愛因斯坦說過，復(fù)利的威力比原子彈還可怕．若每月堅(jiān)持投資100元，40年之后將成為百萬富翁．也就是說隨著變量的增長，指數(shù)函數(shù)值的增長是非常迅速的，可以根據(jù)這一特點(diǎn)來進(jìn)行資金的管理．例如，按復(fù)利計(jì)算利率的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期的利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要寫出本利和y隨著存期x變化的函數(shù)式．假設(shè)存入的本金為1 000元，每期的利率為2.25%.
[問題] 五期后的本利和是多少？



知識(shí)點(diǎn) 實(shí)際問題的函數(shù)刻畫
1．在現(xiàn)實(shí)世界中，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，當(dāng)面對(duì)的實(shí)際問題中存在幾個(gè)變量，并且它們之間具有依賴關(guān)系時(shí)，我們往往用函數(shù)對(duì)其進(jìn)行刻畫．函數(shù)刻畫的方法可以使用圖象，但常見的還是使用解析式．
2．函數(shù)模型是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型之一．許多實(shí)際問題一旦被認(rèn)定是函數(shù)關(guān)系，就可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)，使問題得到解決．
通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)解析式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中，很多規(guī)律、定律都是先通過實(shí)驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)，再通過數(shù)據(jù)擬合得到的．
1．某地為了改善生態(tài)環(huán)境，政府決定綠化荒山，計(jì)劃第一年先植樹0.5萬公頃，以后每年比上年增加1萬公頃，每年植樹的公頃數(shù)y(單位：萬公頃)是時(shí)間x(單位：年)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖象是下圖中的( )
解析：選A 由題意知該一次函數(shù)的圖象必過(1，0.5)和(2，1.5)兩點(diǎn)，故排除B、C、D.
2．為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)費(fèi)方法如下：
若某戶居民本月交納的水費(fèi)為54元，則此戶居民本月用水量為( )
A．20 m3 B．18 m3
C．15 m3 D．14 m3
解析：選C 設(shè)用水量為x m3，水費(fèi)為y元，
(1)當(dāng)0≤x≤12時(shí)，y＝3x，
令3x＝54可得x＝18(舍)；
(2)當(dāng)120) ①表示投資A種商品的金額與其純利潤的關(guān)系，用y＝bx(b>0) ②表示投資B種商品的金額與其純利潤的關(guān)系．
把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15，經(jīng)檢驗(yàn)，解析式滿足題意，故所獲純利潤關(guān)于月投資A種商品的金額的函數(shù)解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2來表示．
把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，經(jīng)檢驗(yàn)，解析式滿足題意，故所獲純利潤關(guān)于月投資B種商品的金額的函數(shù)解析式可近似地用y＝0.25x來表示．
設(shè)下個(gè)月投入A，B兩種商品的資金分別是xA萬元，xB萬元，純利潤為W萬元，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xA＋xB＝12，,W＝y(tǒng)A＋yB＝－0.15（xA－4）2＋2＋0.25xB，))
即W＝－0.15eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA－\f(19,6)))eq \s\up12(2)＋0.15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,6)))eq \s\up12(2)＋2.6.
故當(dāng)xA＝eq \f(19,6)≈3.2時(shí)，W取得最大值，約為4.1，
此時(shí)，xB＝8.8.
即下個(gè)月投入A，B兩種商品的資金分別約為3.2萬元，8.8萬元時(shí)，可獲得最大純利潤，約為4.1萬元.
[例3] (鏈接教科書第136頁例4)灌滿水的熱水瓶放在室內(nèi)，如果瓶?jī)?nèi)水原來的溫度是θ1 ℃，室內(nèi)氣溫是θ0 ℃，t min后，水的溫度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中，k是一個(gè)與熱水瓶類型有關(guān)的正的常量．現(xiàn)有一個(gè)某種類型的熱水瓶，測(cè)得瓶?jī)?nèi)水溫為100 ℃，1 h后又測(cè)得瓶?jī)?nèi)水溫變?yōu)?8 ℃.已知某種茶葉必須用不低于85 ℃的水沖泡，現(xiàn)用這個(gè)熱水瓶在早上六點(diǎn)灌滿100 ℃的水，問：能否在這一天的中午十二點(diǎn)用瓶?jī)?nèi)的水來沖泡這種茶葉？(假定該地白天室溫為20 ℃)
[解] 根據(jù)題意，有98＝20＋(100－20)e－60k，
整理得e－60k＝eq \f(39,40)，
利用計(jì)算器，算得k≈0.000 42.
故θ＝20＋80e－0.000 42t.
從早上六點(diǎn)到這一天的中午十二點(diǎn)共經(jīng)過6 h，即360 min.
當(dāng)t＝360時(shí)，θ＝20＋80e－0.000 42×360≈89.
因?yàn)?9 ℃>85 ℃，
所以能在這一天的中午十二點(diǎn)用瓶?jī)?nèi)的水來沖泡這種茶葉．
eq \a\vs4\al()
某些實(shí)際問題提供的變量關(guān)系是確定的，即設(shè)自變量為x，因變量為y，它們已建立了函數(shù)模型，我們可以利用該函數(shù)模型得出實(shí)際問題的答案．具體解題步驟為：
第一步，審題，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型，了解變量的含義，若模型中含有待定系數(shù)，則需要進(jìn)一步用待定系數(shù)法或其他方法確定；
第二步，求解數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行解答；
第三步，轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的解．
[跟蹤訓(xùn)練]
某輛汽車以x km/h的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120)時(shí)，每小時(shí)的油耗(所需要的汽油量)為eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－k＋\f(4 500,x)))L，其中k為常數(shù)．若汽車以120 km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為11.5 L．欲使每小時(shí)的油耗不超過9 L，則x的取值范圍為________．
解析：設(shè)每小時(shí)的油耗(所需要的汽油量)為y L，由題意可得y＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－k＋\f(4 500,x)))，當(dāng)x＝120時(shí)，y＝11.5，∴11.5＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(120－k＋\f(4 500,120)))，解得k＝100，∴y＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－100＋\f(4 500,x))).要使每小時(shí)的油耗不超過9 L，則eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－100＋\f(4 500,x)))≤9，即x2－145x＋4 500≤0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，故當(dāng)每小時(shí)的油耗不超過9 L時(shí)，x的取值范圍為[60，100]．
答案：[60，100]
1．某數(shù)學(xué)小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐調(diào)查，了解到雪花桶裝水經(jīng)營部在為定價(jià)發(fā)愁．進(jìn)一步調(diào)研了解到如下信息：該經(jīng)營部每天的房租，人工工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表：
根據(jù)以上信息，你認(rèn)為該經(jīng)營部的定價(jià)為多少才能獲得最大利潤？( )
A．每桶8.5元 B．每桶9.5元
C．每桶10.5元 D．每桶11.5元
解析：選D 根據(jù)表格可知銷售單價(jià)每增加1元，日均銷售就減少40桶．
設(shè)每桶水的價(jià)格為(6＋x)元，公司日利潤為y元，
則y＝(6＋x－5)(480－40x)－200＝－40x2＋440x＋280(0≤x≤12)，
∴當(dāng)x＝5.5時(shí)函數(shù)y有最大值，
因此，每桶水的價(jià)格為11.5元，公司日利潤最大．
2．據(jù)調(diào)查，某存車處(只存放自行車和電動(dòng)車)在某天的存車量為400輛次，其中電動(dòng)車存車費(fèi)是每輛一次2元，自行車存車費(fèi)是每輛一次1元．若該天自行車存車量為x輛次，存車總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是( )
A．y＝x＋400(0≤x≤400)
B．y＝x＋800(0≤x≤400)
C．y＝－x＋400(0≤x≤400)
D．y＝－x＋800(0≤x≤400)
解析：選D 因?yàn)樽孕熊嚧孳嚵繛閤輛次，所以電動(dòng)車存車量為(400－x)輛次，所以y＝x＋2(400－x)＝－x＋800(0≤x≤400)，故選D.
3．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震級(jí)，其計(jì)算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A是被測(cè)地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅，M為震級(jí)，則7級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的________倍．
解析：當(dāng)M＝7時(shí)，∵7＝lg A－lg A0＝lg eq \f(A,A0)，
∴eq \f(A,A0)＝107，∴A＝A0107，
當(dāng)M＝5時(shí)，∵5＝lg A－lg A0＝lg eq \f(A,A0)，∴eq \f(A,A0)＝105，
∴A＝A0105，
從而可得7級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的100倍．
答案：100
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀
核心素養(yǎng)
在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律
數(shù)學(xué)建模
每戶每月用水量
水價(jià)
不超過12 m3的部分
3元/m3
超過12 m3但不超過18 m3的部分
6元/m3
超過18 m3的部分
9元/m3
解析式法刻畫函數(shù)關(guān)系
圖表法刻畫函數(shù)關(guān)系
年份
2017
2018
2019
2020
x(年)
0
1
2
3
生產(chǎn)總值(萬億元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
月投資A種商品的金額/萬元
1
2
3
4
5
6
純利潤/萬元
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
月投資B種商品的金額/萬元
1
2
3
4
5
6
純利潤/萬元
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
已知函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問題
銷售單價(jià)/元
6
7
8
9
10
11
12
日均銷售量/桶
480
440
400
360
320
280
240

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2.1 實(shí)際問題的函數(shù)刻畫

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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