專題05 映射-2022新高考高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)技巧之函數(shù)專題匯編

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映射一．選擇題（共17小題） 1．（2019春?懷仁縣校級期末）下列集合到的對應(yīng)中，不能構(gòu)成映射的是　　A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解析】解：對于①，由于中元素1對應(yīng)中4或5，不唯一，且中2在中沒有對應(yīng)值，①中的對應(yīng)不能構(gòu)成映射；對于②，中元素2在中沒有對應(yīng)值，②的對應(yīng)不能構(gòu)成映射；對于③，由于中元素1在中對應(yīng)的值可能是3或4，不唯一，③中的對應(yīng)不能構(gòu)成映射；對于④，中的元素1、2、3分別對應(yīng)中的元素、、，滿足映射的定義，④中對應(yīng)能構(gòu)成映射．綜上，不能構(gòu)成映射的是①②③．故選：．2．（2006?浙江）函數(shù)，2，，2，滿足，則這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)共有　　A．1個(gè) B．4個(gè) C．8個(gè) D．10個(gè)【解析】解：1、（1）（2）（3）或2或3，共3個(gè)．2、（1）；（2）（3）或3，共2個(gè)．（2）；（1）（3）或3，共2個(gè)．（3）；（1）（2）或2，共2個(gè)．3、（1）；（2）；（3）；1個(gè)所以這樣的函數(shù)共有10個(gè)．故選．3．（2019秋?南陽期中）如圖所示，對應(yīng)關(guān)系是從到的映射的是　　A． B． C． D．【解析】解：如果一個(gè)集合中的任何元素在另一個(gè)集合中都有唯一確定的一個(gè)元素和它對應(yīng)，則此對應(yīng)構(gòu)成映射．故構(gòu)成映射，、不能構(gòu)成映射，因?yàn)榍斑叺募现械脑?/span>4與9在后一個(gè)集合中有兩個(gè)元素和它對應(yīng)，故此對應(yīng)不是映射．與中的元素0在后一個(gè)集合中沒有元素和它對應(yīng)，故與中的對應(yīng)不是映射．故選：．4．（2019秋?棗莊期中）已知集合，3，，若是集合到的映射，則集合可以是　　A．，2， B．，2， C．， D．，5，【解析】解：對應(yīng)關(guān)系為，，3，，，5，9共3個(gè)值，則集合可以是，5，．故選：．5．（2020春?蓮湖區(qū)校級期中）如圖給出的四個(gè)對應(yīng)關(guān)系，其中構(gòu)成映射的是　　A．①② B．①④ C．①②④ D．③④【解析】解：對應(yīng)①，符合映射的概念；對應(yīng)②，原像集合中有元素1與4在像集中沒有對應(yīng)的元素，不符合映射概念；對應(yīng)③，原像集合中有元素1與2在像集中對應(yīng)的元素不唯一，不符合映射概念；對應(yīng)④，符合映射概念．其中構(gòu)成映射的是①④．故選：．6．（2019秋?十堰期末）在映射中，，，且，，，則與中的元素對應(yīng)的中的元素為　　A． B． C． D．【解析】解：由映射的對應(yīng)法則，，，故中元素在中對應(yīng)的元素為即故選：．7．（2019?西城區(qū)二模）設(shè)是平面直角坐標(biāo)系到自身的一個(gè)映射，點(diǎn)在映射下的像為點(diǎn)，記作，已知，，其中，2，3，，那么對于任意的正整數(shù)，　　A．存在點(diǎn)，使得 B．不存在點(diǎn)，使得 C．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得 D．存在唯一的點(diǎn)，使得【解析】解：依題意，，，，，，，，，，當(dāng)在正整數(shù)范圍變化時(shí)，為上面四點(diǎn)之一，所以當(dāng)時(shí)，，要使成立，只需讓在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓周上或其內(nèi)部即可．對于選項(xiàng)，存在點(diǎn)，故錯(cuò)，對于選項(xiàng)，存在點(diǎn)且有無數(shù)個(gè)，故錯(cuò)，對于選項(xiàng)，存在，對于，當(dāng)時(shí)，有無數(shù)個(gè)．對比，更全面，故選：．8．（2019秋?山陽縣校級期中）下列四種說法正確的一個(gè)是　　A．表示的是含有的代數(shù)式 B．函數(shù)的值域也就是其定義中的數(shù)集 C．函數(shù)是一種特殊的映射 D．映射是一種特殊的函數(shù)【解析】解：根據(jù)函數(shù)的定義，表示的對應(yīng)法則，可以是圖象或表格，不一定是含有的代數(shù)式，故錯(cuò)；：集合，叫做值域，函數(shù)的值域并不是其定義中的數(shù)集，應(yīng)是的子集，即錯(cuò)誤；：由于集合中的任一一個(gè)元素在中均有且只有一個(gè)元素與其對應(yīng)，函數(shù)是一種特殊的映射； 正確；：而映射中的元素不一定是數(shù)集，故錯(cuò)誤．故選：．9．（2019秋?曲阜市期末）已知集合到的映射，那么集合中元素2在中的象是　　A．2 B．5 C．6 D．8【解析】解：，則，那么集合中元素2在中的象是5故選：．10．（2019秋?渝水區(qū)校級月考）設(shè)集合，是兩個(gè)集合，①，，；②，，；③，，．則上述對應(yīng)法則中，能構(gòu)成到的映射的個(gè)數(shù)為　　A．3 B．2 C．1 D．0【解析】解：對于①，，，由對應(yīng)法則，中的元素0在中沒有對應(yīng)的像．①不能構(gòu)成到的映射；對于②，，，由對應(yīng)法則；中的元素1在中由兩個(gè)不同的對應(yīng)像和1．②不能構(gòu)成到的映射；對于③，，，由對應(yīng)法則，中的任意元素在中都有唯一確定的像．③能構(gòu)成到的映射．能構(gòu)成到的映射的個(gè)數(shù)為1．故選：．11．（2019秋?新余期末）給定映射，，，在映射下的原象為　　A． B． C． D．【解析】解：在映射的作用下的象是設(shè)的原象則，故，故的原象為故選：．12．（2019?湖北校級模擬）設(shè)集合，，從到的對應(yīng)法則不是映射的是　　A． B． C． D．【解析】解：不是映射，按照對應(yīng)法則，集合中的元素6，在后一個(gè)集合中沒有元素與之對應(yīng)，故不滿足映射的定義．、、是映射，因?yàn)榘凑諏?yīng)法則，集合中的每一個(gè)元素，在后一個(gè)集合中都有唯一的一個(gè)元素與之對應(yīng)，故、、滿足映射的定義，故選：．13．（2019秋?金安區(qū)校級月考）已知集合，，，，，則從集合到集合的映射中，滿足的映射有　　個(gè)A．3 B．4 C．5 D．6【解析】解：滿足時(shí)，①，；②，；③，；④，；故選：．14．（2019秋?青羊區(qū)校級月考）若；集合，，到集合，2，的映射中，滿足的個(gè)數(shù)是（a）（b）（c）的映射個(gè)數(shù)為　　A．3 B．4 C．5 D．6【解析】解：集合，，，，2，，映射，則記（a），（b），（c）對應(yīng)的函數(shù)值分別為，，，則滿足條件情況共有：，2，，，3，，，2，，，3，，，1，，，3，；這樣的映射共六個(gè)，故選：．15．（2019春?臨川區(qū)校級期末）若映射，其中，對應(yīng)法則，若實(shí)數(shù)在集合中存在原象，則的取值范圍是　　A． B． C． D．【解析】解：因?yàn)?/span>中元素在中存在原象，則必是函數(shù)的值域中的元素，又，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>，，，故選：．16．（2019秋?赫山區(qū)校級月考）已知集合，，則下列對應(yīng)關(guān)系中，不能看作從到的映射的是　　A． B． C． D．【解析】解：對于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，而，故不能構(gòu)成從到的映射，而，，中對應(yīng)關(guān)系，均能保證集合中任意元素，在集合中都有唯一元素與之對應(yīng)，故能構(gòu)成從到的映射，故選：．17．（2019秋?青羊區(qū)校級月考）在映射中，，，且，，，則與中的元素對應(yīng)的中的元素為　　A． B． C． D．【解析】解：在映射中，，，且，，，設(shè)與中的元素對應(yīng)的中的元素為，則，解得，，與中的元素對應(yīng)的中的元素為，．故選：．二．填空題（共9小題）18．（2019春?晉江市校級期末）在映射中，，且，，則與中的元素對應(yīng)的中的元素為　　．【解析】解：由題意知，，且，，且元素 即元素與中的元素對應(yīng)的中的元素為故答案為．19．（2019秋?臨川區(qū)校級月考）已知映射，，，則在映射的作用下元素的原像為　　．【解析】解：映射，，，在映射下元素對應(yīng)的原像中的元素滿足，，解得，．則在映射下元素的原像為，．故答案為：，．20．（2019秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）已知集合，2，，設(shè)為從集合到集合的函數(shù)，則這樣的函數(shù)一共有　27　個(gè)，其中函數(shù)的值域一共有　　種不同情況．【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)的對應(yīng)可以是“一對一”，也可以是“多對一”，所以：①當(dāng)函數(shù)值為一個(gè)數(shù)時(shí)，函數(shù)共有3個(gè)，函數(shù)的值域有3種情況，②當(dāng)函數(shù)值為兩個(gè)數(shù)時(shí)，函數(shù)共有個(gè)，函數(shù)的值域有3種情況，③當(dāng)函數(shù)值為三個(gè)數(shù)時(shí)，函數(shù)共有個(gè)，函數(shù)的值域有1種情況，故這樣的函數(shù)一共有個(gè)，函數(shù)的值域一共有7種情況，故答案為：27；7．21．（2019秋?吉林期中）在對應(yīng)法則的作用下，中元素與中元素，一一對應(yīng)，則與中元素對應(yīng)的中元素是　　．【解析】解：由對應(yīng)法則可知，，，，；故答案為：．22．（2019秋?東湖區(qū)校級月考）已知集合，，是從到的一個(gè)映射，若，則中的元素3的原象為　2　．【解析】解：由，得，解得．中的元素3的原象為2．故答案為：2．23．（2019秋?金安區(qū)校級月考）已知，2，，，從集合到集合的映射，則與中元素1相對應(yīng)的中的元素是　　；與中元素相對應(yīng)的中的元素是　　【解析】解：當(dāng)時(shí)，，所以中元素1相對應(yīng)的中的元素是；當(dāng)中的元素為時(shí)，令，解得，所以中元素相對應(yīng)的中的元素是4；故答案為：，4．24．（2019秋?海淀區(qū)校級月考）給定集合，2，3，，，映射滿足：①當(dāng)，，時(shí)，；②任取，若，則有（1），（2），，；則稱映射是一個(gè)“優(yōu)映射”．例如：用表1表示的映射是一個(gè)“優(yōu)映射”．表1123231表21234 3  （1）已知表2表示的映射是一個(gè)優(yōu)映射，請把表2補(bǔ)充完整（只需填出一個(gè)滿足條件的映射）；（2）若映射是“優(yōu)映射”，且方程的解恰有6個(gè)，則這樣的“優(yōu)映射”的個(gè)數(shù)是　84　．【解析】解：（1）根據(jù)“優(yōu)映射”的定義可得，． （2）根據(jù)優(yōu)映射的定義可知：（1），，則有（1），（2），，，且映射是“優(yōu)映射”，且方程的解恰有6個(gè)，故有故答案為：，84．25．（2020秋?東湖區(qū)校級月考）已知，2，3，，，，從集合到集合的映射，則中元素的原像為　7　．【解析】解：從集合到集合的映射，令，解得，中元素的原像為7，故答案為：7．26．（2019秋?碑林區(qū)校級月考）映射，若在的作用下中元素與中元素對應(yīng)，則的中元素在集合中的原象是　　．【解析】解：設(shè)中元素為，由題意可得：，，中的元素為．故答案為：．三．解答題（共1小題）27．（2019秋?西城區(qū)校級期中）將所有平面向量組成的集合記作，是從到的映射，記作或，，，其中，，，都是實(shí)數(shù)．定義映射的模為：在的條件下的最大值記做．若存在非零向量，及實(shí)數(shù)使得，則稱為的一個(gè)特征值．（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）如果，，，計(jì)算的特征值，并求相應(yīng)的；（Ⅲ）試找出一個(gè)映射，滿足以下兩個(gè)條件：①有唯一特征值，②．（不需證明）【解析】解：（Ⅰ）由于此時(shí)，又因?yàn)槭窃?/span>的條件下時(shí)取最大值），所以此時(shí)有；（Ⅱ）由，，，，可得，解此方程組可得：，從而．當(dāng)時(shí)，解方程組，此時(shí)這兩個(gè)方程是同一個(gè)方程，所以此時(shí)方程有無窮多個(gè)解，為，其中且．當(dāng)時(shí)，同理可得相應(yīng)的，其中且．（Ⅲ）由方程組，可得，，從而向量，與，平行，從而有，，，應(yīng)滿足：；當(dāng)  時(shí)，有唯一的特征值，且，故．