專(zhuān)題02  函數(shù)的對(duì)稱性、周期性與奇偶性一．選擇題(在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)滿足：①圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②；③當(dāng)時(shí)，.若，則（    ）A． B．1 C． D．2【解析】由①可知函數(shù)為奇函數(shù)，又，故，即函數(shù)的周期為3，∴，解得.故選：B.2．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，.數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（    ）A． B． C． D．【解析】由數(shù)列滿足，，當(dāng)，，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，，由知函數(shù)對(duì)稱軸為，又是奇函數(shù)，所以函數(shù)周期為..故選：D.3．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則的值為（    ）A． B． C．0 D．1【解析】因?yàn)?/span>是上的偶函數(shù)，所以，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以，則，得，即，所以是周期函數(shù)，且周期，由時(shí)，，則，，，，則，則.故選：D.4．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，若且時(shí)，都有，則下列四個(gè)結(jié)論中：①圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②；③在上為減函數(shù)；④.其中正確的個(gè)數(shù)（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，所以，所以對(duì)稱軸為，因?yàn)?/span>，所以，所以周期為4，所以對(duì)稱軸，故不符合，所以①不正確；，因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，所以②正確；因?yàn)?/span>且時(shí)，都有，所以，即，所以在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以③不正確；因?yàn)?/span>，，所以，所以④不正確，即正確的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：A.5．已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，則方程在，上的實(shí)根之和為（    ）A．4 B．3 C． D．【解析】由，得，則是周期為2的周期函數(shù).又函數(shù)為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.又當(dāng)，時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖：由圖可知，函數(shù)的圖象與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，方程在，上的實(shí)根之和為4.故選：A.6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且滿足下列三個(gè)條件：①對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有；②；③是偶函數(shù)；若，，，則的大小關(guān)系正確的是（    ）A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，若對(duì)任意的，，，當(dāng)時(shí)，都有，則函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)，若，則，即函數(shù)的周期為8，若是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，，又由函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)，則有；故選：．7．設(shè)的定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【解析】因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，且周期為，當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)是上的偶函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖所示：又，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.8．定義域?yàn)?/span>的已知奇函數(shù)滿足對(duì)任意恒成立，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.由題得，所以，所以函數(shù)的最小正周期為4.由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，所以.令.如圖所示，作出函數(shù)（實(shí)線圖象）和函數(shù)（虛線圖象）的圖象，從圖中可以看出兩個(gè)函數(shù)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故選：D9．定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上為增函數(shù)，若方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，，，，則的值為（    ）A．8 B．-8 C．0 D．-4【解析】因?yàn)?/span>，所以，所以，周期為8，又因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，在上為增函數(shù)，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示：由圖象可知在區(qū)間上的四個(gè)不同的根，，，，兩個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱，兩個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱，所以+++，故選：B10．已知是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（    ）A．2 B．3 C． D．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，故有．對(duì)任意，都有，，．即函數(shù)的周期為4．．故選：A．11．若，，，關(guān)于函數(shù)的以下結(jié)論：①                   ②對(duì)稱軸方程為，③值域?yàn)?/span>         ④在區(qū)間單調(diào)遞減其中正確的是（    ）A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④【解析】.因?yàn)?/span>都是周期為的函數(shù)，所以的周期為，①錯(cuò)誤；如下圖所示（一個(gè)周期內(nèi)圖象）：的對(duì)稱軸方程為：，，②正確；由圖直接得知③正確；當(dāng)，在區(qū)間單調(diào)遞減，④正確.故選：D.12．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.若直線與曲線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值的集合為（    ）A．（） B．（）C．（） D．（）【解析】定義在R上的偶函數(shù)滿足，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，且為周期是2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以畫(huà)出函數(shù)圖像如下圖所示：①當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像可知與（）有兩個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)與（）相切時(shí)，滿足，即，令，解得.當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像可知與（）有兩個(gè)公共點(diǎn)；由圖像可知， 時(shí)，直線與（）有三個(gè)公共點(diǎn)；又因?yàn)?/span>周期，可知（）. 故選：B.二．填空題13．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：，對(duì)，，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式在上的解集為______．【解析】因?yàn)閷?duì)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，而，由偶函數(shù)得當(dāng)時(shí)，；又可得周期，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，；于是的解集為．14．某學(xué)生對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究后，得出如下四個(gè)結(jié)論：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）存在常數(shù)，使對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立；（3）點(diǎn)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心；（4）函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱；其中正確的是______（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）【解析】定義域?yàn)?/span>R，，所以是奇函數(shù)，在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以（1）錯(cuò)誤；，令，成立，所以（2）正確；，所以點(diǎn)不是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，所以（3）不正確；，，函數(shù)圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，所以（4）不正確.故答案為：（2）15．若偶函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是______【解析】令，定義域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)集，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，且，由得，當(dāng)時(shí)有，偶函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且，，是的周期函數(shù)，，為的對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，在同一坐標(biāo)系中的圖象如下:可知與在上有13個(gè)交點(diǎn)即在上有13個(gè)零點(diǎn)，是偶函數(shù)，在上共有26個(gè)零點(diǎn).16．已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，則關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)結(jié)論：①為偶函數(shù)；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③方程有兩個(gè)不等實(shí)根；④其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是_______．【解析】對(duì)于①，由題意知，所以是周期為2的函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以為偶函數(shù)，①正確；對(duì)于②，是偶函數(shù)，對(duì)稱軸是，又是周期為2的函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，②正確；對(duì)于③，方程化為，設(shè)，則方程化為；由函數(shù)和的圖象知，圖象沒(méi)有交點(diǎn)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，是周期為2的函數(shù)，且為偶函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)；所以；又，所以，即，所以④錯(cuò)誤．綜上知，正確的命題序號(hào)是①②．三．解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．已知是定義在上的函數(shù)，滿足．（1）證明：2是函數(shù)的周期；（2）當(dāng)，時(shí)，，求在，時(shí)的解析式，并寫(xiě)出在，時(shí)的解析式；（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有20個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?/span>，令取得，所以，所以，2是函數(shù)的周期．（2）當(dāng)，時(shí)，，，則，又，即，解得．所以，當(dāng)，時(shí)，．所以，因?yàn)?/span>的周期為2，所以當(dāng)，時(shí)，，（3）由（2）作出函數(shù)的圖象，則方程解的個(gè)數(shù)：就是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．若，則都是方程的解，不合題意．若，則是方程的解．要使方程恰好有20個(gè)解，在區(qū)間，上，有9個(gè)周期，每個(gè)周期有2個(gè)解，在區(qū)間，上有且僅有一個(gè)解．則解得，．若，同理可得．綜上，．18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若，求的取值范圍；（2）若定義在上奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，求在上的解析式；（3）對(duì)于（2）中的，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】（1）原不等式可化為，∴，且，且，得.（2）∵是奇函數(shù)，∴，得，當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)， ， .∴（3）∵ ，,即周期為4，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，， 所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在一個(gè)周期內(nèi)，，記，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上恒成立，∴，解得.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上恒成立，所以，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．如果函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R,且存在實(shí)常數(shù),使得對(duì)于定義域內(nèi)任意,都有成立,則稱此函數(shù)為“完美函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“完美函數(shù)”.若它是“完美函數(shù)”,求出所有的的取值的集合；若它不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)已知函數(shù)是“完美函數(shù)”,且是偶函數(shù).且當(dāng)0時(shí)，.求的值.【解析】(1) 假設(shè)函數(shù)是“完美函數(shù)”,于是有： (舍去),所以函數(shù)是“完美函數(shù)”, 的取值集合為：；(2) 因?yàn)楹瘮?shù)是“完美函數(shù)”,所以,所以是奇函數(shù),是偶函數(shù),因此函數(shù)關(guān)于縱軸對(duì)稱,而函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象,因此的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,即有.因此有,所以函數(shù)是4為周期的函數(shù).,所以20．如果函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)于定義域內(nèi)的任意存在實(shí)數(shù)使得成立，則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”.（1）判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若具有“性質(zhì)”，寫(xiě)出所有的值；若不具有“性質(zhì)”，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）設(shè)函數(shù)具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)函數(shù)的解析式；若與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1001個(gè)，求的值.【解析】（1）由得，根據(jù)誘導(dǎo)公式得．具有“（a）性質(zhì)”，其中．（2）具有“性質(zhì)”，，，，從而得到是以2為周期的函數(shù)．又，則，．再設(shè)，當(dāng)，則，則，；當(dāng)，則，則；，；.對(duì)于，，都有，而，，是周期為1的函數(shù)．①當(dāng)時(shí)，要使與有1001個(gè)交點(diǎn)，只要與在，有1000個(gè)交點(diǎn)，而在，有一個(gè)交點(diǎn)．過(guò)，，從而得②當(dāng)時(shí)，同理可得③當(dāng)時(shí)，不合題意．綜上所述  

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