第八章立體幾何專題訓練（十）—證明平行、垂直（1）-【新教材】2021-2022學年人教A版（2019）高中數(shù)學必修第二冊專項訓練-試卷下載-教習網(wǎng)

第八章立體幾何專題訓練（十）—證明平行、垂直（1）1．如圖．在直四棱柱中，，分別，的中點，與交于點．（1）求證：，，，四點共面；（2）若底面是菱形，且，求證：平面．解：（1）連接，因為，分別是，的中點，所以是的中位線，所以，由直棱柱知：，所以四邊形為平行四邊形，所以，分所以，故，，，四點共面；分，（2）連接，因為直棱柱中平面，平面，所以，因為底面是菱形，所以，又，所以平面，分因為平面，所以，又，，平面，平面，所以平面分2．如圖，在四棱錐中，，，，，，，分別為棱，的中點．（1）證明：平面．（2）證明：平面平面．證明：（1）因為，，，所以，所以．因為，，所以平面．（2）因為為棱的中點，所以．因為，所以，因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面．因為，分別為棱，的中點，所以，所以平面．因為，平面，平面，所以平面平面．3．如圖，在三棱柱中，為棱的中點，，，，．（1）證明：平面；（2）證明：平面．證明：（1）連接交，與點，連接，在△中，、分別為、的中點，所以，又平面．平面．所以平面．（2）因為，，，、平面．所以平面，又平面．所以；又因為，得，所以．又，平面，所以平面．4．如圖，四面體中，，，平面．為中點，為中點，點在線段上，且．（1）求證：平面；（2）若，是的中點，求證：平面．證明：（1）如圖，取的中點為，在上取一點，使得，連結(jié)，，，則由，分別為，的中點，可得，且，又為的中點，則，因為，，所以，且，所以，且，故四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）設(shè)為的中點，因為平面，平面，所以，因為，，平面，，所以平面，因為平面，所以，因為點為的中點，，所以點為的中點，因為是的中點，所以，因為，所以是等腰直角三角形，，所以，因為平面，平面，，所以平面．5．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，，分別為，的中點．（1）證明：平面；（2）證明：平面．證明：（1）取的中點，連接，．因為，分別為，的中點，所以，．因為底面是菱形，所以，．因為是的中點，所以，，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以．因為平面，平面，所以平面．（2）連接．因為底面是邊長為4的菱形，且，所以為等邊三角形，因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，，所以平面．6．如圖，在三棱臺中，面平面，，，點是的中點．（1）求證：平面；（2）求證：．（1）證明：取中點，連接，，又，又平面，平面；（2）證明：取中點，連接，，由，，，四邊形是平行四邊形，又，，，四邊形是菱形，，，，平面，平面，平面，平面，．