專題2.11 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?第二篇函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
專題2.11 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
【考綱要求】
了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)
【命題趨勢】
導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性是高考中的熱點(diǎn)問題，題型有利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，難度較大
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】
1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為增函數(shù)．f′(x)≤0?(a，b)上為減函數(shù)．
2．函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．
極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．
3．函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．
(3)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值．,
(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件．
(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件．
(3)由f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)可得f′(x)≥0(≤0)在該區(qū)間內(nèi)恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要時還需對“＝”進(jìn)行檢驗(yàn).
f′(x0)＝0是x0為f(x)的極值點(diǎn)的必要不充分條件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)．
(1)極值點(diǎn)不是點(diǎn)，若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，則x1為極大值點(diǎn)，極大值為f(x1)；在x2處取得極小值，則x2為極小值點(diǎn)，極小值為f(x2)．極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系．
(2)極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得，有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
(1)若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開．
(2)若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值一定是函數(shù)的最值．
(3)極值只能在定義域內(nèi)取得(不包括端點(diǎn))，最值卻可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，非常數(shù)可導(dǎo)函數(shù)最值只要不在端點(diǎn)處取，則必定在極值處?。?br /> 【真題體驗(yàn)】
1．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）或.
【解析】（1）．
令，得x=0或.
若a>0，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
若a=0，在單調(diào)遞增；
若aa>b D．a(chǎn)>c>b
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，所以y＝f(x)為奇函數(shù)．
令g(x)＝xf(x)，則g(x)＝xf(x)為偶函數(shù)，且g′(x)＝f(x)＋xf′(x)0，所以g(x)在R上是增函數(shù)．又因?yàn)間(0)＝e0·f(0)－e0－1＝0，所以ex·f(x)>ex＋1?ex·f(x)－ex－1>0?g(x)>0?g(x)>g(0)?x>0.
4．討論函數(shù)f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的單調(diào)性．
【答案】見解析
【解析】 f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.
①當(dāng)a≥1時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a≤0時，f′(x)f′(x)，若1