?專題20 構(gòu)造模型、應(yīng)用問(wèn)題數(shù)學(xué)化
【壓軸綜述】
最近披露的高考信息已經(jīng)明確，2020年高考考查的重點(diǎn)為：
考向1：基礎(chǔ)性：強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)扎實(shí)
高考關(guān)注主干內(nèi)容，關(guān)注今后生活、學(xué)習(xí)和工作所必須具備、不可或缺的知識(shí)、能力和素養(yǎng)，因此要求學(xué)生對(duì)這一部分內(nèi)容的掌握扎實(shí)牢靠，只有根深方能葉茂.
考向2：綜合性：強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通
高考要求學(xué)生能夠觸類旁通、融會(huì)貫通，既包括同一層面、橫向的融會(huì)貫通，也包括不同層面之間的、縱向的融會(huì)貫通.
以必備知識(shí)為例，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間不是割裂的，而是處于整個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)之中.必備知識(shí)與關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值之間緊密相連，形成具備內(nèi)在邏輯聯(lián)系的整體網(wǎng)絡(luò).
考向3：應(yīng)用性：強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用
高考命題關(guān)注與國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步、生產(chǎn)生活實(shí)際等緊密相關(guān)的內(nèi)容.避免考試和生活學(xué)習(xí)脫節(jié)，堅(jiān)持應(yīng)用導(dǎo)向，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)、能力和素養(yǎng)去解決實(shí)際問(wèn)題.
考向4：創(chuàng)新性：強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維
高考關(guān)注與創(chuàng)新相關(guān)度高的能力和素養(yǎng)，比如獨(dú)立思考能力、發(fā)散思維、逆向思維等；
考查學(xué)生敏銳發(fā)覺(jué)舊事物缺陷、捕捉新事物萌芽的能力；
考查學(xué)生進(jìn)行新穎推測(cè)和設(shè)想并周密論證的能力；
考查學(xué)生探索新方法積極主動(dòng)解決問(wèn)題的能力，鼓勵(lì)學(xué)生勇于擺脫思想的束縛，大膽創(chuàng)新.
考向5：2021年命題如何體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性？
試卷中應(yīng)包含一定比例的基礎(chǔ)性試題，引導(dǎo)學(xué)生打牢知識(shí)基礎(chǔ)；
試題之間、考點(diǎn)之間、學(xué)科之間相互關(guān)聯(lián)，交織成網(wǎng)，對(duì)學(xué)生素質(zhì)進(jìn)行全面考查；
使用貼近時(shí)代、貼近社會(huì)、貼近生活的素材，鼓勵(lì)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，關(guān)心日常生活、生產(chǎn)活動(dòng)中蘊(yùn)含的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)課堂所學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用價(jià)值；
合理創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置新穎的試題呈現(xiàn)方式和設(shè)問(wèn)方式，促使學(xué)生主動(dòng)思考，善于發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論.
重點(diǎn)提示：高考數(shù)學(xué)的必備知識(shí)包括，預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾?何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)5 個(gè)主題.高考數(shù)學(xué)將其整合，按邏輯體系將分散在必修課程和選擇性必修課程中相互銜接的內(nèi)容組成有機(jī)的結(jié)構(gòu)體系.在2020復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，大家一定要避免將高考評(píng)價(jià)體系中的考查要求與具體試題機(jī)械綁定.比如，新高考導(dǎo)向重點(diǎn)考查學(xué)科核心素養(yǎng)，這一考查目標(biāo)應(yīng)該通過(guò)試卷的整體設(shè)計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)，而不是機(jī)械地落實(shí)到某一道試題或某一類試題上.
下面，圍繞2020高考數(shù)學(xué)試題如何體現(xiàn)內(nèi)容改革方向、2021年命題趨勢(shì)有哪些、備考注意事項(xiàng)是什么，來(lái)為大家具體解讀！
理科考生特別要注意，2021年高考會(huì)越來(lái)越活，就拿2020年高考數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，算人的身高，就是把數(shù)學(xué)考活用，今年高考更加會(huì)把高考知識(shí)點(diǎn)活用起來(lái)，比如用在建設(shè)方面，高速或者高鐵建設(shè)問(wèn)題，在規(guī)劃一條高鐵時(shí)遇見(jiàn)一座山，讓考生計(jì)算成本，看用打洞還是高架，還是避開等，讓成本最低.讓考生去算.
對(duì)于物理，生物，化學(xué)，地理等學(xué)科來(lái)說(shuō)，也會(huì)像數(shù)學(xué)一樣越來(lái)越厲害多變，這樣越來(lái)考生只會(huì)刷題已經(jīng)不能拿到高分，要懂得知識(shí)點(diǎn)的活用，考試中心命題老師提示，考生要把高考的知識(shí)點(diǎn)梳理清楚，要知道什么是難點(diǎn)，什么是易錯(cuò)點(diǎn)，什么是失分點(diǎn)等，只要把知識(shí)點(diǎn)梳理清楚那么這是也就很容易知道了，知識(shí)點(diǎn)也會(huì)活用了.知識(shí)點(diǎn)梳理好了再刷題，這樣錯(cuò)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)不會(huì)考錯(cuò)第二次.
本專題精選高考及高三模擬題中的應(yīng)用問(wèn)題，梳理出應(yīng)用問(wèn)題的主要考向（不等式、解三角形、數(shù)列、體積與面積、概率體積、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等），引導(dǎo)師生精準(zhǔn)復(fù)習(xí)備考.
【壓軸典例】
例1.(2020·全國(guó)卷Ⅱ文科·T4 )理科·T3)在新冠肺炎疫情防控期間,某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù),每天能完成1 200份訂單的配貨,由于訂單量大幅增加,導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難,許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨,預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1 600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨,為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者 (　　)
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
【解析】選B.(1 600+500-1 200)÷50=18(名).

例2.(2020·新高考全國(guó)Ⅰ卷)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù),基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln 2≈0.69) (　　)
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
【解析】選B.由題意知3.28=1+6r,解得r=0.38,所以I(t)=e0.38t,因?yàn)镮(t)=2I(0),所以e0.38t=2,所以0.38t=ln 2≈0.69,解得t≈1.8.
例3.(2020·全國(guó)卷Ⅱ理科·T12)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列a1a2…an…滿足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整數(shù)m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,則稱其為0-1周期序列,并稱滿足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo),下列周期為5的0-1序列中,滿足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是 (　　)
A.11010… B.11011… C.10001… D.11001…
【解析】選C.由ai+m=ai知,序列ai的周期為m,由已知,m=5,C(k)=aiai+k(k=1,2,3,4),對(duì)于選項(xiàng)A,C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+0+0)=≤,
C(2)=aiai+2=(a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7)=(0+1+0+1+0)=,不滿足;對(duì)于選項(xiàng)B,
C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+1+1)=,不滿足;對(duì)于選項(xiàng)D,
C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+0+1)=,不滿足.
例4.(2020·新高考全國(guó)Ⅰ卷)（多選題）信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念,設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),pi=1,定義X的信息熵H(X)=-pilog2pi, (　　)
A.若n=1,則H(X)=0 B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大
C.若pi=(i=1,2,…,n),則H(X)隨著n的增大而增大
D.若n=2m,隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),
則H(X)≤H(Y)
【解析】選AC.當(dāng)n=1時(shí),由題意知P(X=1)=p1=1,所以H(X)=-p1log2p1=0,故A項(xiàng)正確;當(dāng)n=2時(shí),P(X=1)=p1,P(X=2)=p2,p1+p2=1,所以H(X)=-p1log2p1-p2log2p2,當(dāng)p1=時(shí),p2=,易得H(X)=1,當(dāng)p1=時(shí),p2=,可得:H(X)=-log2-log2=2-log23p1log2p1+p2mlog2p2m,
同理:(p2+p2m-1)log2(p2+
p2m-1)>p2log2p2+p2m-1log2p2m-1,…,(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)>pmlog2pm+pm+1log2pm+1.
所以(p1+p2m)log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1)+…+(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)>(p1log2p1+p2mlog2p2m)+(p2log2p2+p2m-1log2p2m-1)+…+(pmlog2pm+pm+1log2pm+1),即-H(Y)>-H(X),所以H(X)>H(Y),故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
例5.(2020·新高考全國(guó)Ⅰ卷)某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示,O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn),B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn),四邊形DEFG為矩形,BC⊥DG,垂足為C,tan∠ODC=,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直線DE和EF的距離均為7 cm,圓孔半徑為1 cm,則圖中陰影部分的面積為　　　　cm2.?

【解析】由題意得A到DG的距離與A到FG的距離相等,均為5 cm,所以∠AOH=45°,設(shè)O到DE的距離為5t cm,則由tan∠ODC=得點(diǎn)O到DG的距離為3t cm,
則OAcos 45°+5t=7,OAsin 45°+3t=5,因此2t=2,t=1,OA=2,OH=4,所以圖中陰影部分的面積為OA2·+×4×2-π=π+4(cm2).

例6.(2020·江蘇高考·T17)某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示:谷底O在水平線MN上,橋AB與MN平行,OO'為鉛垂線(O'在AB上),經(jīng)測(cè)量,左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1(米)與D到OO'的距離a(米)之間滿足關(guān)系式h1=a2;右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2(米)與F到OO'的距離b(米)之間滿足關(guān)系式h2=-b3+6b.已知點(diǎn)B到OO'的距離為40米.
(1)求橋AB的長(zhǎng)度;
(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO'的橋墩CD和EF.且CE為80米,其中C,E在AB上(不包括端點(diǎn)).橋墩EF每米造價(jià)k(萬(wàn)元),橋墩CD每米造價(jià)k(萬(wàn)元)(k>0),問(wèn)O'E為多少米時(shí),橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？

【解析】(1)過(guò)A,B分別作MN的垂線,垂足為A',B',則AA'=BB'=-×403+6×40=160(米).
令a2=160,得a=80,所以AO'=80,AB=AO'+BO'=80+40=120(米).
(2)設(shè)O'E=x,則CO'=80-x,由,得0

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