專題18   建立坐標(biāo)系“形題數(shù)解”【壓軸綜述】1．?dāng)?shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)．2．運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：（1）等價性原則．在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞．有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng)．（2）雙方性原則．既要進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯．（3）簡單性原則．不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合．具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線．3．所謂“形題數(shù)解”，主要是考慮遇到“形”的問題，可以通過建立坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)關(guān)系式，利用函數(shù)觀點解題；也可以直接利用幾何元素的關(guān)系，通過給出假設(shè)量，建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)觀點或利用不等式求解.本專題通過例題重點說明說明“形題數(shù)解”這類問題的方法與技巧.【壓軸典例】例1.(2020·全國卷Ⅰ高考理科·T18)如圖,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點,PO=DO.(1)證明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.例2.(2020·江蘇高考·T18)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若橢圓E:+=1的左、右焦點分別為F1,F2,點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi),AF2⊥F1F2,直線AF1與橢圓E相交于另一點B.(1)求△AF1F2的周長;(2)在x軸上任取一點P,直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點Q,求·的最小值;(3)設(shè)點M在橢圓E上,記△OAB與△MAB的面積分別是S1,S2,若S2=3S1,求M的坐標(biāo).例3.(2020·全國卷Ⅲ理科·T19)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)證明:點C1在平面AEF內(nèi);(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.例4.(2020·新高考全國Ⅰ卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD,設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點,求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.例5. （2019·全國高考真題）已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（    ）A． B． C． D．例6．（2020北京高三模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分別是邊AB，CD的中點，現(xiàn)將△ABC沿著對角線AC翻折，則直線EF與平面ACD所成角的正切值最大值為(    )A． B． C． D．例7. （2019·北京高考真題）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是A．① B．② C．①② D．①②③例8.（福建省泉州市2020屆高三）類比圓的內(nèi)接四邊形的概念，可得球的內(nèi)接四面體的概念.已知球的一個內(nèi)接四面體中，，過球心，若該四面體的體積為1，且，則球的表面積的最小值為______.例9.(2020·天津高考·T17)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,點D,E分別在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M為棱A1B1的中點.(1)求證:C1M⊥B1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.例10.(2020·江蘇高考·T22)在三棱錐A-BCD中,已知CB=CD=,BD=2,O為BD的中點,AO⊥平面BCD,AO=2,E為AC的中點.(1)求直線AB與DE所成角的余弦值;(2)若點F在BC上,滿足BF=BC,設(shè)二面角F-DE-C的大小為θ,求sin θ的值.【壓軸訓(xùn)練】1．（2021·北京市育英學(xué)校高三）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為8，點H在棱AA1上，且HA1＝2，在側(cè)面BCC1B1內(nèi)作邊長為2的正方形EFGC1，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動點，且點P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長，則當(dāng)點P在側(cè)面BCC1B1運動時，的最小值是（ ）A．87 B．88 C．89 D．902．（2020·浙江杭州市·高三）如圖所示，在正方體中，點是棱的中點，點是平面內(nèi)的動點，若直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角，則點的軌跡是（    ）A．圓 B．橢圓C．直線 D．射線3．（2018·天津高考真題（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為 （   ）A． B． C． D．4．（2020·江西高三）已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點，PA=PB=PC=2，，點B在AC上的射影為D，則三棱錐體積的最大值為（   ）A． B． C． D．5．（2021·全國高三課時練習(xí)）已知正方體的棱長為2，，中點分別為，，若過的平面截該正方體所得的截面是一個五邊形，則該五邊形周長的最大值為（    ）A． B． C． D．6．（2021·四川遂寧市·高三）已知正方體內(nèi)切球的表面積為，是空間中任意一點：①若點在線段上運動，則始終有；②若是棱中點，則直線與是相交直線；③ 若點在線段上運動，三棱錐體積為定值；④為中點，過點且與平面平行的正方體的截面面積為⑤若點在線段上運動，則的最小值為以上命題為真命題的個數(shù)為（    ）A． B． C． D．7．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知長方體的高，則當(dāng)最大時，二面角的余弦值為（    ）A． B． C． D．8.（2020江蘇省連云港市錦屏高級中學(xué)）如圖所示，在平行四邊形中，，，是邊的中點，，若，則_______．9.（2020河北高三）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為______．10.（2020湖州市菱湖中學(xué)高三）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點.設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為    . 11．（2020遼寧鞍山一中高三）已知三棱錐滿足，則該三棱錐體積的最大值為________.12.（2019·北京高考真題）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．13．（2020天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三）如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直， ，,點在線段上.(Ⅰ) 若點為的中點，求證：平面； (Ⅱ) 求證：平面平面；(Ⅲ) 當(dāng)平面與平面所成二面角的余弦值為時，求的長.14．（2020山東高三）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．15.（2020河北邯鄲高三）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．

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