函數(shù)應(yīng)用（二）考向一  利用函數(shù)模型解決問題 1、某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整,調(diào)整后初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢,若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系,可選用(　　)(A)一次函數(shù)   (B)二次函數(shù)(C)指數(shù)型函數(shù) (D)對數(shù)型函數(shù)【答案】D【解析】由題意可知,函數(shù)模型對應(yīng)的函數(shù)是個增函數(shù),而且增長速度越來越慢,故應(yīng)采用對數(shù)型函數(shù)來建立函數(shù)模型,故選D.2.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關(guān)系:y=at,有以下敘述:①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2;②第5個月時,浮萍的面積就會超過30 m2;③浮萍從4 m2蔓延到12 m2需要經(jīng)過1.5個月;④浮萍每個月增加的面積都相等.其中正確的是(　　)(A)①   (B)①②    (C)②③④   (D)①②④【答案】B【解析】圖象單調(diào)遞增,底數(shù)大于1,又過點(diǎn)(2,4),所以a2=4,所以a=2(a>0),故①對;令t=5,得y=25=32>30,故②對;若浮萍從4 m2蔓延到12 m2需要經(jīng)過的時間是1.5個月,則有12=23.5,因?yàn)?/span>23.5=8≠12,故③錯;由指數(shù)型函數(shù)模型的圖象上升特征可知④錯.故選B.3、在某種新型材料的研制中,實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個是(　　)x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01(A)y=2x-2 (B)y=(x2-1)(C)y=log2x (D)y=lox【答案】B【解析】由題意可得表中數(shù)據(jù)y隨x的變化趨勢.函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù),且y的變化隨x的增大越來越快.因?yàn)?/span>A中函數(shù)是線性增加的函數(shù),C中函數(shù)是比線性增加還緩慢的函數(shù),D中函數(shù)是減函數(shù),所以排除A,C,D;所以B中函數(shù)y=(x2-1)符合題意.4、“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？”下圖給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y的散點(diǎn)圖，那么紅豆的枝數(shù)與生長時間的關(guān)系用下列哪個函數(shù)模型擬合最好？(　　)A．指數(shù)函數(shù)y＝2t B．對數(shù)函數(shù)y＝log2tC．冪函數(shù)y＝t3 D．二次函數(shù)y＝2t2【答案】A【解析】根據(jù)已知所給的散點(diǎn)圖，觀察到圖象在第一象限，且從左到右圖象是上升的，并且增長速度越來越快，根據(jù)四個選項(xiàng)中函數(shù)的增長趨勢可得，用指數(shù)函數(shù)模擬較好，故選A.5、下面是一幅統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，正確的個數(shù)是(　　)(1)這幾年生活水平逐年得到提高；(2)生活費(fèi)收入指數(shù)增長最快的一年是2013年；(3)生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2014年；(4)雖然2015年生活費(fèi)收入增長緩慢，但生活價格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善．A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】由圖可知，生活費(fèi)收入指數(shù)與生活價格指數(shù)在同一個時間點(diǎn)上的差值越來越大，說明生活水平逐年得到提高，故（1）正確；從折線段的傾斜程度，可知生活費(fèi)收入指數(shù)增長最快的一年是2013年，故（2）正確，（3）錯誤；由圖可知，（4）正確。6、若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是(　　) A．y＝0.957 6          B．y＝(0.957 6)100xC．y＝ x              D．y＝1－0.042 4【答案】A　[由題意可知y＝(95.76%)，即y＝0.9576.]7、某汽車在同一時間內(nèi)速度v(單位:km/h)與耗油量Q(單位:L)之間有近似的函數(shù)關(guān)系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,則車速為　　　　　 km/h時,汽車的耗油量最少. 【答案】35【解析】Q=0.002 5v2-0.175v+4.27=0.002 5(v2-70v)+4.27=0.002 5[(v-35)2-352]+4.27=0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h時,耗油量最少.8、學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00現(xiàn)有如下5個模擬函數(shù)：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝＋1.74請從中選擇一個模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選________(填序號)．【答案】④【解析】畫出散點(diǎn)圖如圖所示．由圖可知上述點(diǎn)大體在函數(shù)y＝log2x的圖象上，故選擇y＝log2x可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律．故填④.答案：④ 9、人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題 ．認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律 ，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù)。早在 1978 年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（ T.R.Malthas ，1766 — 1834） 就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型，其中 t 表示經(jīng)過的時間 ， 表示 t＝０時的人口數(shù)，r 表示人口的年平均增長率。下表是 1950～1959 年我國的人口數(shù)據(jù)資料 （1） 如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率 （ 精確到 0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型 ， 并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符 ；（2） 如果按上表的增長趨勢，那么大約在哪一年我國的人口數(shù)達(dá)到 13 億？   事實(shí)上，我國 1989年的人口數(shù)為 11.27億，直到 2005年才突破13 億。對由函數(shù)模型所得的結(jié)果與實(shí)際情況不符 ， 你有何看法 ？【解析】因?yàn)槿丝诨鶖?shù)較大 ， 人口增長過快 ， 與我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平產(chǎn)生了較大矛盾 ， 所以我國從 ２０ 世紀(jì) ７０ 年代逐步實(shí)施了計(jì)劃生育政策 ． 因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件 ， 自然就出現(xiàn)了依模型得到的結(jié)果與實(shí)際不符的情況 ． 考向二  建立函數(shù)模型解決問題1、某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖,引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物,已知該動物的繁殖數(shù)量y(單位:只)與引入時間x(單位:年)的關(guān)系為y=alog2(x+1),若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只,則第7年它們發(fā)展到(　　)A.300只 B.400只 C.600只 D.700只【答案】A【解析】將x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以當(dāng)x=7時,y=100log2(7+1)=300. 2、某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（     ）（參考數(shù)據(jù)：，，）A． 2020年    B． 2021年    C． 2022年   D． 2023年【答案】B【解析】由題意求滿足最小n值，由得，開始超過200萬元的年份是2017+5-1=2021,選B.
3、一個駕駛員喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少,為了保障交通安全,根據(jù)有關(guān)規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.2 mg/mL,那么這個駕駛員至少要經(jīng)過　　　　　小時才能開車(結(jié)果精確到1小時,參考數(shù)據(jù)lg 2≈0.30,lg 3≈0.48). 【答案】2【解析】設(shè)經(jīng)過n小時后才能開車,此時酒精含量為0.3(1-25%)n.根據(jù)題意,有0.3(1-25%)n≤0.2,則有nlg=n(lg 3-2lg 2)≤lg =lg 2-lg 3,將已知數(shù)據(jù)代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,∴n≥,故至少要經(jīng)過2小時才能開車.4、年月，中國良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)志著中華五千年文明史得到國際社會認(rèn)可．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史．考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律．已知樣本中碳的質(zhì)量隨時間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳原有的質(zhì)量），則經(jīng)過年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>________；經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳的質(zhì)量是原來的至，據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在________年到年之間．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】        【解析】當(dāng)時，    經(jīng)過年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>令，則        良渚古城存在的時期距今約在年到年之間故答案為；5、一片森林原來的面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的.(1)求每年砍伐面積的百分比;(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年?【答案】(1)1-.(2)到今年為止,已砍伐了5年.(3)今后最多還能砍伐15年.【解析】(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),則a(1-x)10=a,即(1-x)10=,解得x=1-.(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的,則a(1-x)m=a,即,解得m=5,故到今年為止,已砍伐了5年.(3)設(shè)從今年開始,最多還能砍伐n年,則n年后剩余面積為a(1-x)n.令a(1-x)n≥a,即(1-x)n≥,解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年.6、大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q,研究中發(fā)現(xiàn)v與log3 成正比,且當(dāng)Q=900時,v=1.(1)求出v關(guān)于Q的函數(shù)解析式; (2)計(jì)算一條鮭魚的游速是1.5 m/s時耗氧量的單位數(shù); (3)一條鮭魚要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的單位數(shù)應(yīng)怎樣變化? 【答案】(1)v關(guān)于Q的函數(shù)解析式為v=log3.(2)一條鮭魚的游速是1.5 m/s時的耗氧量為2 700個單位.(3)鮭魚要想把游速提高1 m/s,其耗氧量單位數(shù)應(yīng)變?yōu)樵瓉淼?/span>9倍.【解析】(1)設(shè)v=k·log3,∵當(dāng)Q=900時,v=1,∴1=k·log3,∴k=.故v關(guān)于Q的函數(shù)解析式為v=log3.(2)令v=1.5,則1.5=log3,解得Q=2 700.故一條鮭魚的游速是1.5 m/s時的耗氧量為2 700個單位.(3)設(shè)鮭魚耗氧量為Q1,Q2時,游速分別為v1,v2,由題意知v2-v1=1,即log3log3=1.∴log3=1,∴=9,即Q2=9Q1.故鮭魚要想把游速提高1 m/s,其耗氧量單位數(shù)應(yīng)變?yōu)樵瓉淼?/span>9倍. 7、物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述，設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期，現(xiàn)有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡，放在24 ℃的房間中，如果咖啡降溫到40 ℃需要20 min，那么降溫到32 ℃時，需要多長時間？【解析】　先設(shè)定半衰期h，由題意知40－24＝(88－24)×，即＝，解之，得h＝10，故原式可化簡為T－24＝(88－24)×，當(dāng)T＝32時，代入上式，得32－24＝(88－24)×，即＝＝＝3，∴t＝30.因此，需要30 min，可降溫到32 ℃.8、一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500 g，按每年10%衰減．(1)求t年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達(dá)式；(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期(結(jié)果精確到0.1)．【解析】　(1)最初的質(zhì)量為500 g.經(jīng)過1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；經(jīng)過2年，w＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由題意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，兩邊同時取以10為底的對數(shù)，得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，所以t＝≈6.6.即這種放射性元素的半衰期約為6.6年．9、據(jù)觀測統(tǒng)計(jì)，某濕地公園某種珍稀鳥類的現(xiàn)有個數(shù)約只，并以平均每年的速度增加．(1)求兩年后這種珍稀鳥類的大約個數(shù)；(2)寫出（珍稀鳥類的個數(shù)）關(guān)于（經(jīng)過的年數(shù)）的函數(shù)關(guān)系式；(3)約經(jīng)過多少年以后，這種鳥類的個數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個數(shù)的倍或以上？（結(jié)果為整數(shù)）(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】（1）1166個；（2），（3）15年【解析】解：(1)依題意，一年后這種鳥類的個數(shù)為兩年后這種鳥類的個數(shù)為(2)由題意可知珍稀鳥類的現(xiàn)有個數(shù)約只，并以平均每年的速度增加則所求的函數(shù)關(guān)系式為， (3)令，得：兩邊取常用對數(shù)得：，即考慮到，故，故因?yàn)?/span>所以 約經(jīng)過15年以后，這種鳥類的個數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個數(shù)的倍或以上  

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