求值以及用完全平方比較代數(shù)式大小——作差法．
（1）代入求得代數(shù)式的值，然后比較大??；（2）運用完全平方公式的非負性比較大?。?br /> 【答案】解： 解：（1）①當(dāng)x＝1時，x2+1＝2x；②當(dāng)x＝0時，x2+1＞2x；③當(dāng)x＝﹣2時，x2+1＞2x．
（2）x2+1≥2x．
證明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x．故答案為：＝；＞；＞．
38.閱讀理解：對于這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：．
理解運用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解．
解決問題：求方程的解為______．
【答案】或或
【解析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整體代入.解：，，，
，則，即，
或，解得或.因此本題答案為：或或．
39. 分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】
解：(1)．
(2)

．
【總結(jié)】在提取公因式時要注意提取后各項字母，指數(shù)的變化，另外分解要徹底，特別是因式中含有多項式的一定要檢驗是否能再分，分解因式后可逆過來用整式乘法驗證其正確與否．
40.利用分解因式證明：能被120整除．
【點撥】25＝，進而把整理成底數(shù)為5的冪的形式，然后提取公因式并整理為含有120的因數(shù)即可．
【答案】
證明：＝
＝
＝
＝
＝
＝
∴能被120整除．
【總結(jié)】解決本題的關(guān)鍵是用因式分解法把所給式子整理為含有120的因數(shù)相乘的形式．
41.放學(xué)時，王老師布置了一道分解因式題：，小明思考了半天，沒有答案，就打電話給小華，小華在電話里講了一句，小明就恍然大悟了，你知道小華說了句什么話嗎？小明是怎樣分解因式的．
【點撥】把分別看做一個整體，再運用完全平方公式解答．
【答案】
解：把看作完全平方式里的；
原式＝
＝
＝．
【總結(jié)】本題主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解題的關(guān)鍵．
42.已知長方形周長為300厘米，兩鄰邊分別為厘米、厘米，
且＝0，求長方形的面積．
【點撥】把＝0化簡成，可得，由題意可得，解方程組即可.
【答案】
解：∵＝0
∴＝0
∵＝0
∴，，（不合題意，舍去）
又由題意可得
解方程組
解之得，＝100，＝50
∴長方形的面積＝100×50＝5000平方厘米．
【總結(jié)】本題是因式分解在學(xué)科內(nèi)的綜合運用，主要考查了分組分解法，提取公因式法和運用平方差公式法．
43.已知，求代數(shù)式的值.
【點撥】將原式配方，變成幾個非負數(shù)的和為零的形式，這樣就能解出.
【答案】
解：

所以
所以.
【總結(jié)】一個方程，三個未知數(shù)，從理論上不可能解出方程，嘗試將原式配方過后就能得出正確答案.
44.證明:不論為何值 , 多項式的值一定小于0.
【答案】
證明：
＝
＝
∵ ,
∴,
∴ 原式一定小于0.
45.先化簡，再求值：
(2x＋y)2＋(x＋2y)2－x(x＋y)－2(x＋2y)(2x＋y)，其中x＝＋1，y＝－1．
【解析】先將原式化簡，然后再代值計算．
【答案】解：原式＝[(2x＋y)－(x＋2y)]2－x2－xy＝(x－y)2－x2－xy＝x2－2xy＋y2－x2－xy
＝y(tǒng)2－3xy．
當(dāng)x＝＋1，y＝－1時，
原式＝(－1)2－3(＋1)(－1)＝3－2－3＝－2．
46.已知|m-1|+=0，
（1）求m，n的值；
（2）先化簡再求值：m(m-3n)+(m+2n)2-4n2.
解：（1）根據(jù)非負數(shù)得：m-1=0且n+2=0，
解得：，
（2）原式==，
當(dāng)，原式=．
命題點4規(guī)律探索題
47.公園內(nèi)有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成．如圖表示此步道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列且總共有40個．求步道上總共使用多少個三角形地磚？　　

A．84 B．86 C．160 D．162
【答案】A
【解析】解：．
答：步道上總共使用84個三角形地磚．
故選：A．
【知識點】規(guī)律型
48.觀察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是（　?。?br /> A．2S2－S B．2S2＋S C．2S2－2S D．2S2－2S－2
【答案】A
【解析】根據(jù)等式的規(guī)律，可知2100＋2101＋2102＋…＋2199＋2200＝2100(1＋2＋22＋…＋299＋2100)＝2100(1＋2101－2)＝2×(2100)2－2100，又2100＝S，即可用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和為2S2－S．因此本題選A．
49.下列各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，的值為（ ）
1
4
2
9

2
6
3
20

3
8
4
35

……
a
18
b
x

A．135 B．153 C．170 D．189
【答案】C
【解析】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律題，由觀察分析：每個正方形內(nèi)有： 由觀察發(fā)現(xiàn)： 又每個正方形內(nèi)有： ，因此本題選C．
50.觀察下列按一定規(guī)律排列的n個數(shù)：2，4，6，8，10，12，…，若最后三個數(shù)之和是3000，則n等于（　　）
A．499 B．500 C．501 D．1002
【答案】C
【解析】根據(jù)排列規(guī)律可知第n個數(shù)為2n，第(n－1)個數(shù)為2n－2，第（n－2）個數(shù)為2n－4，由于三個數(shù)的和為3000，所以可得2n＋2n－2＋2n－4＝3000，解得n＝501，故選擇C．
51.按一定規(guī)律排列的單項式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n個單項式是（　?。?br /> A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）na C．2n﹣1a D．2na
【答案】A．
【解析】根據(jù)題意，找出規(guī)律：單項式的系數(shù)為（﹣2）的冪，其指數(shù)為比序號數(shù)少1，字母為a．∵a＝（﹣2）1﹣1a，﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，4a＝（﹣2）3﹣1a，﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，16a＝（﹣2）5﹣1a，﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，…由上規(guī)律可知，第n個單項式為：（﹣2）n﹣1a．
52.觀察下列等式：
2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
2+22+23+24+25＝26﹣2；
…
已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，則220+221+222+223+224+…+238+239+240＝　 ?。ńY(jié)果用含m的代數(shù)式表示）．
【答案】2m2﹣m
【解析】由題意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再將220＝m代入，原式＝m（2m﹣1）=＝2m2﹣m．
53.下面是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個這樣的圖案黑色棋子的個數(shù)是
A. 148 B. 152 C. 174 D. 202

【答案】C
【解析】圖①中的黑子棋子數(shù)是0+2（1+2+3）；
圖②中的黑子棋子數(shù)是2+2（1+2+3+4）；
圖③中的黑子棋子數(shù)是4+2（1+2+3+4+5）；
圖④中的黑子棋子數(shù)是6+2（1+2+3+4+5+6）；
…
第10個這樣的圖案黑子棋子數(shù)是2×9+2（1+2+3+4+5+6+…+11+12）=.
54.下列圖中所有小正方形都是全等的．圖（1）是一張由4個小正方形組成的“L”形紙片，圖（2）是一張由6個小正方形組成的3×2方格紙片．

（1） （2） （3） （4）
把“L”形紙片放置在圖（2）中，使它恰好蓋住其中的4個小正方形，共有如圖（3）中的4種不同放置方法．圖（4）是一張由36個小正方形組成的6×6方格紙片，將“L”形紙片放置在圖（4）中，使它恰好蓋住其中的4個小正方形，共有n種不同放置方法，則n的值是 （　?。?br /> A．160 B．128 C．80 D．48
【答案】A
【解析】本題考查了圖形的拆拼，圖形規(guī)律，圖形的擺放分橫著和豎著兩種，而每種都有圖（3）顯示的四種方式擺放，圖（4）是6×6的正方形，所以橫著和豎著擺放結(jié)果是一樣的，那么只需要討論一種擺放方式的數(shù)量即可，假設(shè)先橫著擺放就是4×5＝20種，所以n＝20×2×4＝160種，因此本題選A．
55.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動后點A1（0，2）變換到點A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滾動后點A2變換到點A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滾動后點A3變換到點A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滾動后點A4變換到點A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此規(guī)律…，則第2020個等腰直角三角形的面積是　 ?。?br />
【答案】22020
【解析】根據(jù)A1（0，2）確定第1個等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面積，根據(jù)A2（6，0）確定第1個等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面積，…，同理，確定規(guī)律可得結(jié)論．
∵點A1（0，2），∴第1個等腰直角三角形的面積＝2，∵A2（6，0），∴第2個等腰直角三角形的邊長為2，∴第2個等腰直角三角形的面積＝22，∵A4（10，4），
∴第3個等腰直角三角形的邊長為10﹣6＝4，∴第3個等腰直角三角形的面積＝8＝23，
…
則第2020個等腰直角三角形的面積是22020；
故答案為：22020（形式可以不同，正確即得分）．


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