二輪大題專練18—立體幾何（折疊問題）1．如圖①，在長方形中，，，為的中點，為線段（端點除外）上一動點．現(xiàn)將沿折起（如圖②，使得平面平面．（1）判斷是否與垂直，并說明理由．（2）圖②中，在平面內(nèi)過點作，為垂足，求的取值范圍．解：（1）與不垂直．證明過程如下：若，，，、平面，平面，，，平面平面，平面平面，平面，平面，，又，、平面，平面，，在翻折后的中，這是不可能的，故與不垂直．（2）設(shè)，，則，，平面平面，平面平面，平面，平面，，由勾股定理知，，，，，化簡整理得，，在上單調(diào)遞增，，故的取值范圍為，．2．如圖1，已知菱形的對角線，交于點，點為的中點．將三角形沿線段折起到的位置，如圖2所示．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）試問平面與平面所成的二面角是否為，如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（Ⅲ）在線段，上是否分別存在點，，使得平面平面？若存在，請指出點，的位置，并證明；若不存在，請說明理由．解：（Ⅰ）證明：折疊前，四邊形是菱形，，折疊后，，，，平面，平面，．（Ⅱ）解：平面與平面所成的二面角為．證明如下：四邊形是菱形，，，又點為的中點，，，四邊形是平行四邊形，，由（Ⅰ）得，平面，平面，平面，平面平面，平面與平面所成的二面角為．（Ⅲ）解：在線段，上是分別存在點，，且，分別是，的中點，使得平面平面．證明如下：如圖，分別取，的中點，，連結(jié)，，，，四邊形是平行四邊形，，，在中，，分別是，的中點，，、分別是、的中點，四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形，，又，平面，，，平面，平面平面．3．如圖1，在直角梯形中，，，，，，點在上，且，將三角形沿線段折起到的位置，（如圖．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）在線段上是否存在點，使平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（Ⅰ）證明：取的中點，連接，，在中，由余弦定理可得，，所以，因為，，所以，又，面，面，所以面，又面，所以面面；（Ⅱ）存在，滿足，使得平面．證明：取的三等分點，且，連接，則，且，所以四邊形為平行四邊形，可得，又，所以，又，面，面，所以面，同理可得面，又，所以面面，面，可得面．4．如圖，在等腰梯形中，，，，，，分別為，，的中點，以為折痕將折起，使點到達(dá)點位置平面．（1）若為直線上任意一點，證明：平面；（2）若直線與所成角為，求三棱錐的表面積．解：（1）證明：連接．，，分別是，，的中點，，平面，平面，平面，同理平面，平面，平面，，平面平面，平面，平面．（2）解：在等腰梯形中，作于，于，由題意得，，，，與互補(bǔ)，，在中，，，，，為銳角，為直線與所成角，，為等腰直角三角形，三棱錐的表面積為：．5．如圖，已知圖1中是等腰三角形，，，分別是，的中點，沿著把折起到△，使得平面平面，圖2中，，為的中點，連接．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求四棱錐的側(cè)面積．（Ⅰ）證明：取中點，連接，，由點、分別是，的中點，得，，又，．所以四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因為是等腰三角形，，，，所以，所以是等腰直角三角形，且．分別取、的中點、，連接，，，從而有．又因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，又翻折后，，在△中，，四棱錐的側(cè)面積為：．6．如圖，平行四邊形中，，，分別為，的中點．以為折痕把四邊形折起，使點到達(dá)點的位置，點到達(dá)點的位置，且．（1）求證：平面平面；（2）若，求點到平面的距離．解：（1）證明：記，連結(jié)，由題意知四邊形是菱形，，且是、的中點，，，，平面，平面，平面，平面，平面平面．（2）解：由（1）知，且，平面，平面，平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，0，，，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，，，，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，則點到平面的距離為：． 7．如圖1，梯形ABCD中，AB∥CD，過A，B分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E、F．若AB＝AE＝2，CD＝5，DE＝1，將梯形ABCD沿AE，BF折起，且平面ADE⊥平面ABFE（如圖2）．（Ⅰ）證明：AF⊥BD；（Ⅱ）若CF∥DE，在線段AB上是否存在一點P，使得直線CP與平面ACD所成角的正弦值為，若存在，求出AP的值，若不存在，說明理由．解：（Ⅰ）證明：∵平面ADE⊥平面ABFE，DE?平面ADE，平面ADE∩平面ABFE＝AE，DE⊥AE，∴DE⊥平面ABFE，又AF?平面ABFE，∴DE⊥AF，又正方形ABFE中，AF⊥BE，且BE∩DE＝E，DE?平面BDE，BE?平面BDE，∴AF⊥平面BDE，∵BD?平面BDE，∴AF⊥BD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DE、EA、EF兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∵CF∥DE，CF⊥平面ABFE，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，2），D（0，0，1），＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，2，2），設(shè)平面ACD的一個法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，﹣1，2），設(shè)P（2，t，0），且0≤t≤2，則＝（2，t﹣2，﹣2），設(shè)直線CP與平面ACD所成角為θ∵在線段AB上存在一點P，使得直線CP與平面ACD所成角的正弦值為，∴sinθ＝＝＝，解得t＝1或t＝﹣（舍）．∴AP＝1．8．如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點，以BE為折痕把△ABE折起使點A到達(dá)點A1的位置，且A1C＝1，如圖2．（1）證明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）求二面角C﹣A1B﹣E的余弦值．證明：（1）在圖（1）中，∵AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中點，∠BAD＝，∴四邊形ABCE為正方形，∴BE⊥AC，AO＝OC，即在圖2中，A1O⊥BE，BE⊥OC，A1O＝OC＝，∵A1C＝1，∴在△A1OC中，+OC2＝，∴A1O⊥OC，∴A1O⊥平面BCDE，∵A1O?平面A1BE，∴平面A1BE⊥平面BCDE．解：（2）由（1）知OA1，OB，OC互相垂直，分別以OB，OC，OA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，∴O（0，0，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），∴＝（﹣，，0），＝（0，，﹣），＝（0，，0），設(shè)平面A1BC的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，1，1），由（1）得平面A1BE⊥平面BCDE，且OC⊥BE，∴OC⊥平面A1BE，∴＝（0，，0）是平面A1BE的法向量，設(shè)二面角C﹣A1B﹣E的平面角為θ，則cosθ＝＝＝．∴二面角C﹣A1B﹣E的余弦值為． 

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