（全國通用）2022年中考數(shù)學(xué)命題點及重難題型分類突破練模型十主從聯(lián)動（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

模型十主從聯(lián)動【基礎(chǔ)模型】【基本模型】類型一軌跡為直線引例：如圖，P 是直線 BC 上一動點，連接 AP，取 AP 中點 Q，當(dāng)點 P 在 BC 上運動時，Q 點軌跡是？分析當(dāng) P 點軌跡是直線時，Q 點軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過 A、Q 向 BC 作垂線，垂足分別為 M、N，在運動過程中，因為 AP=2AQ，所以 QN 始終為 AM 的一半，即 Q 點到 BC 的距離是定值，故 Q 點軌跡引例如圖，△APQ 是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且 AP=AQ，當(dāng)點 P 在直線 BC 上運動時，求 Q 點軌跡？分析當(dāng) AP 與 AQ 夾角固定且 AP:AQ 為定值的話，P、Q 軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的 Q 點的位置，連線即可，比如 Q 點的起始位置和終點位置，連接即得 Q 點軌跡線段模型總結(jié) 必要條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ 是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ 是定值）．結(jié)論： P、Q 兩點軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時，∠PAQ 等于 MN 與 BC 夾角）P、Q 兩點軌跡長度之比等于 AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得 AP:AQ=BC:M類型二軌跡為圓如圖，P 是圓 O 上一個動點，A 為定點，連接 AP，作 AQ⊥AP 且 AQ=AP．考慮：當(dāng)點 P 在圓 O 上運動時，Q 點軌跡是？分析 Q 點軌跡是個圓，可理解為將 AP 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90°得 AQ，故 Q 點軌跡與 P 點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．考慮 AP⊥AQ，可得 Q 點軌跡圓圓心 M 滿足 AM⊥AO；考慮 AP=AQ，可得 Q 點軌跡圓圓心 M 滿足 AM=AO，且可得半徑 MQ=PO．即可確定圓如圖，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且 AP=2AQ，當(dāng) P 在圓 O 運動時，Q 點軌跡是？分析考慮 AP⊥AQ，可得 Q 點軌跡圓圓心 M 滿足 AM⊥AO；考慮 AP:AQ=2:1，可得 Q 點軌跡圓圓心 M 滿足 AO:AM=2:1．即可確定圓 M 位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為 2．模型總結(jié) 為了便于區(qū)分動點 P、Q，可稱點 P 為“主動點”，點 Q 為“從動點”．此類問題的必要條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ 是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ 是定值）結(jié)論（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角： ∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比： AP:AQ=AO:AM ，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q 與 P 的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．思考 1：如圖，P 是圓 O 上一個動點，A 為定點，連接 AP，以 AP 為一邊作等邊△APQ．考慮：當(dāng)點 P 在圓分析 Q 點滿足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故 Q 點軌跡是個圓：考慮∠PAQ=60°，可得 Q 點軌跡圓圓心 M 滿足∠MAO=60°；考慮 AP=AQ，可得 Q 點軌跡圓圓心 M 滿足 AM=AO，且可得半徑 MQ=PO．即可確定圓 M 位置，任意時刻均有△APO≌△AQM小結(jié)可以理解 AQ 由 AP 旋轉(zhuǎn)得來，故圓 M 亦由圓 O 旋轉(zhuǎn)得來，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均等于 AP 與 AQ 的位置和數(shù)量關(guān)系思考 2 如圖，P 是圓 O 上一個動點，A 為定點，連接 AP，以 AP 為斜邊作等腰直角△APQ．考慮：當(dāng)點分析 Q 點滿足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ= ：1，故 Q 點軌跡是個圓．連接 AO，構(gòu)造∠OAM=45°且 AO:AM= ：1．M 點即為 Q 點軌跡圓圓心，此時任意時刻均有△AOP∽△ AMQ．即可確定點 Q 的軌跡圓【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為　　．【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在位置，最終G點在位置（不一定在CD邊），即為G點運動軌跡．CG最小值即當(dāng)CG⊥的時候取到，作CH⊥于點H，CH即為所求的最小值．根據(jù)模型可知：與AB夾角為60°，故⊥．過點E作EF⊥CH于點F，則HF==1，CF=，所以CH=，因此CG的最小值為．2、如圖，矩形中，，，點是矩形內(nèi)一動點，且，則的最小值為_____．【答案】【詳解】為矩形，又點到的距離與到的距離相等，即點線段垂直平分線上，連接，交與點，此時的值最小，且故答案為：3、如圖，已知等邊三角形ABC邊長為2，兩頂點A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸負(fù)半軸、軸的正半軸上滑動，點C在第四象限，連接OC，則線段OC長的最小值是（　　）A．1 B．3 C．3 D．【答案】B【詳解】解：如圖所示：過點C作CE⊥AB于點E，連接OE，∵△ABC是等邊三角形，∴CE=AC×sin60°=，AE=BE，∵∠AOB=90°，∴EOAB，∴EC-OE≥OC，∴當(dāng)點C，O，E在一條直線上，此時OC最短，故OC的最小值為：OC＝CE﹣EO＝3故選B．4、如圖，在中，，，，點O是AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點，則MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點D，連接OD，作垂足為P交⊙O于F，此時垂線段OP最短，PF最小值為，∵，，∴∵，∴∵點O是AB的三等分點，∴，，∴，∵⊙O與AC相切于點D，∴，∴，∴，∴，∴MN最小值為，如圖，當(dāng)N在AB邊上時，M與B重合時，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，MN最大值，,∴MN長的最大值與最小值的和是6．故選B．5、如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4，BC=2.運動過程中點D到點O的最大距離是______．【答案】+2【詳解】如圖，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴當(dāng)O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，∵AB=4，BC=2，∴OE=AE=AB=2，DE==，∴OD的最大值為：+2，故答案為+2.6、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F是線段BC上的動點，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB' F，連接B' D，則B' D的最小值是_____．【答案】.【詳解】如圖所示點B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當(dāng)D、B'、E共線時，B'D的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．∵E是AB邊的中點，AB=4，∴AE=EB'=2．∵AD=6，∴DE2，∴B'D=22．故答案為22．7、如圖，過拋物線上一點A作軸的平行線，交拋物線于另一點B，交軸于點C，已知點A的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標(biāo)；（2）在AB上任取一點P，連結(jié)OP，作點C關(guān)于直線OP的對稱點D；①連結(jié)BD，求BD的最小值；②當(dāng)點D落在拋物線的對稱軸上，且在軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)x=4；B（10，5）．（2）①．②y=﹣x+．【詳解】（1）由題意A（﹣2，5），對稱軸x=﹣=4，∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴B（10，5）．（2）①如圖1中，由題意點D在以O為圓心OC為半徑的圓上，∴當(dāng)O、D、B共線時，BD的最小值=OB﹣OD=．②如圖2中，圖2當(dāng)點D在對稱軸上時，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，∴DE==3，∴點D的坐標(biāo)為（4，3）．設(shè)PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，∴x=，∴P（，5），∴直線PD的解析式為y=﹣x+．8、如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是直線AB上一點．將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連結(jié)BE．（1）若點D在AB邊上（不與A，B重合）請依題意補(bǔ)全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長最小時，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，AD=BE，理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．

（2）如圖2，過點A作AF⊥EB交EB延長線于點F．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠A=60°，
∴點E的運動軌跡是直線BE，
根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點E與F重合時，AE的值最小，
此時CD=CE=CF，
∵∠ACB=∠CBE=60°，
∴AC∥EF，
∵AF⊥BE，
∴AF⊥AC，在Rt△ACF中，
∴CF===，∴CD=CF=.

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