縱觀近幾年的高考命題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題，證明不等式、研究函數(shù)的零點(diǎn)等，是高考考查的“高頻點(diǎn)”問(wèn)題，常常出現(xiàn)在“壓軸題”的位置，特別是含參數(shù)問(wèn)題，離不開(kāi)函數(shù)單調(diào)性研究.本專(zhuān)題就含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，進(jìn)行專(zhuān)題探討，通過(guò)例題說(shuō)明此類(lèi)問(wèn)題解答規(guī)律與方法.
1.討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況．大多數(shù)情況下，這類(lèi)問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論：
(1)在能夠通過(guò)因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)，依據(jù)根的大小進(jìn)行分類(lèi)討論．
(2)在不能通過(guò)因式分解求出根的情況時(shí)，根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類(lèi)討論．
2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論．討論的標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定義域內(nèi)；(3)若在定義域內(nèi)有兩個(gè)根，比較兩個(gè)根的大?。?br>3.討論函數(shù)f(x)單調(diào)性的方法步驟
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域．
(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根．
(3)利用f′(x)＝0的根將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論f′(x)的正負(fù)，由符號(hào)確定f(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性．
4.由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
(1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．
(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．
(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，
令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．
【壓軸典例】
例1.(2020·全國(guó)卷Ⅱ文科·T21)已知函數(shù)f(x)=2ln x+1.
(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范圍;
(2)設(shè)a>0時(shí),討論函數(shù)g(x)=的單調(diào)性.
例2.(2020·全國(guó)卷Ⅲ文科·T20)已知函數(shù)f(x)=x3-kx+k2.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有三個(gè)零點(diǎn),求k的取值范圍.
例3.(2020·全國(guó)卷Ⅰ高考理科·T21)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.
(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥x3+1,求a的取值范圍.
例4.(2020·全國(guó)卷Ⅱ理科·T21)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.
(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性; (2)證明:|f(x)|≤;
(3)設(shè)n∈N*,證明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
例5.（2019·全國(guó)高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.
例6.（2019·全國(guó)高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說(shuō)明理由.
例8．【湖北省宜昌市2020-2021學(xué)年高三】已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且，求證：．
例9．【江西宜春市2021屆高三】已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求的最值；
（2）已知，.
①證明：有最小值；②設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域.
例10.（2018·全國(guó)高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【壓軸訓(xùn)練】
1．（2021·江西上饒市·高三）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·浙江紹興市·高三期末）已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全國(guó)高三零模）已知且且且，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·石嘴山市第三中學(xué)高三）若曲線在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．B．，(-1，0)
C．D．
5．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值是（ ）
A．B．0C．1D．2
6．（2020·四川高考模擬）若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．（2019·湖北黃岡中學(xué)高考）已知函數(shù)（為大于1的整數(shù)），若與的值域相同，則的最小值是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，）
A．5B．6C．7D．8
8．【安徽省馬鞍山市2020-2021學(xué)年高三】已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，
函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，若，求的單調(diào)區(qū)間;
（2）若在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
9．【安徽省蕪湖市2020-2021學(xué)年高三】已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
10．【寧夏平羅中學(xué)2021屆高三】已知函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；
（2）（i）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（ii）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
11．【安徽省皖西南聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三】已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
（2）證明：對(duì)恒成立．
12.【安徽省淮南市2020-2021學(xué)年高三】己知函數(shù)．
（Ⅰ）若在R上是減函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)．
13．【浙江省湖州市2020-2021學(xué)年高三】已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)且時(shí)，證明：；
14.（2020·山東高考模擬）已知函數(shù)f（x）＝ax+lnx（a∈R），g（x）＝x2emx（m∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性及最值；
（2）若a＞0，且對(duì)?x1，x2∈[0，2]，f（x1+1）≥g（x2）+a﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
15．（2020·貴州高考模擬）已知函數(shù)f（x）=ax2+（a-2）lnx+1（a∈R）．
（1）若函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于直線y=4x+3，求a的值；
（2）令c（x）=f（x）+（3-a）lnx+2a，討論c（x）的單調(diào)性；
（3）a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的所有點(diǎn)都落在區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
16．（2020·安徽高考模擬）已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，求證：.

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