數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理測試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．某學(xué)生在書店發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中的1本，則購買方法有
A．3種B．6種C．7種D．9種
【答案】C
【解析】分3類，買1本書，買2本書，買3本書，各類的方法依次為3種，3種，1種，故購買方法有3＋3＋1＝7（種）．
2．現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為
A．7B．12C．64D．81
【答案】B
【解析】要完成配套，分兩步：第1步，選上衣，從4件上衣中任選一件，有4種不同選法；第2步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同選法．故共有4×3＝12（種）不同的配法．
3．如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種．
A．64B．98C．108D．112
【答案】C
【解析】A有4種涂法，B有3種涂法，C有3種涂法，D有3種涂法，共有4×3×3×3＝108（種）涂法．
4．若x∈{1，2，3}，y∈{5，7，9}，則x·y的不同值個(gè)數(shù)是
A．2B．6C．9D．8
【答案】C
【解析】求積x·y需分兩步取值：第1步，x的取值有3種；第2步，y的取值有3種，故有3×3＝9個(gè)不同的值．
5．已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為
A．40B．16C．13D．10
【答案】C
【解析】分兩類：第1類，直線a與直線b上8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面；第2類，直線b與直線a上5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面．故可以確定8＋5＝13個(gè)不同的平面．
6．從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法有
A．24種B．18種C．12種D．6種
【答案】B
【解析】法一：（直接法）若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2×1＝6種不同的種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上均有3×2×1＝6種不同的種植方法．故共有6×3＝18種不同的種植方法．
法二：（間接法）從4種蔬菜中選出3種種在三塊地上，有4×3×2＝24種方法，其中不種黃瓜有3×2×1＝6種方法，故共有24－6＝18種不同的種植方法．
7．從集合{1，2，3，4，5}中任取2個(gè)不同的數(shù)，作為直線Ax＋By＝0的系數(shù)，則最多形成不同的直線的條數(shù)為
A．18B．20C．25D．10
【答案】A
【解析】第一步，給A賦值有5種選擇，
第二步，給B賦有4種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：5×4＝20（種）．
又因?yàn)锳＝1，B＝2，與A＝2，B＝4表示同一直線．A＝2，B＝1與A＝4，B＝2，也表示同一直線．
∴形成不同的直線最多的條數(shù)為20－2＝18．
8．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有
A．30種B．50種C．60種D．90種
【答案】B
【解析】①甲同學(xué)選擇牛，乙有2種，丙有10種，選法有1×2×10＝20種，
②甲同學(xué)選擇馬，乙有3種，丙有10種，選法有1×3×10＝30種，
所以總共有20+30＝50種．故選B．
9．我國古代數(shù)學(xué)名著《續(xù)古摘奇算法》（楊輝）一書中有關(guān)于三階幻方的問題：將1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填入3×3的方格中，使得每一行，每一列及對角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等（如圖所示），我們規(guī)定：只要兩個(gè)幻方的對應(yīng)位置（如每行第一列的方格）中的數(shù)字不全相同，就稱為不同的幻方，那么所有不同的三階幻方的個(gè)數(shù)是
A．9B．8C．6D．4
【答案】B
【解析】三階幻方，是最簡單的幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9．其中有8種排法492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276；816、357、492；618、753、294；672、159、834；834、159、672．
故選B．
10．現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，下列說法正確的有
A．從中任選一幅畫布置房間，有14種不同的選法
B．從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有70種不同的選法
C．從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法
D．要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有12種不同的掛法
【答案】ABC
【解析】對于A：分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋2十7＝14（種）不同的選法，A正確；
對于B：分為三步：國畫、油畫、水彩畫分別有5種、2種、7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×2×7＝70（種）不同的選法，B正確；
對于C：分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×2＝10（種）不同的選法；
第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35（種）不同的選法；
第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14（種）不同的選法，所以共有10＋35＋14＝59（種）不同的選法，C正確；
對于D：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N＝3×2＝6．D錯(cuò)誤，故選ABC．
11．如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致電路不通．今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有________種．
【答案】13
【解析】按照焊點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：
第一類：脫落一個(gè)焊點(diǎn)，只能是脫落1或4，有2種情況；
第二類：脫落兩個(gè)焊點(diǎn)：有（1，4），（2，3），（1，2），（1，3），（4，2），（4，3）共有6種情況；
第三類：脫落三個(gè)焊點(diǎn)：有（1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）共有4種情況；
第四類：脫落四個(gè)焊點(diǎn)，只有（1，2，3，4）一種情況．
于是脫落焊點(diǎn)的情況共有2＋6＋4＋1＝13（種）．
12．將紅、黃、綠、黑4種不同的顏色分別涂入圖中的5個(gè)區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏色都不相同，則有________種不同的涂色方法．
【答案】72
【解析】給出區(qū)域標(biāo)記號A，B，C，D，E（如圖所示），則A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種．但E區(qū)域的涂色依賴于B區(qū)域與D區(qū)域涂的顏色，如果B區(qū)域與D區(qū)域涂的顏色相同，則有2種涂色方法；如果B區(qū)域與D區(qū)域所涂的顏色不相同，則只有1種涂色方法．因此應(yīng)先分類后分步．
（1）當(dāng)B與D同色時(shí)，有4×3×2×2＝48（種）．
（2）當(dāng)B與D不同色時(shí)，有4×3×2×1×1＝24（種）．
故共有48＋24＝72（種）不同的涂色方法．
13．如圖所示，由連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而組成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)．
【答案】40
【解析】滿足條件的有兩類：
第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有m1＝8個(gè)；
第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有m2＝8×4＝32個(gè)，所以滿足條件的三角形共有8＋32＝40個(gè)．
14．如圖所示，要給梓、耕、教、育四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？
【解析】梓、耕、教、育四個(gè)區(qū)域依次涂色，分四步完成：
第1步，涂梓區(qū)域，有3種選擇；
第2步，涂耕區(qū)域，有2種選擇；
第3步，涂教區(qū)域，由于它與三、維區(qū)域顏色不同，有1種選擇；
第4步，涂育區(qū)域，由于它與維、設(shè)區(qū)域顏色不同，有1種選擇．
所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3×2×1×1＝6種不同的涂色方法．
15．若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0，1，2，3，5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？
【解析】分兩類完成：
第1類，當(dāng)A或B中有一個(gè)為0時(shí)，表示的直線為x＝0或y＝0，共2條．
第2類，當(dāng)A，B不為0時(shí)，直線Ax＋By＝0被確定需分兩步完成：
第1步，確定A的值，有4種不同的方法；
第2步，確定B的值，有3種不同的方法．
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共可確定4×3＝12條直線．
由分類加法計(jì)數(shù)原理知，方程所表示的不同直線的條數(shù)共有2＋12＝14．
【規(guī)律方法】在用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理處理問題時(shí)，首先要分清是“分類”還是“分步”，其次要清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在“分類”時(shí)要遵循“不重”“不漏”的原則，在“分步”時(shí)要正確設(shè)計(jì)“分步”的程序，注意“步”與“步”之間的連續(xù)性．
16．用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，
（1）可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號碼？
（2）可以排成多少個(gè)三位數(shù)？
（3）可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？
【解析】（1）三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125（種）．
（2）三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100（種）．
（3）被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12（種）排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18（種）排法．因而有12＋18＝30（種）排法．即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．A
B
C
D
8
3
4
1
5
9
6
7
2

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6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

版本：人教A版 (2019)

年級：選擇性必修第三冊

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