第二篇 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題2.10 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算【考綱要求】1. 了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．2．能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝，y＝x2的導(dǎo)數(shù)．3．能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【命題趨勢】1. 導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義是熱點問題，難度不大，經(jīng)常與函數(shù)結(jié)合，通過求導(dǎo)研究函數(shù)的性質(zhì)．2．導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用是熱點問題，難度較大，題型大多是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)值或參數(shù)的取值范圍，以及與切線有關(guān)的計算、證明問題.【核心素養(yǎng)】本講內(nèi)容主要考查數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 ＝?為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝＝.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”．(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)?處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．?曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，斜率為k＝f′(x0)的切線，是唯一的一條切線.(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(4)f′(x)是一個函數(shù)，f′(x0)是函數(shù)f′(x)在x0處的函數(shù)值(常數(shù))，[f′(x0)]′＝0.2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin xf(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axln af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝3.導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3) (g(x)≠0)．4．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】1．奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2．熟記以下結(jié)論：(1)′＝－；(2)(ln|x|)′＝；(3) (f(x)≠0)；(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．【真題體驗】1．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知曲線在點（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則（   ）A．                              B．a=e，b=1C．                           D．，2.【2019年高考天津理數(shù)】已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（   ）A．                                 B．C．                              D．3.【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個零點，則（   ）A．a<–1，b<0                                    B．a<–1，b>0   C．a>–1，b<0                                    D．a>–1，b>0 4. 【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】曲線在點處的切線方程為____________．5. 【2019年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線的距離的最小值是     .6.【2019年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標(biāo)是    .7. 【2019年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【考法拓展?題型解碼】考法一　導(dǎo)數(shù)的運算解題技巧：導(dǎo)數(shù)的運算方法(1)連乘形式：先展開，化為多項式的形式，再求導(dǎo)．(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)．(3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)．(4)根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)．(5)三角形式：先用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)．(6)復(fù)合函數(shù)：確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)．【例1】 (1)(2018·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝exln x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(1)的值為__________．(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足關(guān)系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，則f′(2)＝__________.(3)已知函數(shù)f(x)＝f′sin x＋cos x，則f＝__________.     【例2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝(1－)；                         (2)y＝；(3)y＝tan x；(4)y＝3xex－2x＋e.      考法二　導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題技巧：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用類型及求解思路(1)若求過點P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點為(x1，y1)，由求解即可．(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢．【例3】 (1)(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為(　　)A．y＝－2x  B．y＝－xC．y＝2x  D．y＝x    (2)設(shè)曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝(x>0)上點P處的切線垂直，則點P的坐標(biāo)為__________．    (3)(2019·金陵中學(xué)月考)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m＝__________.  【易錯警示】易錯點　審題不認真致誤【典例】 求曲線S：y＝f(x)＝2x－x3過點A(1,1)的切線方程．【錯解】：易知點A(1,1)在f(x)＝2x－x3的圖象上，又f′(x)＝2－3x2，所以f′(1)＝2－3＝－1＝k，所以過點A的切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.【錯因分析】：審題時忽視了曲線“在點P處的切線”與曲線“過點P的切線”的不同．【正解】：設(shè)切點為(x0，f(x0))．因為f′(x)＝2－3x2，所以切線方程為y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，即y＝(2－3x)(x－x0)＋2x0－x，將點A的坐標(biāo)(1,1)代入得1＝(2－3x)(1－x0)＋2x0－x，整理得2x－3x＋1＝0，即2x－2x－x＋1＝0，所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或－，所以y0＝1，f′(x0)＝－1或y0＝－，f′(x0)＝.所以切線方程為y＝－x＋2或y＝x－.歸納總結(jié):若已知曲線過點P(x0，y0)，求曲線過點P(x0，y0)的切線方程，則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解．(1)點P(x0，y0)是切點時，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)點P(x0，y0)不是切點時，可分為以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；第二步：寫出過點P′(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：將點P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程，求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，由此即可得過點P(x0，y0)的切線方程．【跟蹤訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；(2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程．     【遞進題組】1．已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)．如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝(　　)A．－1  B．0 C．2  D．42．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝x4－3x2－5x＋6；                    (2)y＝x·tan x；(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；                 (4)y＝.     3．(2019·鹽城伍佑中學(xué)調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y軸的切線，求實數(shù)a的取值范圍．         4．已知曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為1的點處的切線方程；(2)第(1)問中的切線與曲線C是否還有其他公共點，若有，請求出；若沒有，請說明理由．         【考卷送檢】 一、選擇題1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，則f′(0)＝(　　)A．2  B．0C．－2  D．－42．設(shè)曲線y＝在點處的切線與直線x－ay＋1＝0平行，則實數(shù)a等于(　　)A．－1    B．C．－2    D．23.(2019·衡水調(diào)研)曲線y＝1－在點(－1，－1)處的切線方程為(　　)A．y＝2x＋1  B．y＝2x－1C．y＝－2x－3  D．y＝－2x－24.在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(0)＝(　　)A．0  B．26C．29  D．2125.已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是(　　)A．  B．C．  D．6．下面四個圖象中，有一個是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則f(－1)＝(　　)A．  B．－C．  D．－或二、填空題7．曲線y＝－5ex＋3在點(0，－2)處的切線方程為________．8．(2018·全國卷Ⅲ)曲線y＝(ax＋1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為－2，則a＝________.9．已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為，則切點坐標(biāo)為________．三、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標(biāo)．    11．(2019·哈爾濱三中期中)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C．(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標(biāo)的取值范圍．      12．(2019·吉林校級聯(lián)考)設(shè)有拋物線C：y＝－x2＋x－4，過原點O作C的切線y＝kx，使切點P在第一象限．(1)求k的值；(2)過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q的坐標(biāo)．      13．設(shè)過曲線f(x)＝－ex－x(e為自然對數(shù)的底數(shù))上的任意一點的切線為l1，總存在過曲線g(x)＝mx－3sin x上的一點處的切線l2，使l1⊥l2，則m的取值范圍是________．  

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