專題16  幾何體的幾何特征與點線面關(guān)系【壓軸綜述】在立體幾何中，判定和證明空間的線線、線面以及面面之間的位置關(guān)系(主要是平行與垂直的位置關(guān)系)，計算空間圖形中的幾何量(主要是角與距離)是兩類基本問題．正確揭示空間圖形與平面圖形的聯(lián)系，并有效地實施空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換是分析和解決這兩類問題的關(guān)鍵．要善于將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題：這一步要求我們具備較強的空間想象能力，對幾何體的結(jié)構(gòu)特征要牢牢抓住.立體幾何壓軸題多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，往往與不等式、導數(shù)、三角函數(shù)等相結(jié)合，具有一定的綜合性.其中折疊問題、幾何體的切接及截面問題、角的計算問題等比較多見.一.折疊問題最重要的是找到折疊之前與折疊之后不變量，這是兩個圖形的橋梁，再結(jié)合新圖形的新特征處理.二.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設(shè)出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角.三.幾何體的切接、截面問題：(1)求解與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑等.通過作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．這樣才能進一步將空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的問題；(2)轉(zhuǎn)化后如何算？因為已經(jīng)是平面內(nèi)的問題，那么方法就比較多了，如三角函數(shù)法、均值不等式、坐標法，甚至導數(shù)都是可以考慮使用的工具．四.角的計算問題1. 二面角的平面角及其求法有：定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依據(jù)題目選擇方法求出結(jié)果．2.求異面直線所成角的步驟:一平移,將兩條異面直線平移成相交直線．二定角,根據(jù)異面直線所成角的定義找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函數(shù)求角．四結(jié)論．3.線面角的計算：（1）利用幾何法：原則上先利用圖形“找線面角”或者遵循“一做----二證----三計算”. （2）利用向量法求線面角的方法(i分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(ii)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其補角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.下面通過例題說明應對這類問題的方法與技巧.【壓軸典例】例1.(2020·全國卷Ⅰ高考文科·T3 理科·T3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐,以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為????????????? (　　)A. B. C. D.例2.(2020·全國卷Ⅰ高考文科·T12理科·T10 )已知A,B,C為球O的球面上的三個點,☉O1為△ABC的外接圓,若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為????????????? (　　)A.64π B.48π C.36π D.32π例3. (2020·全國卷Ⅱ文科·T11理科·T10)已知△ABC是面積為的等邊三角形,且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16π,則O到平面ABC的距離為????????????? (　　)A.    B.      C.1     D. 例4.(2020·全國卷Ⅱ理科·T7)如圖是一個多面體的三視圖,這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應的點為M,在俯視圖中對應的點為N,則該端點在側(cè)視圖中對應的點為????????????? (　　)A.E      B.F        C.G     D.H5.(2020·全國卷Ⅲ理科·T8文科·T9)如圖為某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積是????????????? (　　)A.6+4   B.4+4     C.6+2    D.4+2例6.(2020·新高考全國Ⅰ卷)日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面,在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯40°,則晷針與點A處水平面所成的角為????????????? (　　)A.20°　　　 B.40°　　 C.50°　　 D.90°例7.(2020·浙江高考·T6)已知空間中不過同一點的三條直線m,n,l,則“m,n,l在同一平面”是“m,n,l兩兩相交”的????????????? (　　)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件  C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件例8.(2020·全國卷Ⅱ文理科·T16)設(shè)有下列四個命題:p1:兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).p2:過空間中任意三點有且僅有一個平面.p3:若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行.p4:若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號是　　　　　. ①p1∧p4  ②p1∧p2    ③p2∨p3   ④p3∨p4例8.（2020·浙江寧波高三）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，是棱上的點（不含端點），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（  ）A． B．C． D．例9．（2021·湖南長沙高三）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點為的中點，則下列判斷正確的是（    ）A．與所成的角為                B．平面C．∥平面                       D．例10．（2021·江蘇省新海高級中學高三）如圖直角梯形中，，，，為中點．以為折痕把折起，使點到達點的位置，且則（    ）A．平面平面 B．C．二面角的大小為 D．與平面所成角的正切值為 例11.(2020·全國卷Ⅰ高考文科·T19)如圖,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點,∠APC=90°.(1)證明:平面PAB⊥平面PAC;(2)設(shè)DO=,圓錐的側(cè)面積為π,求三棱錐P-ABC的體積.例12.(2020·全國卷Ⅱ文科·T20)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點,P為AM上一點.過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心,若AO=AB=6,AO∥平面EB1C1F,且∠MPN=,求四棱錐B-EB1C1F的體積.例13．（2021·安徽高三）如圖，在直四棱柱中，底面是梯形，，．（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點E，使面．若存在，確定點E的位置并證明；若不存在，請說明理由． 【壓軸訓練】1．（2021·寧夏長慶高級中學高三）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列正確的個數(shù)為（    ）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·浙江高三月考）在矩形中，，，E、F分別為邊、上的點，且，現(xiàn)將沿直線折成，使得點在平面上的射影在四邊形內(nèi)（不含邊界），設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角為，直線與直線所成角為，則（    ）A． B． C． D．3．（2021·重慶高三）《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，在如圖所示的塹堵中，，，，則在塹堵中截掉陽馬后的幾何體的外接球的表面積是（    ）A． B． C． D．4．（2018屆湖南省郴州市二中）已知三棱錐的底面是直角三角形，⊥，，⊥平面，是的中點．若此三棱錐的體積為，則異面直線與所成角的大小為（    ）A． 45°    B． 90°    C． 60°    D． 30°5.（2020湖北高三月考）如圖，、分別是三棱錐的棱、的中點，，，，則異面直線與所成的角為（    ）A． B． C． D．6．（2020廣東廣雅中學高三）在正方體中，點是四邊形的中心，關(guān)于直線，下列說法正確的是（    ）A． B．C．平面 D．平面7．（2020安徽高三）如圖，在正方體中，是棱上動點，下列說法正確的是（    ）A．對任意動點，在平面內(nèi)不存在與平面平行的直線B．對任意動點，在平面內(nèi)存在與平面垂直的直線C．當點從運動到的過程中，與平面所成的角變大D．當點從運動到的過程中，點到平面的距離逐漸變小8．（2020·江蘇鎮(zhèn)江高三期中）在直三棱柱中，，，分別是的中點，在線段上，則下面說法中正確的有（    ）A．平面B．若是上的中點，則C．直線與平面所成角的正弦值為D．直線與直線所成角最小時，線段長為9．（2021·江蘇高三期末）如圖，正方體的棱長為1，E，F是線段上的兩個動點，且，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A． B．平面ABCDC．的面積與的面積相等 D．三棱錐的體積為定值10．如圖，正方體的棱長為1，過點作平面的垂線，垂足為點，有下面三個結(jié)論：①點是的中心；②垂直于平面；③直線與直線所成的角是90°.其中正確結(jié)論的序號是_______.11．《九章算術(shù)》中的“邪田”意為直角梯形，上、下底稱為畔，高稱為正廣，非高腰邊稱為邪.在四棱錐 中，底面 為邪田，兩畔分別為1，3，正廣 為 ， 平面，則邪田的邪長為_______；邪所在直線與平面 所成角的大小為________.12.已知球內(nèi)接三棱錐中，平面ABC，為等邊三角形，且邊長為，又球的體積為，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為________.13．（2021·安徽高三開學考試）如圖，在正方體中.（1）求證：平面平面；（2）求證：平面.14．（2021·全國高三專題練習）如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）設(shè)．（1）若直線與平面所成的角為，求線段的長；（2）在線段上是否存在一個點，使得點到點，，，的距離都相等？說明理由．

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