【考綱要求】
1.會(huì)用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情形：eq \i\su(i＝1,n,a)eq \\al(2,i)·eq \i\su(i＝1,n,b)eq \\al(2,i)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\i\su(i＝1,n,a)ibi))2，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．
2．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問題．
3．了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法
【命題趨勢(shì)】
不等式的證明是對(duì)必修5中“不等式”的補(bǔ)充和深化，其中以考查綜合法、分析法、放縮法等為主．另外應(yīng)用基本不等式、柯西不等式求函數(shù)的最值也是高考考查的一個(gè)方向
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理的考查。
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識(shí)】
1．基本不等式
(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．
(2)定理2：如果a，b＞0，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均．
(3)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立．
2．比較法
(1)作差法的依據(jù)是：a－b＞0?a＞b.
(2)作商法：若B＞0，欲證A≥B，只需證eq \f(A,B)≥1.
3．綜合法與分析法
(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立．
(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立．
4．反證法
先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法．
5．放縮法
證明不等式時(shí)，通過把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小以利于化簡(jiǎn)，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法．
6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法
數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟：
(1)證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立．
綜合(1)(2)可知，結(jié)論對(duì)于任意n≥n0，且n0，n∈N*都成立．
7．柯西不等式
(1)二維柯西不等式：設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2＋b2) (c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立．
(2)三維柯西不等式：設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3均為實(shí)數(shù)，則(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3))≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2,3)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)時(shí)，等號(hào)成立．
(3)n維柯西不等式：設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n))(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋…＋beq \\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立．
8．排序不等式
設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.
當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn時(shí)，反序和等于順序和．
【真題體驗(yàn)】
1．【2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解析】（1）因?yàn)?，又，故?br>．
所以．
（2）因?yàn)闉檎龜?shù)且，故有
=24．
所以．
【名師點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式進(jìn)行不等式的證明問題，考查學(xué)生對(duì)于基本不等式的變形和應(yīng)用能力，需要注意的是在利用基本不等式時(shí)需注意取等條件能否成立．
2.【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，證明：或．
【答案】（1）；（2）見詳解．
【解析】（1）由于
，
故由已知得，
當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=–，時(shí)等號(hào)成立．
所以的最小值為．
（2）由于
，
故由已知，
當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立．
因此的最小值為．
由題設(shè)知，解得或．
【名師點(diǎn)睛】?jī)蓚€(gè)問都是考查柯西不等式，屬于柯西不等式的常見題型．
3.(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)設(shè)不等式||x＋1|－|x－1||1.
【答案】見解析
【解析】(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，x≥1，,2x，－1

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