【考綱要求】
1.了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)．
2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用并會(huì)計(jì)算．
3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并給出合理的解釋．
4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想.
【命題趨勢(shì)】
根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求基本的數(shù)字特征，利用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查.
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識(shí)】
1．頻率分布直方圖
(1)縱軸表示eq \f(頻率,組距)，即小長(zhǎng)方形的高＝eq \f(頻率,組距)；
(2)小長(zhǎng)方形的面積＝組距×eq \f(頻率,組距)＝頻率；
(3)各個(gè)小方形的面積總和等于1 .
2．頻率分布表的畫法
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq \f(極差,組數(shù))；
第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．
3．莖葉圖
莖葉圖是統(tǒng)計(jì)中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，
莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁
邊生長(zhǎng)出來的數(shù)．
4．中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義
(1)中位數(shù)
將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
(2)眾數(shù)
一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
(3)平均數(shù)
一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
5．樣本的數(shù)字特征
如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個(gè)數(shù)的
(1)平均數(shù)eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(2)標(biāo)準(zhǔn)差s＝ eq \r(\f(1,n)[(x1－\x\t(x))?2＋(x2－\x\t(x))?2＋…＋(xn－\x\t(x))?2]).
(3)方差s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
1．頻率分布直方圖中的常見結(jié)論
(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)．
(2)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．
(3)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的．
2．平均數(shù)、方差的公式推廣
(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq \x\t(x)，則mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq \x\t(x)＋a.
(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.
【真題體驗(yàn)】
1.【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：
記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．
（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；
（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．
1．【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
2．【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分．7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是
A．中位數(shù) B．平均數(shù)
C．方差 D．極差
3．【2019年高考浙江卷】設(shè)0＜a＜1，則隨機(jī)變量X的分布列是
則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，
A．增大 B．減小
C．先增大后減小 D．先減小后增大
4.【2019年高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是______________．
5．【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為______________．
6．【2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是______________．
【考法拓展?題型解碼】
考法一 頻率分布直方圖及其應(yīng)用
歸納總結(jié)
(1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù)．
(2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)，可利用圖形及已知范圍結(jié)合求解．
【例1】 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求直方圖中a的值；
(2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；
(3)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)．
考法二 莖葉圖及其應(yīng)用
歸納總結(jié)
由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點(diǎn)同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點(diǎn)是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失；第二點(diǎn)是莖葉圖便于記錄和表示；其缺點(diǎn)是當(dāng)樣本容量較大時(shí)，作圖較繁瑣．
【例2】 在科普知識(shí)競(jìng)賽前的培訓(xùn)活動(dòng)中，將甲、乙兩名學(xué)生的6次培訓(xùn)成績(jī)(百分制)制成如圖所示的莖葉圖.
(1)若從甲、乙兩名學(xué)生中選擇1人參加該知識(shí)競(jìng)賽，你會(huì)選哪位？請(qǐng)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)說明理由；
(2)若從學(xué)生甲的6次培訓(xùn)成績(jī)中隨機(jī)選擇2個(gè)，記選到的分?jǐn)?shù)超過87分的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
考法三 樣本的數(shù)字特征及其應(yīng)用
歸納總結(jié)
平均數(shù)和方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的闡述．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述總體的集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大?。?br>【例3】 甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
(2)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的方差；
(3)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，估計(jì)一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰更好一些．
【易錯(cuò)警示】
易錯(cuò)點(diǎn) 利用直方圖求中位數(shù)出錯(cuò)
【典例】 某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖．
(1)求直方圖中x的值；
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)．
【錯(cuò)解】：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，所以直方圖中x的值是0.007 5.
(2)由眾數(shù)的定義知，月平均用電量的眾數(shù)是220～240，因?yàn)?0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45SB B.eq \x\t(x)ASB
C.eq \x\t(x)A>eq \x\t(x)B，SA

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