考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)
1.正弦、余弦、正切的定義
　　如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：
(1)sinA=，這個(gè)比叫做∠A的正弦.
　　 (2)cosA=，這個(gè)比叫做∠A的余弦.
　　(3)tanA=，這個(gè)比叫做∠A的正切.
【微點(diǎn)撥】
　　(1)正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無關(guān).
　　(2)sinA、cosA、tanA是一個(gè)整體符號，即表示∠A三個(gè)三角函數(shù)值，書寫時(shí)習(xí)慣上省略符號“∠”，
　 　　但不能寫成sin·A，對于用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.
　　(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.
　　(4)三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成等.
2.銳角三角函數(shù)的定義
　　銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).
【微點(diǎn)撥】
　　1. 函數(shù)值的取值范圍
對于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

　　2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：
　　余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，
那么：sinA=cosB； cosA=sinB；
　　同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=
　　3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值
∠A
30°
45°
60°
sinA



cosA



tanA

1

　　30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.
考點(diǎn)二、解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．
　　解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：
　　　　　　　　　　　
　　角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；
　　邊邊關(guān)系：勾股定理，即；
　　邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即
　　
【微點(diǎn)撥】
　　解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：
　　(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；
　　(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．
考點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用
　　解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.
1.解這類問題的一般過程
　　(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.
　　(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.
　　(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.
　　(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.
　　2.常見應(yīng)用問題
　　(1)坡度：； 坡角:.
　　　　　
　　(2)方位角：
　　　　　
　　(3)仰角與俯角：
　　　　　

【微點(diǎn)撥】
1．解直角三角形的常見類型及解法

已知條件
解法步驟
Rt△ABC

兩
邊
兩直角邊(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，

一
邊
一
角
一直角邊
和一銳角
銳角、鄰邊
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
銳角、對邊
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜邊、銳角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
　　
2．用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的基本方法是：
　　　　
　　把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．
　　借助生活常識(shí)以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．
　　當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?br /> 3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用
　　用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔。
　　如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡單：
　　　　∵
　　　　∴
　　　　∵
　　　　∴
　　　　∵
　　　　∴




1.如圖，在離鐵塔150米的A處，用測傾儀測得塔頂?shù)难鼋菫?，測傾儀高AD為1.5米，則鐵塔的高BC為
A．(1.5＋150tan)米 B．(1.5＋)米
C．(1.5＋150sin)米 D．(1.5＋)米
【答案】A
【解析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，由題意 AE＝CD＝150，在Rt△ABE中，tanα＝,∴，∴BC＝BE＋CE＝1.5＋150tanα，因此本題選A．
2.如圖，某停車場入口的欄桿AB，從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為（　?。?br /> A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【答案】B
【解析】本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．如答圖，過點(diǎn)A′作A′C⊥AB于點(diǎn)C．在Rt△OCA′中，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由題意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本題選B．
3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，則BD的長度為（?。?br />
A． B． C． D．4【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，cosA＝＝，則AB＝AC＝5，∴BC＝＝3.在Rt△BCD中，cos∠DBC＝＝，cos∠DBC＝cosA，∴BD＝BC＝×3＝.
4.如圖，在距某居民樓AB樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡的CD坡度（或坡比） i=1:0.75，山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離CD=45m，在坡頂D點(diǎn)處測得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓的高度約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m

【答案】B
【解析】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，則四邊形DFBF是矩形.在Rt△DCF中，∵CD的坡度為1:0.75，∴.設(shè)DF=4k，CF=3k，則CD=5k.∵CD=45，∴k=9，DF=36,CF=27，∴BE=36，DE=BF=27+60=87.在Rt△ADE中， AE=DE·tan∠ADQ=87×0.53=46.11，∴AB=46.11+36≈82.1（m）．

5.如圖，小明想要測量學(xué)校操場上旗桿的高度，他作了如下操作：（1）在點(diǎn)處放置測角儀，測得旗桿頂?shù)难鼋?；?）量得測角儀的高度；（3）量得測角儀到旗桿的水平距離.利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，旗桿的高度可表示為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了利用三角函數(shù)計(jì)算物體高度，作CF⊥AB于F，由題意得CF=DB=b，∵tan∠ACF=AF:CF,∴AF=tan∠ACF×CF=，∴AB=AF+FB=AF+CD=,因此本題選A.
6.如圖，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，將Rt△ABC繞點(diǎn)A 轉(zhuǎn)得到Rt△AB′C′，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在AC上，在B′C′上取點(diǎn)D，使B′D＝2，那么，點(diǎn)D到BC的距離等于（　　）
A
B
C
D
B′
C′

A．2(＋1) B．＋1 C．－1 D．＋1
【答案】D
【解析】本題可直接通過解直角三角形解答．如圖，設(shè)DE⊥BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，則∠B′DF＝∠C＝30°，∴DF＝2B′F．在Rt△B′DF中，設(shè)B′F＝x，根據(jù)勾股定理，得x2＋22＝(2x)2，解得x＝，∴DF＝．由旋轉(zhuǎn)知AB′＝AB＝2．在Rt△ABC中，∠C＝30°，∴AC＝2AB＝4，∴B′C＝4－2＝2，∴CF＝B′C－B′F＝2－，∴EF＝CF＝1－．∴DE＝DF＋EF＝＋1－＝＋1．
E
A
B
C
D
B′
C′
F

7.如圖垂直于水平面的5G信號塔 建在垂直與水平面的懸崖邊B點(diǎn)處，某測量員從山腳C點(diǎn)出發(fā)沿水平方向前行78米到D點(diǎn)（點(diǎn)A,B,C在同一條直線上），再沿斜坡DE方向前行78米到E點(diǎn)（點(diǎn)A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)E處測得5G信號塔頂端A的仰角為43°，懸崖BC的高為144.5米，斜坡的坡度（或坡比）i=1:2.4，則信號塔AB的高度約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【答案】D
【解析】本題考查了銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AC于E，作EG⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)G，則四邊形EFCG是矩形.在Rt△DEG中，∵DE的坡度為1:2.4，∴.設(shè)EG=5k，DG=12k，則DE=13k.∵DE=78，∴k=6，EG=30,DG=72，∴CF=30，EF=CG=72+78=150.在Rt△AEF中， AF=EF·tan∠AEF=150×0.93=139.5，∴AC=139.5+30=169.5（m），∴AB=169.5-144.5=25（m），因此本題選D．

8．如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，已知標(biāo)桿BE高1.5m，測得AB＝1.2m，BC＝12.8m，則建筑物CD的高是（　　）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m

【答案】A
【解析】由題意得EB⊥AC，DC⊥AC，從而EB∥DC，所以△AEB∽△ADC，從而得到＝，即＝，解得CD＝17.5（cm）．因此本題選A．
9.如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點(diǎn)分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏東70°方向，則河寬（PT的長）可以表示為（　?。?br />
A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D．米
【答案】B
【解析】在Rt△PQT中，利用∠PQT的度數(shù)，得到∠PTQ的度數(shù)，進(jìn)而由PQ的長根據(jù)三角函數(shù)即可求得PT的長．在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°－70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°＝，∴PT＝＝，即河寬米，此本題選B．
10.從一艘船上測得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角是30度，船離燈塔的水平距離為 （　?。?br /> A．米 B．米 C．21米 D．42米
【答案】A
【解析】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用——仰俯角問題，如圖水平距離＝42÷tan30°＝42÷＝，因此本題選A．

11.如同，小亮為了測量校園里教學(xué)樓AB的高度．將測角儀CD豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為18 m的地面上，若測角儀的高度是1.5m，測得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30°，則教學(xué)樓的高度是 （ ）
A． 55.5 m B．54 m C．19. 5 m D．18 m

【答案】C
【解析】過D作DE⊥AB，∵在D處測得旗桿頂端A的仰角為30°，∴∠ADE＝30°，∵BC＝DE＝18m，∴AE＝DE?tan30°＝18m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，故選C．

12.某簡易房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對稱圖形，則坡屋頂上弦桿AB的長為 （ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，則BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt△ABD中，∠ADB=90°，cosB=，所以AB===．故選B.

13.如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60 n mile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是 （ ）
A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D． n mile

【答案】D
【解析】過C作CD⊥AB于D點(diǎn)，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC?cos∠ACD=60×=30．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile．故本題選：D．
14.南洞庭大橋是南益高速公路上的重要橋梁，小芳同學(xué)在校外實(shí)踐活動(dòng)中對此開展測量活動(dòng).如圖1，在橋外一點(diǎn)A測得大橋主架與水面的交匯點(diǎn)C的俯角為α，大橋主架的頂端D的仰角為β，已知測量點(diǎn)與大橋主架的水平距離AB＝a，則此時(shí)大橋主架頂端離水面的高CD為（）
A. asinα+asinβ B. acosα +a cosβ C. atanα+atan β D.

【答案】C
【解析】在Rt△ABD中，∵tanβ=，∴BD=atanβ.
在Rt△ABD中，∵tanα=，∴BC=atanα.
∴CD=BD+BC=atanα+atanβ.
15.如圖，在河對岸有一矩形場地ABCD，為了估測場地大小，在筆直的河岸l上依次取點(diǎn)E，F(xiàn)，N，使AE⊥l，BF⊥l，點(diǎn)N，A，B在同一直線上．在F點(diǎn)觀測A點(diǎn)后，沿FN方向走到M點(diǎn)，觀測C點(diǎn)發(fā)現(xiàn)∠1＝∠2．測得EF＝15米，F(xiàn)M＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，則場地的邊AB為 米，BC為 米．
【答案】15，20
【解析】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題意可知EN＝15+2+8＝25，又∠ANE＝45°，得到AN＝25，AE＝25.又因?yàn)镕N＝10，所以BN＝10，所以AB＝AN－BN＝15；延長CB交l于點(diǎn)Q，顯然△BQF≌△BNF，QF＝BF＝10，BQ＝10，在Rt△CPQ中，PQ＝CP，由∠1＝∠2，所以tan∠1＝,所以CP＝30，所以CQ＝30，所以BC＝20.
因此本題答案為15，20．
16.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，則BD的長度為________．

【答案】
【解析】本題考查了解直角三角形，含30°角的直角三角形的性質(zhì)（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）．因?yàn)椤螩＝90°，∠ADC＝60°，所以∠DAC＝30°，所以CD＝AD．因?yàn)椤螧＝30°，∠ADC＝60°，所以∠BAD＝30°，所以BD＝AD，所以BD＝2CD．因?yàn)锽C＝，所以CD＋2CD＝，所以CD＝，所以DB＝，因此本題答案為．
17.如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則2AD＋DC的最小值為___________．
【答案】6
【解析】本題考查了含30°的直角三角形，垂線段最短．如答圖，作∠BCE＝30°，CE與AC在BC兩側(cè)，過點(diǎn)D作DF⊥CE于F．過點(diǎn)A作AH⊥CE于點(diǎn)H．在Rt△CDF中，因?yàn)椤螧CE＝30°，所以DF＝CD，則由“垂線段最短”可知，AD＋DF的最小值為線段AH的長，即AD＋CD的最小值為線段AH的長．在Rt△ABC，因?yàn)椤螧＝60°，所以∠ACB＝30°，因?yàn)锳B＝2，所以BC＝4，AC＝．在Rt△ACH中，∠ACH＝∠ACB＋∠BCE＝30°＋30°＝60°，所以∠CAH＝30°，所以CH＝AC＝×＝，AH＝CH＝×＝3，所以AD＋CD的最小值為3，因?yàn)?AD＋DC＝2(AD＋CD)，所以2AD＋DC的最小值為6．
18.人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具（如圖）．若AB，AC的長都為2m，當(dāng)α＝50°時(shí)，人字梯頂端離地面的高度AD是____m．（結(jié)果精確到0.1m，參考依據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】1.5
【解析】直接利用正弦求解．在Rt△ADC中，AC＝2，∠α＝50°，
則sin50°＝，∴AD＝AC·sin50°＝2×0.77≈1.5．
19.如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD，DC∥AB．BC長6米，坡角β為45°，AD的坡角α為30°，則AD長為　 　米（結(jié)果保留根號）．

【答案】故答案為：6．
【解析】本題考查了解直角三角形的知識(shí)，通過構(gòu)造直角三角形，解直角三角形，從而解決問題．
解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，過點(diǎn)C作CF⊥AB于F．

∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC?sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝6（米），
因此本題答案為：6．
20.如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB長26m，斜坡AB的坡比為12：5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對該斜坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過50°時(shí)，可確保山體不滑坡，如果改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，則坡頂B沿BC至少向右移___________m時(shí)，才能確保山體不滑坡．（取tan50°﹦1.2）


A
B
C
D
E
H
G

【答案】10
【解析】本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，因?yàn)樾逼翧B的坡比為12：5，即BE:AE=12：5．設(shè)BE=12k，則AE=5k，AB=13k.因?yàn)樾逼翧B長26m，所以13k=26，所以k=2，即：BE=24 m，則AE=10 m，設(shè)坡頂B沿BC至少向右移至點(diǎn)G處，過點(diǎn)G作GH⊥AD，垂足為點(diǎn)H，且設(shè)BG=x，則GH：AH≤tan50°，即24：AH≤1.2，所以AH≥20，因?yàn)锳E=10，所以EH≥10，即坡頂B沿BC至少向右移10 m時(shí)，才能確保山體不滑坡．，因此本題答案為10．
21.如圖是某商場營業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為30°，在自動(dòng)扶梯下方地面C處測得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為4m，則自動(dòng)扶梯的垂直高度BD＝________m．（結(jié)果保留根號）

【答案】2
【解析】先由三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的判定，得到BC＝AC＝4，再解直角三角形BCD求BD．∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BCD中，BD＝BCsin60°＝4×＝2．
22.如圖,一艘船由A港沿北偏東65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏東20°方向,則A,C兩港之間的距離為________km.
A.30+30 B.30+10 C.10+30 D.30

【答案】B
【解析】如圖,由題中方位角可知∠A＝45°,∠ABC＝75°,∠C＝60°,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D,在Rt△ABD中,∠A＝45°,AB＝,∴AD＝ABcosA＝30,BD＝ABsinA＝30,在Rt△BCD中,∠C＝60°,∴CD＝＝,∴AC＝AD+CD＝30+10,故選B.

23.如圖，AB是垂直于水平面的建筑物，為測量AB的高度，小紅從建筑物底端B出發(fā)，沿水平方向行走了52米到達(dá)點(diǎn)C，然后沿斜坡CD前進(jìn)，到達(dá)坡頂D點(diǎn)處，DC=BC.在點(diǎn)D處放置測角儀，測角儀支架DE高度為0.8米，在E點(diǎn)處測得建筑物頂端A點(diǎn)的仰角∠AEF為27°（點(diǎn)A,B,C,D在同一平面內(nèi)）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,那么建筑物AB的高度約為（ ）

【答案】B
【解析】作EN⊥AB于N,EM⊥BC交BC的延長線于M.
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,
DC=BC=52米，設(shè)DM=x米，則CM=2.4x米，
在Rt△ECM中，∵+ =，∴+=
解得x=20 ∴CM=48米，EM=20+0.8=20.8米，BM=ED+DM=52+48=100米
∵EN⊥AB,EM⊥BC，AB⊥BC∴四邊形ENBM是矩形. ∴EN=BM=100米，BN=EM=20.8米.
在Rt△AEN中，∵∠AEF=27°∴AN=EN﹒tan27°≈100×0.51=51米
∴AB=AN+BN=51+20.8=71.8米.故選B．

24.如圖，已知AB是的直徑，BC與相切于點(diǎn)B，連接AC，OC．若，則________．
【答案】
【解析】本題考查了銳角三角函數(shù)的意義，切線的性質(zhì)，因?yàn)锽C與⊙O相切于點(diǎn)B，所以AB⊥BC，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，因?yàn)閟in∠BAC＝，所以＝．設(shè)BC＝x，則AC＝3x．在Rt△ABC中，由勾股定理得直徑AB＝＝＝，所以半徑OB＝．在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本題答案為．
25.cos60°＝　 ?。?br /> 【答案】
19．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，AD＝，CD＝1,則BC的長為 .
【答案】5或7
【解析】本題考查了特殊三角函數(shù)，三角形的高，因?yàn)殁g銳三角形的高的不同，此題有兩種情況，①點(diǎn)D在BC延長線上，在△ABD中 tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD－ CD＝6－1＝5；②點(diǎn)D在BC上，在△ABD中 tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD＋ CD＝6＋1＝7，因此本題答案為5或7．

20.如圖，已知是一個(gè)銳角，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)、，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，畫射線.過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn).設(shè)，，則________.

【答案】
【解析】本題考查了尺規(guī)作圖，直角三角形兩銳角互余，勾股定理，三角函數(shù)的概念，連接BD，作DF⊥ON于F，由尺規(guī)作圖知∠AOD=∠BOD， AD∥OB，△AOD≌△BOD,∴∠ADO=∠BOD,AO=BO，AD=BD,∴∠ADO=∠AOD，∴AD=AO, ∴四邊形AOBD為菱形，∴BD=10,∠BDO=∠BOD,∵DE⊥OD,∴∠BDE=∠BED, ∴BD=BE=10,設(shè)BF=x，則EF=10-x，∵BD2-BF2=DE2-EF2,∴102-x2=122-（10-x）2,解得x=2.8，由勾股定理得DF=9.6,∴sin∠MON= sin∠DBF=DF:BD=9.6:10=．
21.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝2BC，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形 ACDE、BCFG，連接 EC、EG，則tan∠CEG＝________．
【答案】
【解析】本題考查了正切的定義、正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的三邊關(guān)系．連結(jié)CG ，∵ACBD、CFBG是正方形．∴∠ECG＝45°＋45°＝90°，設(shè)BC＝a，則AC＝2a，CG＝ ，CE＝ ，∴tan∠CEG＝
22.如圖，一架長為6米的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)測得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，則梯子頂端A下移到C，這時(shí)又測得∠CDO＝50°，那么AC的長度約為　　米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）

【答案】1.02
【解析】∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），則AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的長度約為1.02米．故答案為：1.02．
23.在直角三角形ABC中，若2AB=AC則cosC=___________.
【答案】或
【解析】若∠B=90°，設(shè)AB=x，則AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；若∠A=90°，設(shè)AB=x，則AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；綜上所述，cosC的值為或．故答案為或．
24.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,DE為△ABC的中位線,延長BC至F,使CF＝BC,連接FE并延長交AB于點(diǎn)M,若BC＝a,則△FMB的周長為________.

【答案】a
【解析】∵BC＝a,∴CF＝BC＝a,∴BF＝a∵DE為△ABC的中位線,∴DE∥BF,DE＝a,∴△MED∽△MFB,∴,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,∴∠A＝30°,AB＝2a,BD＝a,∴MD＝a,MB＝a,∵M(jìn)B＝FB,∠B＝60°,△BMF是等邊三角形,周長＝a.
25.如圖，以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形紙片ABC中，將B角折起，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)D（不與點(diǎn)A，C重合）處，折痕是EF.
如圖1，當(dāng)CD＝時(shí)，
如圖2，當(dāng)CD＝時(shí)，
如圖3，當(dāng)CD＝時(shí)，
……
依次類推，當(dāng)CD＝（n為正整數(shù)）時(shí)，
……
【答案】
【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，
當(dāng)n＝2時(shí)，
當(dāng)n＝3時(shí)，
……
∴
26.如圖，在△中，，，.則邊的長為▲.

【答案】
【解析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，，AC＝2，∴DC=×2=，，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．
∵sin B=，=2AD=．

27.如圖，小瑩在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)對某小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測量．先測得居民樓AB與CD之間的距離AC為35m，后站在M點(diǎn)處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°．居民樓AB的頂端B的仰角為55°．已知居民樓CD的高度為16.6m，小瑩的觀測點(diǎn)N距地面1.6m．求居民樓AB的高度（精確到1m）．
（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
55°
45°
A
B
C
D
M
N

【解析】過點(diǎn)N作出平行于AC的直線，即可構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，通過解直角三角形求解，均屬于“已知一邊一角”解直角三角形類型．
【答案】解：過點(diǎn)N作EF∥AC交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．
則AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，
則DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15．在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15．
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20．在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，
∴BE＝EN·tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6°．∴AB＝BE＋AE＝28.6＋1.6≈30．
答：居民樓AB的高度約為30m．
55°
45°
A
B
C
D
M
N
E
F

28.如圖，在一筆直的海岸線上有A，B兩個(gè)觀測站，A在B的正西方向，AB＝2 km，從觀測站A測得船C在北偏東45°的方向，從觀測站A測得船C在北偏西30°的方向．求船C離觀測站A的距離．
圖

【解析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)AD＝CD＝x km，從而AC＝x km，在Rt△BCD中，由正切函數(shù)得到x的方程求解即可．
【答案】解：如答圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠CAD＝∠ACD＝45°，從而AD＝CD＝x km，AC＝x km，DB＝(2－x)km，∠CBD＝60°．
圖

在Rt△BCD中，由tan∠CBD＝，得tan60°＝，即＝，解得x＝3－，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3－是原方程的根，從而AC＝x km＝?(3－)＝(3－) km．答：船C離觀測站A的距離為(3－) km．
29.位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之一.某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺(tái)的高度.如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設(shè)測角儀，先在點(diǎn)M處測得觀星臺(tái)最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16 m到達(dá)點(diǎn)N處，測得點(diǎn)A的仰角為45°.測角儀的高度為1.6 m.
(1)求觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1 m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；
(2)“景點(diǎn)簡介”顯示，觀星臺(tái)的高度為12.6 m.請計(jì)算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議.

【解析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．(1)過A點(diǎn)作AE⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)E，交MP于點(diǎn)F，設(shè)AE= m,從而構(gòu)建出兩個(gè)直角三角形.在Rt△ACE利用∠ACE=45°，表示出BE=x+16；在Rt△ABE中，利用tan∠ABE建立方程，求出x的值，再加上測角儀的高度即是觀景臺(tái)的高度；（2）可采用多次測量求平均值來減小誤差.
【答案】解：(1)過A點(diǎn)作AE⊥BC，交BC延長線于點(diǎn)E，交MP于點(diǎn)F，設(shè)AE=.
在Rt△ACE中，∠ACE= 45°，∴AE=CE=，∵BC=16，∴BE=+16；
在Rt△ABE中，∠ABE= 22°，∴tan22°=， ，解得:x≈10.67，
由題意，易知四邊形BEFM為矩形，∴EF=BM=1.6， ∴AF=10.67+1.6=12.27≈12.3().
答：觀景臺(tái)的高度約為12.3m.
(2)本次測量的誤差為:12.6－12.3=0.3()，宜多測量幾次，取這幾次計(jì)算結(jié)果的平均數(shù)，可以盡可能地減小誤差.

30.汛期即將來臨，為保證市民的生命和財(cái)產(chǎn)安全，市政府決定對一段長200米且橫斷面為梯形的大壩用土石進(jìn)行加固，如圖，加固前大壩背水坡坡面從A至B共有30級階梯，平均每級階梯高30cm，斜坡AB的坡度i=1:1，加固后壩頂寬度增加2米，斜坡EF的坡度i=1:,問工程完工后，共需土石多少立方米？（計(jì)算土石時(shí)忽略階梯，結(jié)果保留根號）

【解析】解：如圖，分別過點(diǎn)A,E作AN⊥FC于N,EM⊥F于M，
則AN=EM,
∵從A至B共有30級階梯，平均每級階梯高30cm，
∴AN=9米=EM，
∵斜坡AB的坡度i=1:1，
∴BN=AN=9米，
∵斜坡EF的坡度i=1:，
∴FM=9，
∴FB=FM+MN-BN=9+2-9=9-7,
S梯==,
∴體積為200S梯=8100-4500（m3)
答:共需土石8100-4500立方米.


31.如圖,某海監(jiān)船以60海里時(shí)的速度從A處出發(fā)沿正西方向巡邏,一可疑船只在A的西北方向的C處,海監(jiān)船航行1.5小時(shí)到達(dá)B處時(shí)接到報(bào)警,需巡查此可疑船只,此時(shí)可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C處,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃離,海監(jiān)船立刻加速以90海里/時(shí)的速度追擊,在D處海監(jiān)船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下結(jié)果保留根號)
(1)求B,C兩處之間的距離;
(2)求海監(jiān)船追到可疑船只所用的時(shí)間.

【解析】解：(1)過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,在Rt△BEC中,設(shè)BC＝x,∵∠BCE＝30°,∴BE＝BC＝x,CE＝x,在Rt△ACE中,AE＝CE＝x,∴AB＝AE－BE＝x－x,已知AB＝60×1.5＝90,∴x－x＝90,解之得,x＝90+90.答:B,C兩處之間的距離(90+90)海里;
E

(2)過點(diǎn)B作BF⊥DC于點(diǎn)F,在Rt△BDF中,∠DBF＝60°,由(1)得,BF＝CE＝CE＝x＝135+45,∴BD＝2BF＝270+90,∴時(shí)間為(270+90)÷90＝3+.答:海監(jiān)船追到可疑船只所用的時(shí)間為(3+)小時(shí).
F

32.如圖，某旅游景區(qū)為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道AB，棧道AB與景區(qū)道路CD平行.在C處測得棧道一端A位于北偏西42°方向，在D處測得棧道另一端B位于北偏西32°方向.已知CD=120m，BD=80m，求木棧道AB的長度（結(jié)果保留整數(shù)）.
（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）

【解析】解：過作于，交的延長線于，
則，
，
四邊形是矩形，
，，
在中，，，
，，
，
在中，，，
，
，
答：木棧道的長度約為．

33. 圖9是一種淋浴噴頭，圖10是圖9的示意圖，若用支架把噴頭固定在A點(diǎn)處，手柄長AB＝25cm，AB與墻壁D的夾角∠AB＝37°，噴出的水流BC與AB行程的夾角∠ABC＝72°，現(xiàn)在住戶要求：當(dāng)人站在E處淋浴時(shí)，水流正好噴灑在人體的C處，且使DE＝50cm，CE＝130cm．問：安裝師傅應(yīng)將支架固定在離地面多高的位置？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．


【解析】過B點(diǎn)作MN∥DE，分別交直線AD和直線EC于點(diǎn)M、N，由題意可知AD∥CE，∠ADE＝90°
∴四邊形DMNE為矩形，∴∠AMB＝∠BNC＝9 0°，MN＝DE，MD＝NE．在Rt△ABM中，∠AB＝37°， sin∠MAB＝，∴MB＝AB·sin37°＝25×0.6＝15，cos∠MAB＝，∴AM＝AB·cos37°＝25×0.8＝20，∵M(jìn)N＝DE＝50，∴NB＝50－15＝35，∵∠ABM＝90°－37°＝53°，∠ABC＝72°，∴∠NBC＝180°－53°－72°＝55°，∴∠BCN＝90°－55°＝35°．在Rt△BNC中，tan∠BCN＝，∴CN＝＝50，∴EN＝CN+CE＝50+130＝180＝MD，∴AD＝MD－AM＝180－20＝160（cm）．
答：安裝師傅應(yīng)將支架固定在離地面160cm高的位置．

34.如圖1，正方形ABDE和BCFG的邊AB，BC在同一條直線上，且AB＝2BC，取EF的中點(diǎn)M．連接MD，MG，MB．
(1)試證明DM⊥MG，并求的值；
(2)如圖2，將圖1中的正方形變?yōu)榱庑?，設(shè)∠EAB＝2α(0°＜α＜90°)．其它條件不變，問(1)中的值有變化嗎?若有變化，求出該值(用含α的式子表示)；若無變化，說明理由．

【解析】解：(1)延長GM交DE于H，∵EF的中點(diǎn)M，∴EM＝FM，∵正方形ABDE、正方形BCFG，∴AB∥DE∥GF，∴∠HEM＝∠GFM，在△EHM和△FGM中，，∴△EHM≌△FGM(ASA),∴HM＝MG，GF＝EH，∵AB＝2BC，∴GF＝EH＝DH＝DG，∴DM是△HDG底邊上的中線，∴DM⊥MG；
設(shè)AB＝4，BC＝2，易求MB＝EF＝，MG＝BC＝，∴

(2)比值會(huì)隨著α的變化而變化，理由如下：
連接AM、EB、EF、GC，DF，交點(diǎn)為T、Q
由題知AD⊥EB、EF⊥GC，DF⊥BF，∠EAT＝∠BAT＝∠GBQ＝∠CBQ＝α
∴四邊形TBFD為矩形
∴DF＝TB
∵G為BD的中點(diǎn)
∴MG＝
由題設(shè)AB＝2，BC＝1
∴EB＝2BT＝4sinαFB＝2BQ＝2cosα
∴DF＝TB＝2sinαMG＝＝sinα

在RT△EBF中由勾股定理得

∴MB＝＝
∴＝



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