人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)第七章 復(fù)數(shù)7.3* 復(fù)數(shù)的三角表示課時(shí)訓(xùn)練

這是一份人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)第七章 復(fù)數(shù)7.3* 復(fù)數(shù)的三角表示課時(shí)訓(xùn)練，共11頁(yè)。
7.3.2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義 導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波      初審：孫銳      終審：孫銳  廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.利用復(fù)數(shù)三角形式熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算，并能根據(jù)乘除運(yùn)算的幾何意義解決相關(guān)問(wèn)題2.注意多種解題方法的靈活運(yùn)用，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法【自主學(xué)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)1  復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算設(shè)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則(1)乘法：z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和．(2)除法：z1÷z2＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z2≠0)，這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差．(3)乘方：zn＝rn(cosnθ＋isinnθ)．(4)開方：＝(cos＋isin)(k＝0,1,2，…，n－1)． 知識(shí)點(diǎn)2  復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，可以像圖中所示那樣，先分別畫出與z1，z2對(duì)應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角θ2(如果θ2<0，就要把按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的r2倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.這就是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義．z2≠0，的幾何意義是把z的對(duì)應(yīng)向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角θ2(如果θ2<0，就要把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，所得的向量即表示商.
【合作探究】探究一  復(fù)數(shù)的三角形式的乘、除運(yùn)算【例1】(cos＋isin)·(cos＋isin)．[解]　(cos＋isin)·(cos＋isin)＝·[cos(＋)＋isin(＋)]＝(cos＋isin)＝(＋i)＝＋i. 歸納總結(jié)：r1?cosθ1＋isinθ1?·r2?cosθ2＋isinθ2?＝r1r2[cos?θ1＋θ2?＋isin?θ1＋θ2?]計(jì)算，簡(jiǎn)便得多.這就是復(fù)數(shù)的三角形式乘法運(yùn)算公式.  【練習(xí)1】設(shè)復(fù)數(shù)z＝cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求復(fù)數(shù)z2＋z的模和輻角．解：z2＋z＝(cosθ＋isinθ)2＋cosθ＋isinθ＝cos2θ＋isin2θ＋cosθ＋isinθ＝(cos2θ＋cosθ)＋i(sin2θ＋sinθ)＝2coscos＋i(2sincos)＝2cos(cosθ＋isinθ)＝－2cos .∵θ∈(π，2π)，∴∈(，π)，∴－2cos>0，所以復(fù)數(shù)z2＋z的模為－2cos，輻角為(2k－1)π＋(k∈Z)．  探究二  復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算的幾何意義【例2】向量與－1＋i對(duì)應(yīng)，把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，得到，求與向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)[解]　將向量逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，得到，由于模未發(fā)生變化，應(yīng)當(dāng)是對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)乘以1·(cos120°＋isin120°)，即z′＝(－1＋i)(cos120°＋isin120°)＝(cos135°＋isin135°)(cos120°＋isin120°)＝(cos255°＋isin255°)＝－i.歸納總結(jié)：利用復(fù)數(shù)乘、除法的幾何意義來(lái)解決三角形中角的大小問(wèn)題，十分方便 【練習(xí)2】如圖，已知平面內(nèi)并列的三個(gè)相等的正方形，利用復(fù)數(shù)證明∠1＋∠2＋∠3＝.證明：∠1，∠2，∠3分別等于復(fù)數(shù)1＋i,2＋i,3＋i的輻角主值，這樣∠1＋∠2＋∠3就是(1＋i)(2＋i)(3＋i)＝10i的輻角，∠1，∠2，∠3都是銳角，所以∠1＋∠2＋∠3＝.  
課后作業(yè)A組 基礎(chǔ)題一、選擇題1．復(fù)數(shù)(sin10°＋icos10°)3的三角形式為(　　)A．sin30°＋icos30°　　　　 B．cos240°＋isin240°C．cos30°＋isin30° D．sin240°＋icos240°【答案】B2．若z＝cos θ－isin θ，則使z2＝－1的θ值可能是(　　)A．0　　　　B.     C．π　　　　D．2π【答案】B解析：∵z＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)，∴z2＝z·z＝cos(－2θ)＋isin(－2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1，∴∴θ＝.3．4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝(　　)A．6＋6i B．6－6iC．－6＋6i D．－6－6i【答案】D解析：4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝12[cos(60°＋150°)＋isin(60°＋150°)]＝12(cos210°＋isin210°)＝12＝－6－6i.故選D.4．復(fù)數(shù)z1＝1，z2是由z1繞原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到，則arg()的值為(　　)A.   B.C.   D.【答案】D5．(多選)設(shè)z1、z2是復(fù)數(shù)，argz1＝α，argz2＝β，則arg(z1·z2)有可能是下列情況中的(　　)A．α＋β B．α＋β－2πC．2π－(α＋β) D．π＋α＋β【答案】ABC解析：因?yàn)?/span>argz1＝α，argz2＝β，所以α∈[0,2π)，β∈[0,2π)，而arg(z1·z2)∈[0,2π)，則當(dāng)α＋β∈[0,2π)時(shí)，arg(z1·z2)＝α＋β；當(dāng)α＋β∈[2π，4π)時(shí)，α＋β－2π∈[0,2π)，則arg(z1·z2)＝α＋β－2π；當(dāng)α＋β＝π時(shí)，2π－(α＋β)＝π＝α＋β，此時(shí)arg(z1·z2)＝α＋β＝2π－(α＋β)，故選ABC.二、填空題6．復(fù)數(shù)－i的一個(gè)立方根是i，它的另外兩個(gè)立方根是               .【答案】－－i，－i解析：∵－i＝cos＋isin，其立方根是cos＋isin，k∈0,1,2，即i，－－i，－i.三、解答題7．計(jì)算：4(cos＋isin)÷2(cos＋isin)．解：原式＝2[cos(－)＋isin(－)]＝2(cos＋isin)＝2i.8．把復(fù)數(shù)z1與z2對(duì)應(yīng)的向量，分別按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，求復(fù)數(shù)z1的代數(shù)形式和它的輻角主值．解：由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得z1(cos＋isin)＝z2(cos＋isin)，又z2＝－1－i＝2(cos＋isin)，∴z1＝＝2[cos(3π－)＋isin(3π－)]＝－＋i，z1的輻角主值為.9．計(jì)算：(cos＋isin)·4(cos＋isin)．解：原式＝4[cos(＋)＋isin(＋)]＝4(cos＋isin)＝2＋2i.10．若z＝(cos＋isin)，求z2與z3的值．解：z2＝z·z＝()2[cos(＋)＋isin(＋)]＝3(cos＋isin)＝＋i.z3＝z·z·z＝()3[cos(×3)＋isin(×3)]＝3(cos＋isin)＝3i.11．在復(fù)平面上A，B表示復(fù)數(shù)為α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判斷△AOB形狀，并證明S△AOB＝|α|2.解：△AOB為等腰直角三角形．證明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，∴＝1＋i＝(cos＋isin)，∴∠AOB＝；∵，分別表示復(fù)數(shù)α，β－α，由β－α＝αi，得＝i＝cos＋isin，∴∠OAB＝90°，∴△AOB為等腰直角三角形．∴S△AOB＝|OA|2＝|α|2.12．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝＋i，復(fù)數(shù)z2滿足|z2|＝2，已知z1·z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸的負(fù)半軸上，且argz2∈(0，π)，求z2的代數(shù)形式．解：因?yàn)?/span>z1＝2(cos＋isin)，設(shè)z2＝2(cosα＋isinα)，α∈(0，π)，所以z1z＝8[cos(2α＋)＋isin(2α＋)]．由題設(shè)知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2(cos＋isin)＝－1＋i.
B組 能力提升一、選擇題1．復(fù)數(shù)z＝sin－icos，若zn＝(n∈N)，則n的最小值是(　　)A．1 B．3C．5 D．7【答案】C解析：因?yàn)?/span>z＝sin－icos＝cos＋isin，所以zn＝cosπ＋isinπ，＝cos－isin＝cos＋isin.因?yàn)?/span>zn＝，所以π＝＋2kπ，n＝，因?yàn)?/span>n∈N，k∈Z，所以當(dāng)k＝4時(shí)，n＝5.2.設(shè)復(fù)數(shù)z1＝2sinθ＋icosθ(<θ<)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量，將按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到向量，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2＝r(cosφ＋isinφ)，則tanφ＝(　　)A.   B.C.   D.【答案】A二、填空題3．(1－i)7＝64－64i.解析：(1－i)7＝7＝27＝128＝64－64i.三、解答題4．若z∈C，|z－2|≤1，求|z|的最大值，最小值和argz范圍．解：如圖，由|z－2|≤1，知z的軌跡為復(fù)平面上以(2,0)為圓心，1為半徑的圓面(包括圓周)，|z|表示圓面上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．顯然1≤|z|≤3，∴|z|max＝3，|z|min＝1，另設(shè)圓的兩條切線為OA，OB，A，B為切點(diǎn)，由|CA|＝1，|OC|＝2知∠AOC＝∠BOC＝，∴argz∈[0，]∪[π，2π)． 5．已知復(fù)數(shù)z1＝－2＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P1，z2＝－3＋4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P2，把向量繞P1點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，得到向量，求向量和點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是什么？解：由題意知向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是z2－z1＝(－3＋4i)－(－2＋i)＝－1＋3i.再由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(－1＋3i)·＝3＋i，最后由復(fù)數(shù)加法的幾何意義得，向量＝＋，其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(－2＋i)＋(3＋i)＝1＋2i，故點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i.6．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，argz2＝，若z1，z2在復(fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．解：由題設(shè)知z＝1－i，因?yàn)?/span>|AB|＝，即|z1－z2|＝，所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又argz2＝，所以z2＝(cos＋isin)，z1＝z2＝(1＋i)z2＝(cos＋isin)·(cos＋isin)＝2(cos＋isin)，所以z1的立方根為[cos＋isin]，k＝0,1,2，即(cos＋isin)，(cos＋isin)，(cos＋isin)．