二輪大題專練17—立體幾何（探索性問題）1．如圖1，，是以為直徑的圓上兩點(diǎn)，且，，將所在的半圓沿直徑折起，使得點(diǎn)在平面上的射影在上，如圖2．（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）證明：是圓的直徑，．平面，平面，．又，，平面，平面．平面，．又，，平面．（2）解：連接，平面，，平面，，．在和中，由得，在中，由，得，，在中，，是的三等分點(diǎn)，且．在線段上存在點(diǎn)，使得，則有．平面，平面，平面．故在線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)．2．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，，．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）證明：在中，，，，有，可得，又，，可得平面，即有，由四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，可得，而，可得平面，又平面，則平面平面；（2）在線段上存在點(diǎn)，使得，且．理由如下：由（1）可得，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，0，，，0，，，1，，，0，，，0，，設(shè)，，，，所以，，，，，解得，，，所以，，，，1，，要使，則需，即，解得．故線段上存在點(diǎn)，使得，且．3．如圖，在三棱錐中，底面，，是棱的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，且棱上有一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，試確定點(diǎn)的位置，并求三棱錐的體積．（1）證明：底面，，，又為的中點(diǎn)，，，，、平面，平面，平面，平面平面．（2）解：，，，底面，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，直線與平面所成角的正弦值為，，，，，即，解得，，點(diǎn)為的四等分點(diǎn)，且，三棱錐的體積．4．等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且滿足（如圖（1），將沿折起到△的位置，使面面，連接，（如圖（2）．（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使直線與直線所成角的余弦值為？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）證明：題圖（1）中，由已知可得：，，，從而，故得，所以，，所以題圖（2）中，，，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，所以平面．（2）存在．由（1）知，平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：，0，，，0，，，0，，，，，，0，，，0，，所以，0，，，0，，，，，，，所以，所以．5．在四棱錐中，平面平面，底面為直角梯形，，，且，，．（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，說明理由；（3）若是棱的中點(diǎn)，為線段上任意一點(diǎn)，求證：與一定不平行．解：（1）證明：由平面平面，平面平面，且，可得平面；（2）線段上假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為，軸，過垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由四邊形為直角梯形，且，，可得，且，，，可得，，，，，，，0，，，0，，，2，，，1，，，3，，，1，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，平面的法向量為，，，由可得，可取，則，，，由，可得，取，可得，，，由題意可得，解得，則，所以存在，且；（3）證明：假設(shè)與平行，取的中點(diǎn)，連接，由為的中位線，可得，可得過存在兩條直線，與平行，這與過已知直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，矛盾，故與一定不平行．6．如圖，在正四棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）證明：以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，，，，，0，，，，，，即，，又，平面．（2）解：由（1）可知，，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，不妨設(shè)，，，又，，，，，，，，，平面，，，解得，線段上存在點(diǎn)，使得平面，且．7．如圖，在三棱錐中，平面，是等邊三角形，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）證明：平面，平面，平面平面．，為的中點(diǎn)，．又平面平面，平面，平面，又平面，平面平面．（2）解：平面，，又點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以，從而．又由于平面，，，所以，，兩兩互相垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)?/span>，，軸正方向建立如圖坐標(biāo)系．由于，，，，，，，，1，，于是，．設(shè)平面的法向量，則，取，則，，于是．，設(shè)，，，則．由或（舍去）．故存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．8．如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）設(shè)．若直線與平面所成的角為，求線段的長(zhǎng)；在線段上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)，，，的距離都相等？說明理由．解：證明：平面，平面又，平面又平面，平面平面以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)，則在中，，設(shè)，則，0，，，0，由，得，所以，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，由，，得取，得平面的一個(gè)法向量為又，故由直線與平面所成的角為得即解得或（舍去，因?yàn)?/span>所以假設(shè)在線段上存在一個(gè)點(diǎn)到、、、的距離都相等由，得從而，即所以設(shè)，則，在中，這與矛盾．所以在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到、、的距離都相等．從而，在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)、、、的距離都相等．9．如圖，在三棱柱中，平面，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求異面直線與所成角的大小；（Ⅲ）點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在線段上，若平面，求的值．解：（Ⅰ）證明：在三棱柱中，平面，，．，，，，平面，平面，，，平面．（Ⅱ）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則，．異面直線與所成角的大小為．（Ⅲ）解：，2，，，0，，，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在線段上，設(shè)，，，，，，，則，，，即，0，，，，，，，，，解得，0，，，，，，，，平面，，解得．的值為． 

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