第七章    復(fù)數(shù)7.3.2 復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義((提升練）一、單選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）1．（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】.   故選：C.2．計(jì)算的結(jié)果是（    ）A．-9 B．9 C．-1 D．1【答案】B【解析】． 故選：B3．復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，那么的值等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得,.故選：B4．將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到的向量為，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】復(fù)數(shù)的三角形式是,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是故選：A5.把復(fù)數(shù)z1與z2對(duì)應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)和后，重合于向量且模相等，已知，則復(fù)數(shù)的代數(shù)式和它的輻角主值分別是（    ）A．， B． C． D．【答案】B【解析】由題可知，則，可知對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，則它的輻角主值為.故選：B.二、多選題（共3小題，滿分15分，每小題5分，少選得3分，多選不得分）6．歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.若復(fù)數(shù)，則不可能為(    )A． B．1 C． D．【答案】ABD【解析】由題意得，,所以，故選：ABD7．設(shè)z1、z2是復(fù)數(shù)，argz1＝α，argz2＝β，則arg(z1·z2)有可能是下列情況中的(　　)A．α＋β B．α＋β－2πC．2π－(α＋β) D．π＋α＋β【答案】ABC【解析】因?yàn)閍rgz1＝α，argz2＝β，所以α∈[0,2π)，β∈[0,2π)，而arg(z1·z2)∈[0,2π)，則當(dāng)α＋β∈[0,2π)時(shí)，arg(z1·z2)＝α＋β；當(dāng)α＋β∈[2π，4π)時(shí)，α＋β－2π∈[0,2π)，則arg(z1·z2)＝α＋β－2π；當(dāng)α＋β＝π時(shí)，2π－(α＋β)＝π＝α＋β，此時(shí)arg(z1·z2)＝α＋β＝2π－(α＋β)，故選:ABC.8．任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．B．當(dāng)，時(shí)，C．當(dāng)，時(shí)，D．當(dāng)，時(shí)，若為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，則，可得，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，則，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，取，則為偶數(shù)，則不是純虛數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分，一題兩空，第一空2分）9．__________（用代數(shù)形式表示）．【答案】【解析】．故答案為:．10．如果向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后再把模變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到向量，那么與對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_____________（用代數(shù)形式表示）.【答案】【解析】.所求復(fù)數(shù)為.故答案為：.11．一般的，復(fù)數(shù)都可以表示為的形式，這也叫做復(fù)數(shù)的三角表示，17世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示發(fā)現(xiàn)并證明了這樣一個(gè)關(guān)系：如果，，那么，這也稱為棣莫弗定理.結(jié)合以上定理計(jì)算：______.（結(jié)果表示為，的形式）【答案】【解析】．故答案為：．四、解答題：（本題共3小題，共45分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）12．計(jì)算下列各式，并作出幾何解釋：（1）（2）（3）.【答案】（1），幾何解釋見(jiàn)解析  （2），幾何解釋見(jiàn)解析  （3），幾何解釋見(jiàn)解析【解析】（1）原式.幾何解釋：設(shè)，作與對(duì)應(yīng)的向量，然后把向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)315°，再將其長(zhǎng)度縮短為原來(lái)的，得到一個(gè)長(zhǎng)度為、輻角為 的向量，則即為積所對(duì)應(yīng)的向量.（2）原式.幾何解釋：設(shè)，作與對(duì)應(yīng)的向量，然后把向量繞原點(diǎn)0按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，再將其長(zhǎng)度縮短為原來(lái)的，得到一個(gè)長(zhǎng)度為，輻角為的向量，則即為所對(duì)應(yīng)的向量.（3）原式.幾何解釋：設(shè)，作與對(duì)應(yīng)的向量，然后把向量繞原點(diǎn)0按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，再將其長(zhǎng)度縮短為原來(lái)的，得到一個(gè)長(zhǎng)度為，輻角為的向量，則即為所對(duì)應(yīng)的向量.13．把復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的向量，分別按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)和后，與向量重合且模相等，已知，求復(fù)數(shù)的代數(shù)式和它的輻角主值.【解析】由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得,又的輻角主值為14．已知復(fù)數(shù)，，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，Q，求證：是等腰直角三角形（其中O為原點(diǎn)）.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】∵，，∴，∴.∴，∴的夾角為.∴.又，，∴，∴Q為等腰直角三角形.   

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

7.3* 復(fù)數(shù)的三角表示

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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