【考綱要求】
1.理解直線的方向向量與平面法向量的意義．
2.能用向量語言表達直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行關系．
3.能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理(包括三垂線定理).
【命題趨勢】
空間直角坐標系、空間向量及其運算在高考中主要作為解題工具，解決直線、平面的平行、垂直位置關系的判定等問題.
【核心素養(yǎng)】
本講內容主要考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎知識】
1．直線的方向向量與平面的法向量的確定
(1)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程組求出：設a，b是平面α內兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·b＝0.))
2．用向量證明空間中的平行關系
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)? v1∥v2 .
(2)設直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α? 存在兩個實數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2 .
(3)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α? v⊥u .
(4)設平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β ? u1∥u2 .
3．用向量證明空間中的垂直關系
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，
則l1⊥l2? v1⊥v2 ? v1·v2＝0 .
(2)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，
則l⊥α? v∥u .
(3)設平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β ? u1⊥u2 ? u1·u2＝0 .
【真題體驗】
1. 【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．
（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
2.【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．
3.【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖2.
（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.
4.【2019年高考北京卷理數(shù)】如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．
（1）求證：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角F–AE–P的余弦值；
（3）設點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由．
5.【2019年高考浙江卷】如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點.
（1）證明：；
（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.
【考法拓展?題型解碼】
考法一 利用空間向量證明平行問題
解題技巧
(1)恰當建立空間直角坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵．
(2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算．
【例1】 如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：PB∥平面EFG.
考法二 利用空間向量證明垂直問題
解題技巧
證明垂直問題的方法
(1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算．其中靈活建系是解題的關鍵．
(2)證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直即可，當然，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可．
【例2】 如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.
【例3】 (2019·四川綿陽中學模擬)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，PB的中點，且PD＝AD.求證：平面CEF⊥平面PBC.
考法三 利用空間向量解決探索性問題
歸納總結
對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是先根據(jù)條件作出判斷，再進一步論證；另一種是利用空間向量，先假設存在點的坐標，再根據(jù)條件求該點的坐標，即找到“存在點”，若該點坐標不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”．
【例4】 如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求證：BD⊥AA1；
(2)在直線CC1上是否存在點P，使BP∥平面DA1C1.若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由．
【規(guī)范解答】
關鍵點 坐標系建立要恰當、點的坐標要寫準確
【典例】 如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP＝BQ＝λ(0

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