函數(shù)的應(yīng)用考向一  對勾函數(shù)模型1、某工廠擬生產(chǎn)并銷售某電子產(chǎn)品m萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等），為擴大影響進行銷售，促銷費用x（萬元）滿足（其中，為正常數(shù)）。已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為元/件。（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；（2）促銷費用投入多少萬元時，此工廠所獲利潤最大？ 答案（1）（2）當(dāng)時，利潤最大值為17萬元，當(dāng)時，最大利潤萬元解析（1），將代入                      （2）令，在單減，單增∴當(dāng)時，利潤最大值為17萬元當(dāng)時，最大利潤萬元2、某廠家擬舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費用萬元（）滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.（1）將該產(chǎn)品的年利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數(shù)；（2）該廠家年促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？答案（1） ；（2）廠家年促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大解析（1）由題意可知，當(dāng)時， （萬件），所以，所以，所以，每件產(chǎn)品的銷售價格為 （萬元），所以年利潤所以，其中.（2）因為時，，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即 （萬元）時，  （萬元）.所以廠家年促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大. 3、經(jīng)觀測，某公路段在某時段內(nèi)的車流量 (千輛/小時)與汽車的平均速度 (千米/小時)之間有函數(shù)關(guān)系：．(1)在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.01)(2)為保證在該時段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？[解]　(1)y＝＝≤＝≈11.08.當(dāng)v＝，即v＝40千米/小時，車流量最大，最大值為11.08千輛/小時．-----7分 (2)據(jù)題意有：≥10，化簡得v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64. -----------14分所以汽車的平均速度應(yīng)控制在25≤v≤64這個范圍內(nèi)． -----------15分4、山東新舊動能轉(zhuǎn)換綜合試驗區(qū)是黨的十九大后獲批的首個區(qū)域性國家發(fā)展戰(zhàn)略，也是中國第一個以新舊動能轉(zhuǎn)換為主題的區(qū)域發(fā)展戰(zhàn)略。泰安某高新技術(shù)企業(yè)決定抓住發(fā)展機遇，加快企業(yè)發(fā)展。已知該企業(yè)的年固定成本為500萬元，每生產(chǎn)設(shè)備x(x>0)臺，需另投入成本y1萬元．若年產(chǎn)量不足80臺，則y1＝x2＋40x；若年產(chǎn)量不小于80臺，則y1＝101x＋－2 180.每臺設(shè)備售價為100萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備能全部售完．(1)寫出年利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺)的關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)所獲利潤最大？ 解　(1)當(dāng)0<x<80時，y＝100x－－500＝－x2＋60x－500；當(dāng)x≥80時，y＝100x－－500＝1 680－.所以當(dāng)0<x<80時，y＝－x2＋60x－500；當(dāng)x≥80時，y＝1 680－.(2)當(dāng)0<x<80時，y＝－(x－60)2＋1 300，當(dāng)x＝60時，y取得最大值，最大值為1 300.當(dāng)x≥80時，y＝1 680－≤1 680－2＝1 500，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝90時，y取得最大值，最大值為1 500.所以當(dāng)年產(chǎn)量為90臺時，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為1 500萬元． 考向二  二次函數(shù)模型 1、某商店進貨單價為45元，若按50元一個銷售，能賣出50個；若銷售單價每漲1元，其銷售量就減少2個，為了獲得最大利潤，此商品的最佳售價應(yīng)為每個________元．【答案】60　【解析】設(shè)漲價x元，銷售的利潤為y元，則y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以當(dāng)x＝10，即銷售價為60元時，y取得最大值．2、某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，假設(shè)每箱售價不得低于50元且不得高于55元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．(1)求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每箱蘋果的售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？【解析】　(1)根據(jù)題意，得y＝90－3(x－50)，化簡，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因為w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以當(dāng)x<60時，w隨x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以當(dāng)x＝55時，w有最大值，最大值為1 125.所以當(dāng)每箱蘋果的售價為55元時，可以獲得最大利潤，且最大利潤為1 125元． 考向三  分段函數(shù)模型 1、在一次為期 15 天的大型運動會期間，每天主辦方要安排專用大巴車接送運動員到各比賽場館參賽，每輛大巴車可乘坐 40 人，已知第 t 日參加比賽的運動員人數(shù) M 與 t 的關(guān)系是M(t)＝為了保證賽會期間運動員都能按時參賽，主辦方應(yīng)至少準備大巴車的數(shù)量是(　　)A.7 B.8C.9 D.10【答案】D【解析】當(dāng)時，函數(shù)為一次函數(shù)，單調(diào)遞增，當(dāng)時取得最大值，即.當(dāng)時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為，由于為整數(shù)，故當(dāng)時取得最大值，即，故選.2、表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80 km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時間之間的函數(shù)關(guān)系，有人根據(jù)函數(shù)圖象，提出了關(guān)于這兩個旅行者的如下信息：①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3 h，晚到1 h；②騎自行車者是變速運動，騎摩托車者是勻速運動；③騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后追上了騎自行車者；④騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后與騎自行車者速度一樣．其中，正確信息的序號是________．【答案】①②③【解析】看時間軸易知①正確；騎摩托車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是直線，所以是勻速運動，而騎自行車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是折線，所以是變速運動，因此②正確；兩條曲線的交點的橫坐標(biāo)對應(yīng)著4.5，故③正確，④錯誤．故答案為①②③.3、某在校大學(xué)生提前創(chuàng)業(yè),想開一家服裝專賣店,經(jīng)過預(yù)算,店面裝修費為10000元,每天需要房租水電等費用100元,受營銷方法、經(jīng)營信譽度等因素的影響,專賣店銷售總收入P與店面經(jīng)營天數(shù)x的關(guān)系是P(x)=則總利潤最大時店面經(jīng)營天數(shù)是___.【答案】200【解析】設(shè)總利潤為L(x),則L(x)=則L(x)=當(dāng)0≤x<300時,L(x)max=10000,當(dāng)x≥300時,L(x)max=5000,所以總利潤最大時店面經(jīng)營天數(shù)是200.4、大學(xué)畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預(yù)算，該門面需要裝修費為20000元，每天需要房租、水電等費用100元，受經(jīng)營信譽度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營天數(shù)x的關(guān)系是R(x)＝，則總利潤最大時，該門面經(jīng)營的天數(shù)是________． 答案：300解析：由題意，總利潤y＝當(dāng)0≤x≤400時，y＝－ (x－300)2＋25000，所以當(dāng)x＝300時，ymax＝25 000；當(dāng)x>400時，y＝60000－100x<20000.綜上，當(dāng)x＝300天時，總利潤最大．5、經(jīng)過市場調(diào)查,某種商品在銷售中有如下關(guān)系:第x(1≤x≤30,x∈N+)天的銷售價格(單位:元/件)為f(x)=第x天的銷售量(單位:件)為g(x)=a-x(a為常數(shù)),且在第20天該商品的銷售收入為1 200元(銷售收入=銷售價格×銷售量).(1)求a的值,并求第15天該商品的銷售收入;(2)求在這30天中,該商品日銷售收入y的最大值.【答案】(1) a=50. 第15天該商品的銷售收入為1 575元. (2) 當(dāng)x=5時,該商品日銷售收入最大,最大值為2 025元.【解析】(1)當(dāng)x=20時,由f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200,解得a=50.從而可得f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1 575(元),即第15天該商品的銷售收入為1 575元.(2)由題意可知y=即y=當(dāng)1≤x≤10時,y=-x2+10x+2 000=-(x-5)2+2 025.故當(dāng)x=5時y取最大值,ymax=-52+10×5+2 000=2 025.當(dāng)10<x≤30時,y<102-110×10+3 000=2 000.故當(dāng)x=5時,該商品日銷售收入最大,最大值為2 025元.6、提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當(dāng)時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的表達式；（Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）答案：見解析解析：（Ⅰ）由題意，當(dāng)時，；當(dāng)時，設(shè)．再由已知得，解得.故函數(shù)的表達式為. （Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得.當(dāng)時，為增函數(shù)，故當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值.當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以，當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值．綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值.即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．7、某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日元．根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過元，則自行車可以全部租出；若超出元，則每超過元，租不出的自行車就增加輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金（元）只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分）．（1）求函數(shù)的解析式；（2）試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？ 答案：（1）；（2）當(dāng)每輛自行車的日租金定為元時，才能使一日的凈收入最多． 解析：（1）當(dāng)時，，令，解得，是整數(shù)，，；當(dāng)時，，令，有，結(jié)合為整數(shù)得，.；（2）對于，顯然當(dāng)時，；對于，當(dāng)時，.，當(dāng)每輛自行車的日租金定為元時，才能使一日的凈收入最多． 

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